XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Комбинаторика

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Пупышев П.С. 1

---

1МАОУ "Образовательный центр №5 г.Челябинска"

Саргаскаева А.К. 1

---

1МАОУ "Образовательный центр №5 г.Челябинска"

Работа в формате PDF

812.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В нашей жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого, надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.

Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого (чаще всего конечного) множества в соответствии с заданными правилами. 

Комбинаторика тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, теорией чисел и другими. Она применяется в самых различных областях знаний, например, в генетике, информатике, статистике, статистической физике, лингвистике, музыке.

Актуальность:

- умение решать комбинаторные задачи пригодится в разных жизненных ситуациях;

- решения комбинаторных задач развивает логическое и математическое мышление, расширяет кругозор;

Цель: знакомство с комбинаторикой и изучение решения комбинаторных задач.

Задачи:

1. Узнать что изучает комбинаторика;

2. Узнать историю создания комбинаторики и комбинаторных задач и ее современное развитие;

3.Изучить решение комбинаторных задач;

Объект: Комбинаторика

Предмет: Комбинаторика дает множество вариантов различных комбинаций в нашем мире и развивает наше логическое мышление.

1.Что такое «комбинаторика» ?

1.1 Понятие комбинаторики

Для рассмотрения понятия «комбинаторика» были использованы интернет-ресурсы, в которых я выбрал данные определения, так как считаю, что они раскрывают полностью этот термин.

1) Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого (чаще всего конечного) множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет некоторую выборку из элементов исходного множества, которая называется комбинаторной конфигурацией.  Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения

2) Комбинаторика —раздел математики о вычислении количества различных комбинаций каких-либо элементов.

3) Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого (чаще всего конечного) множества в соответствии с заданными правилами

1.2 Основы комбинаторики

1. Основные понятия

2. Перестановки

3. Размещения

4. Сочетания

5. Правила сложения комбинаций

6. Правила умножения комбинаций

7. Перестановки с повторениями

8. Сочетания с повторениями

9. Размещения с повторениями

2. История возникновения комбинаторики

2.1 Средневековье

В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.

Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов.

Р. Бхаскара И. Эрза

Б. Гершом

2.2 Новое время

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Треугольник Паскаля

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement).

После появления математического анализа и обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.

Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:

• задача о ходе коня;

• задача о семи мостах, с которой началась теория графов;

• построение греко-латинских квадратов;

• обобщённые перестановки.

Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями.

Д. Кардано Г. Галилей

А. Шевалье Б. Паскаль

2.3 Современное развитие

В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука — Улама и Люстерника — Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нельсона — Эрдёша — Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

П. Эрдёш В. Шнирельман

Г. Хадвигер

3 Решение комбинаторных задач

3.1 Как решаются комбинаторные задачи?

1. Полный перебор всех возможных вариантов. Применяется для простых задач без составления различных таблиц и схем.

2. Построение дерева возможных вариантов. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

3. Составление таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

4. Правило умножения. Этот метод применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос — сколько их существует.

Таким образом, я считаю , что комбинаторных задач в учебнике 5 класса очень мало , поэтому хотелось бы больше таких заданий рассматривать на уроке. Но, учитель утверждает , что на уроке это сделать невозможно. А возможно решать данные задачи на внеурочной деятельности. Я бы хотел посещать такие занятия.

3.2 Пример комбинаторной задачи, и ее решение

1 4 * 3 = 16 (наборов)

ОТВЕТ: у нас получилось 16 наборов шаров.

Заключение

Изучив материалы о комбинаторике, мы выяснили, что она помогает:

-Развивать логическое мышление;

-Определять сколько вариантов можно подобрать;

-Расширяет наши научные горизонты

-Развивать математическое мышление;

-Влияет на многие аспекты жизни

Список используемой литературы и интернет-источников

1 https://ru.wikipedia.org/wiki/Комбинаторика

2  https://infourok.ru/lekciya-po-teme-osnovy-kombinatoriki-5451802.html

3 https://mobile.yandex.ru/apps/iphone/browser/?platform=5

4 https://multiurok.ru/files/osnovnye-poniatiia-kombinatoriki-3.html

5 https://11klasov.net/15899-matematika-5-klass-uchebnik-v-2-h-chastjah-vilenkin-zhohov-chesnokov.html

6.https://psv4.userapi.com/s/v1/d/JycsZSSQV63NzpTTm0hZsNLR9vqrIPa9Uz4vE0-AXvrjVWtX48PW6-F84_hu9O7Ms5DltdatVkB2oZRUHFNsHjMEjtkyDRhkuQQ9tsTq10hS5ebPT-YKYw/Kombinatorika_Vilenkiny.pdf

Приложение

Интересные факты о комбинаторике:

1Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.)

2 Ещё в Древнем Китае люди составляли магические квадраты, где конкретные числа по всем совпадениям всегда давали одну и ту же сумму. 

3 Древние греки занимались подсчётом числа комбинаций слов разной длины в стихотворных размерах, изучали теорию фигурных чисел, а также исследовали фигуры, которые могут получиться из элементов специальным способом разрезанного квадрата.