XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Приёмы быстрого счёта в математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кирсанова О.О. 1

---

1муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Малозиновьевская основная школа"

Левина Н.С. 1

---

1муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Малозиновьевская основная школа"

Работа в формате PDF

340.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Счет, вычисления – основа порядка в голове»

Песталоцци

Я выбрала тему «Приёмы быстрого счёта в математике» потому, что люблю математику и хотела бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора. Да и на ВПР и ОГЭ по математике все вычисления необходимо делать самому в ограниченный отрезок времени.

Актуальность моей темы заключается в следующем: быстрый счёт помогает людям в повседневной жизни, а ученикам на «отлично» заниматься по математике.

Цель работы:

изучить приемы быстрого счета с тем, чтобы улучшить технику вычислений учащихся 4 класса.

Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Изучить литературные источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета;

2. Сделать подборку наиболее распространенных и общедоступных приемов;

3. Опросить учащихся и сотрудников МБОУ «Малозиновьевская основная школа» о необходимости быстрого счёта в их жизни;

4. Провести диагностику вычислительных навыков учащихся 4 класса МБОУ «Малозиновьевская основная школа»;

5. Познакомить учащихся 4 класса с приемами быстрого счета;

6. По результатам изученного материала провести 4 диагностики и сделать сравнительный анализ результатов;

7. Сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

Объекты исследования:

Учащиеся 4 класса.

Предмет исследования: приемы быстрого счета.

Гипотеза исследования: овладение приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений одноклассников.

Методы:

1. Изучение и анализ литературы;

2. Социологический опрос;

3. Диагностика;

4. Сравнительный анализ.

Часть І . Исторические особенности

1.1. Как люди научились считать

На этом этапе мне предстоит окунуться в историю появления счёта, чтобы понять, как он появился и развивался.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов – одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше – «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.

Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков

1.2. Изменение счёта при появлении цивилизации

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье – мое мученье, а с деленьем – беда» – говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приёмы один другого запутаннее, твердо, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого д ействия.

1.3. Русский крестьянский способ умножения

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35:

1. запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

2. левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

3. деление заканчивается, когда слева появится единица;

4. вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

5. далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

Часть II.Устный счёт – гимнастика ума.

2.1 Различные способы сложения и вычитания чисел.

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д.

Например: 56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

2.1.1 Сложение в уме двухзначных чисел

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы.

Например: 34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

2.1.2 Сложение трёхзначных чисел

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы.

Например: 359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

2.1.3. Вычитание

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

Например: 56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

2.1.4. Вычитание числа меньшего 100 из числа большего 100.

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.

134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

2.2. Различные способы умножения чисел

2.2.1. Умножение и деление числа на 4

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.

Например: 152 * 4= 152 * 2 = 304 * 2 = 608

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

Например: 264 : 4 = 264 : 2 = 132 : 2 = 66

2.2.2. Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.

Например: 89 * 9 = 890 – 9 = 881

2.2.3. Умножение двузначного числа на 11,111, 1111 и т. д.

1. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Например: 72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

2. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Например. 94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

3. При умножение числа на 111, 1111 и т.д., если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц в числе на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)

Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.

Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.

61 х 11111111 = 677777771

Эти вычисления можно легко произвести в уме.

2.2.4. Умножение двузначного числа на 101

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

Например: 57 * 101 = 5757              94 * 101 = 9494

2.2.5. Умножение двузначного числа на 22, …,99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 ∙11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Например: 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Этот способ действует, только если при умножении двузначного числа на 2,3,…,9 получается двузначное число.

Часть ІІІ. Практическая часть

1. 1. Социологический опрос.

Для того, чтобы понять актуальна ли моя работа, я провела социологический опрос. Для опроса учащимся и сотрудникам школы было предложено ответить на один вопрос:

Нужно ли вам в жизни умение быстро считать? Если ответ положительный, то укажите причину необходимости быстро считать.

Варианты ответов:

1) Да 2) Нет 3) Не считаю устно вообще.

По результатам опроса мы составили диаграмму:

Проведённый опрос показывает, что моя тема действительно актуальна. Оригинальные ответы учащихся начальной школы:

Да, потому что хочу быть лучшим учеником.

Нет, потому что считать нечего.

Распространённый ответ учащихся среднего звена:

Да, потому что в школе заставляют считать.

Осознанные ответы учащихся среднего звена:

Да, быстрый счёт пригодиться в других учебных заведениях.

Да, потому что быстрый счёт экономит время для приготовления домашнего задания по другим предметам.

Ответы сотрудников школы были приблизительно одинаковы:

Быстрый счёт нужен в повседневной жизни (магазин и т.д.), на работе (подсчёт среднего балла ученика и др.)

3.2. Диагностика вычислительных навыков

Изучив в литературных источниках приемы быстрого счета, мы отобрали самые распространенные и общедоступные. По согласованию с учителем математики, я составила математический диктант, опираясь на данные свойства. На уроке, с разрешения учителя, я провела диктант в своем классе. Время на проведение – 5-7 минут. (Образец диктанта в Приложении 1)

Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат. Его результаты приведены ниже. Затем я показала одноклассникам те приемы, которые можно было применить, и через день вновь провела подобный диктант. После его проведения мы разобрали допущенные ошибки и еще раз разобрали способы быстрого счёта. Последующие диктанты проводились раз в неделю. Все результаты сведены в таблицу и диаграмму. (Приложение 2)

Выводы исследования

Таким образом, мы видим, что первоначальная гипотеза о том, что овладение приемами быстрого счета позволит повысить качество и скорость вычислений четвероклассников, подтверждается. Надеюсь, что разобранные приёмы быстрого счёта помогут нам при написании ВПР по математике.

Учащиеся 9 класса тоже заинтересовались моей работой и попросили провести для них обучающий мастер-класс. А это подтверждение того, что моя работа актуальна.

Все рассмотренные методы говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Список литературы

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.

3. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68

4. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол. Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 192 с.

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/ История_математики

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Приложение 2