XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Соотношения между сторонами и углами четырехугольника

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Асаинова Р.Р. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Санникова Г.И. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Работа в формате PDF

205.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Я выбрала эту тему для своей исследовательской работы, потому что она меня заинтересовала. Мне было интересно узнать, какие задачи можно решить с помощью теорем косинусов и Эйлера для четырехугольников. На уроках геометрии мы часто разбираем темы, связанные с четырехугольниками. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), последовательно соединяющих вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Свойствами четырехугольника являются:

• У него 4 стороны ( AB, BC, CD и DA) .

• Имеет 4 вершины ( A, B, C, D) .

• Имеет 4 угла. ( ∠A, ∠B, ∠C, ∠D) .

• Имеет 2 диагонали. (AC и BD)

• Сумма его внутренних углов равна 360 °. ( ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °) .

• Сумма его внешних углов равна 360°.

Четырехугольники имеют разнообразные формы, начиная от симметричных квадратов и прямоугольников и заканчивая более сложными и неправильными параллелограммами и трапециями.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами. 

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Среди теорем о четырехугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение этих теорем состоит, прежде всего, в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Эти теоремы просты, интересны и позволяют легко и изящно решать целый класс, как простых, так и весьма сложных задач.

Цель исследования выяснить соотношение между сторонами и углами четырехугольника, а так же особенности применения теорем при решении задач как профильного уровня, так и простых задач.

Объектом исследования теоремы косинусов и Эйлера для четырехугольника, а также некоторые его характеристические свойства.

Предметом исследования являются теоремы косинусов и Эйлера для четырехугольника, а также некоторые его характеристические свойства. Как способ решения целого ряда, как простых, так и весьма сложных задач практической направленности.

Для реализации поставленной цели, мной были выдвинуты следующие задачи:

1. Ознакомление с теоремами косинусов и Эйлера для четырехугольника, а также с некоторыми его характеристическими свойствами.

2. Применение теорем косинусов и Эйлера для четырехугольника для решения и доказательства задач.

Методы: наблюдение, поиск, отбор, анализ, исследование.

Актуальность темы: применение теорем косинусов и Эйлера для четырехугольника, а также некоторые его характеристические свойства помогают нам решать задачи, более рационально. Повышают уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. Эти теоремы просты, интересны и лаконичны. Изучение данных тем поможет более глубоко подготовиться к олимпиадам, ОГЭ и ЕГЭ. Знание геометрии необходимо всем кому  приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

Историческая справка: Леонард Эйлер – математик, механик и физик. Родился в Швейцарии в городе Базель, в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. При жизни им опубликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800. Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп на правый глаз и, несмотря на тяжелый недуг он продолжал работать и творить.

Теорема косинусов для четырехугольника

Теорема: Если в выпуклом четырехугольнике АВСD∠ A +∠ D ≤ 180, то

AD ² =AB²+BC²+CD²-2(AB×BC cosB +BC×СD cosC –AB ×CD cos(A+D)). (1)

Доказательство: По теореме косинусов для треугольников ADC и ABC (рис.1) имеем:

AD² =AC² +CD² -2AC× CD cos ACD ,

AС²=AB² +BС² -2AB× BС cos B.

Поставив в выражение для АС² из второго равенства в первое получим:

AD² = AB² +BC²+CD² -2AB× BC cos B -2AC× CD cos ACD. (2)

Докажем, что

-AC cos ACD= - BС cos С + ABcos (A+D). (3)

Для этого введем в рассмотрение единичный вектор = и воспользуемся равенством + + = . Умножив это равенство скалярно на , получим

Или

CA cos( , )= -АВ cos ( cos( ). (4)

Нетрудно видеть, что

, =180-∠ ACD; ∠С.

Воспользовавшись рисунком 1, убедитесь также в том, что =180-∠А -∠D(это равенство верно как в случае, когда векторы коллинеарны, так и в случае, когда они не коллинеарны).Таким образом, равенство (4) принимает вид (3). Умножив равенство (3) на CD и подставив полученное выражение для -2AC× CD cos ACD в равенство (2) , приходим к равенству (1).

Замечание. Доказанная теорема может быть применена к любому выпуклому четырехугольнику. В самом деле, если ∠А+∠D>180°, то вместо Этих углов следует взять углы B и C.

Теорема Эйлера

Теорема. В произвольном четырехугольнике между серединами М и N диагоналей выражается формулой

MN²= (AB²+BC²+CD²+DA²-AC²-BD²). (5)

Доказательство. Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD (рис.2). Так как

= ( + ), = ,то

= - = ( - - ).

Отсюда следует, что

4 = + + -2 · -2 · +2 · (6)

Используя соотношение (3) , получаем:

2 · = + - ,

2 · = + - ,

2 · = + - .

Подставив эти выражения в правую часть равенства (6), после несложных преобразований приходим к равенству(5).

Характеристические свойства четырёхугольников

Начнём с характеристического свойства четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями.

Теорема. Диагонали четырёхугольника принадлежат перпендикулярным прямым тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Доказательство. Пусть ABCD - данный четырёхугольник, тогда верно равенство

2 · = + - - .

Если прямые AC и BD взаимно перпендикулярны, то · =0, поэтому из этого равенства следует, что

+ = + .

Обратно, если + = + , то из предыдущего равенства следует, что · =0, т. е. AC⊥BD. Следовательно, прямые AC и BD, на которых лежат диагонали четырехугольника ABCD, взаимно перпендикулярны.

Теперь рассмотрим одно характеристическое свойство параллелограмма.

Теорема. Сумма квадратов сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей тогда и только тогда, когда этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Пусть четырёхугольник ABCD - параллелограмм. Докажем что

+ = + + + . (7)

Так как

= + и = - ,

то

+ = + = + =2 +2 = =2 +2 .

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому отсюда следует равенство (7).

Обратно, рассмотрим четырехугольник ABCD, стороны и диагонали которого удовлетворяют равенству(7). Тогда по теореме Эйлера (см. равенство (5)) получим MN²=0, т. е. середина M и N диагоналей AC и BD совпадают. Это означает, что диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, поэтому этот четырёхугольник - параллелограмм.

Практическая часть

Задача 1. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна h.

Дано: ABCD- равнобедреннаятрапеция; AC и BD- диагонали; BD ∩АС, BD⊥АС; СН=h; СН⊥AD.

Найти: S_ABCD.

Решение: Проведем СЕ, СЕǀǀ BD; BCǀǀDE, отсюда следует, что BCED-параллелограмм. BD= CE; BC= DE; тоесть AE= AD+DE=AD+BC. По условию AC⊥BD⇒AC⊥CE (так как CE║BD) △ACE -

прямоугольный и равнобедренный (так как по условию ABCD - равнобедренный, то есть BD=AC=CE), тогда CH - высота, биссектриса и медиана: AH=HE= AE. CH= AE (так как CH - медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из прямого угла); h= AE. S= ·h=h·h= .

Ответ: S_ABCD=h².

Задача 2. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

Ы_ФИСВ S_ABCD (ab+сd)× sin B,

AB=a, ВС=в, CD=c, AD=d

Дано: ABCD- четырехугольник. Окружность( О;R) описана около ABCD; AB=a, ВС=в, CD=c, AD=d.S_ABCD

S_ABCD (ab+сd)× sin B

Доказательство: Проведем АС; AC-диагональ четырехугольника ABCD; S_ABCD=S_ABC+S_ACD=

По условию ABCD вписан в окружность (О;R), отсюда следует что сумма противоположный углов равны 180°, то есть ∠A+∠C=180°; ∠B+∠D=180°. Тогда ∠B=180°-∠D, ∠D=180°-∠B. SinB=sin(180°-∠D)= sinD.

S_ABCD = = S_ABCD = S_ABCD = (ab+cd) ×sin B

Задача 3. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов параллелограмма ABCD , отличного от ромба, являются вершинами некоторого прямоугольника. Найдите площадь этого прямоугольника, если AB=a , BC=b, ∠BAD= α.

Дано: ABCD - параллелограмм; AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ - биссектрисы; AB=a; BC=b; ∠ BAD=α.

Доказать: MNPQ - прямоугольник. Найти: S_MNPQ

Доказательство: По условию ABCD - параллелограмм ⇒AD║BC, AB║ CD.∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние) ⇒ ⇒∠1=∠2= =90º, т. е. ∠AMB=90º. △AMB - прямоугольный. ∠ AMB=∠A₁MB₁=90º; Аналогично, ∠CPD=∠C₁PD₁= 90º. ⇒ это вертикальные углы. В △AND ∠3=∠4= =90º (т. к. ∠A+∠D=180º как внутренние односторонние углы при секущей AD), т. е. ∠AND=90º, аналогично ∠BQC=90º. Итак, ∠C₁MB₁=∠C₁PD₁=∠AND=∠BQC=90º ⇒ MNPQ - прямоугольник._.

Решение: По условию ∠BAD=α; ∠AA₁B=∠A₁AD= (накрест лежащие углы при секущей AA₁), ∠A₁AD=∠2= , т. е. △ABA₁ - равнобедренный, AB=BA₁=a, тогда A₁C=b-a. A₁H=A₁C× =(b-a)× =NP. Аналогично, BD₁=b-a, DH₁=(b-a)× =(b-a)× × =MN. S_MNPQ=MN×NP=(b-a)× ×(b-a)×

Задачи для самостоятельного решения

1. Дана трапеция с основаниями AD и BC, где AD > BC. Докажите , что

AB²=BC²+CD²+AD²-2CD×(AD-BC)×cos D-2AD×BC.

2.Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность или описан около окружности, то он является выпуклым.

3.Докажите, что стороны BC и AD четырехугольника ABCD параллельны тогда и только тогда, когда

AC²+BD²=AB²+CD²+2BC×AD.

4.В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠A=∠B. Докажите, что если AD=BC, то ∠C=∠D, а если AD < BC, то ∠C < ∠D.

5.Отрезок MN с концом на боковых сторонах трапеции параллелен ее основаниям и делит площадь в отношении m:n. Докажите, что

MN= , где a и b - основания трапеции.

Заключение

  В курсе геометрии 9 класса изучают теорему косинусов для треугольника, которую называют иногда обобщенной теоремой Пифагора.

         В своей работе я утвердительно ответила на вопрос «существует ли аналогичная теорема для четырёхугольника», изучив забытую, редко встречающуюся в учебной литературе по элементарной геометрии теорему косинусов для четырёхугольника. Познавательным и интересным было и моё знакомство с некоторыми характеристическими свойствами четырехугольника и теоремой Эйлера.

          За страницами школьного учебника так много интересного, неизведанного нами, школьниками.  Расширять свой математический кругозор можно безгранично.

В результате проведенной работы, я узнала много интересного и познавательного, научилась применять теоремы в решении задач. Я думаю, что данное исследование, проведённое мной, поможет мне в дальнейшем при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам.

Процесс работы по выбранной мною теме позволил заглянуть за пределы школьного учебника, провести поиск интересных задач. Данный материал можно использовать на уроках геометрии при повторении и обобщении материала в 9-х и 11-х классах, а так же на занятиях элективных курсов при подготовке к экзаменам.

 Список литературы

1.  Атанасян, Л.С., Бутузов, В.Ф. и др. Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений / под редакцией Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др.- М.: Просвещение, 2008.

 2.  Скопец, З.А. Геометрические миниатюры / Составитель Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к школьному учебнику 9 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Вита-Пресс, 2002.

4.https://ru. wikipedia.org /wiki/Эйлер,_Леонард