XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Золотое сечение
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Числа правят миром» - знаменитый пифагорейский лозунг.
В основе объективных законов красоты лежат два фундаментальных принципа: качественный принцип гармонии и количественный принцип симметрии. Оба принципа – гармонии и симметрии – воплощают в природе и искусстве идею порядка.
Цель данной работы провести краткий обзор истории и математической сущности золотого сечения, и попытаться показать как из чисто геометрического понятия Золотая Пропорция превращается в фундаментальное понятие, что она не только то, что можно видеть глазами, что Золотая Пропорция – вокруг нас, что, более того, она - в основе всего.
Актуальность выбора темы обусловлена необходимостью эстетического развития, а кроме того что нас привлекает в жизни? Всё красивое и гармоничное! Но тогда как же это связано между собой - красота, гармония и … математика?
Под гармонией понимается наиболее оптимальное сочетание противоречивых сторон в едином целом. В состоянии гармонии заложена изначальная противоречивость мира. Многочисленные исследования показывают, что состояние гармонии достигается, когда соотношение порядка в поведении элементов системы и хаоса (непредсказуемого, свободы выбора) тяготеет к «Золотой» пропорции ( =0,618).
Поэтому моя работа посвящена теме «Золотая пропорция».
В работе показано, как из чисто геометрического понятия Золотая Пропорция превращается в фундаментальное понятие, что она не только то, что можно видеть глазами, что Золотая Пропорция – вокруг нас, что, более того, она - в основе всего.
Если законы природы управляют явлениями, то Золотая пропорция управляет законами природы, и как мера гармонии – тождества противоположностей – лежит в основе метода аналогий (отыскание общих свойств в различных объектах, явлениях и распространение этой общности на другие свойства).
Золотое сечение в математике
Если по-простому, то золотое сечение — это определенное правило пропорции, которое создает гармонию? То есть, если мы не нарушаем правила этих пропорций, то у нас получается очень гармоничная композиция.
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому.
Но, кроме этого, золотое сечение — это математика: у него есть конкретная формула и конкретное число. Многие математики, вообще, считают его формулой божественной гармонии, и называют «асимметричной симметрией».
До наших современников золотое сечение дошло со времен Древней Греции, однако, бытует мнение, что сами греки уже подсмотрели золотое сечение у египтян. Потому что многие произведения искусства Древнего Египта четко построены по канонам этой пропорции.
Считается, что первым ввел понятие золотого сечения Пифагор. До наших дней дошли труды Евклида (он при помощи золотого сечения строил правильные пятиугольники, именно поэтому такой пятиугольник назван «золотым»), а число золотого сечения названо в честь древнегреческого архитектора Фидия. То есть, это у нас число «фи» (обозначается греческой буквой φ), и равно оно 1.6180339887498948482… Естественно, это значение округляют: φ = 1,618 или φ = 1,62, а в процентном соотношении золотое сечение выглядит, как 62% и 38%.
В чем же уникальность этой пропорции (а она, поверьте, есть)? Давайте для начала попробуем разобраться на примере отрезка. Итак, берем отрезок и делим его на неравные части таким образом, чтобы его меньшая часть относилась к большей, как большая ко всему целому. Понимаю, не очень пока ясно, что к чему, попробую проиллюстрировать наглядней на примере отрезков:
Итак, берем отрезок и делим его на два других, таким образом, чтобы меньший отрезок а, относился к большему отрезку b, так же, как и отрезок b относится к целому, то есть ко всей линии (a + b). Математически это выглядит так:
Этот правило работает бесконечно, вы можете делить отрезки сколь угодно долго. И, видите, как это просто. Главное один раз понять и все.
Но теперь рассмотрим более сложный пример, который попадается очень часто, так как золотое сечение еще представляют в виде золотого прямоугольника (соотношение сторон которого равно φ = 1,62). Это очень интересный прямоугольник: если от него «отрезать» квадрат, то мы снова получим золотой прямоугольник. И так бесконечно много раз. Смотрите:
Ряд Фибоначчи и золотое сечение
Продолжаем творить и наблюдать за магией математики и золотого сечения. В средние века был такой математик — Фибоначчи. Он открыл числовую последовательность, числа в ней так и зовутся «числа Фибоначчи».
Сама последовательность выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... и дальше до бесконечности.
Если словами, то последовательность Фибоначчи — это такая последовательность чисел, где каждое последующее число, равно сумме двух предыдущих.
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи {Fn} задается линейным рекуррентным соотношением: F0=0, F1=1, Fn=Fn-1 + Fn-2, n≥2, nZ
Причем здесь золотое сечение? Сейчас увидите.
Спираль Фибоначчи
Чтобы увидеть и прочувствовать всю связь числового ряда Фибоначчи и золотого сечения, нужно снова взглянуть на формулы.
Для начала мы изменим нашу бесконечную дробь – добавим индексы, чтобы показать, как следующее значение (n+1) может быть получено из предыдущего значения (n)
Так как это бесконечная цепная дробь с ростом n искомое значение приближается к истинному значению .
Допустим, что (0) = 1, найдем (1);
(1)=1+ = 1+ = 1+1 = 2/1
Продолжим вычислять следующее значение - (2),
(2)=1+ = 1+ = 3/2
И далее (3), (4)…
(3)=1+ = 1+ = 5/3;
(4)=1+ = 1+ = 8/5 …
Посмотрите! Это последовательность Фибоначчи. Каждое приближение – это отношение двух соседних чисел Фибоначчи.
|
1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = 1,5 5/3 = 1,667 |
8/5 = 1,6 13/8 = 1,325 21/13 = 1,615 34/21 = 1,619 55/34 = 1,618 |
Иными словами, с 9-го члена последовательности Фибоначчи мы начинаем получать значения золотого сечения. И если визуализировать всю эту картину, то мы увидим, как последовательность Фибоначчи создает прямоугольники все ближе и ближе к золотому прямоугольнику. Вот такая вот связь.
Теперь поговорим о спирали Фибоначчи, ее еще называют «золотой спиралью».
Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно. Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.
В общем и целом, с точки зрения математики, золотое сечение — идеальная пропорция. Но на этом ее чудеса только начинаются. Принципам золотого сечения подчинен почти весь мир, эту пропорцию создала сама природа. Даже эзотерики, и те, видят в ней числовую мощь. В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным. Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:
-
расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
-
семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны; соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
-
форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
-
соотношение размеров пальцев на руке человека.
И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.
Золотые котики Фибоначчи
Ну и, наконец, о котиках! Вы задумывались о том, почему все так любят котеек? Они же ведь заполонили Интернет! Котики везде и это чудесно.
А все дело в том, что кошки — идеальны! Не верите? Сейчас докажу вам это математически!
Видите? Тайна раскрыта! Котейки идеальны с точки зрения математики, природы и Вселенной.
Заключение
Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. «Золотая пропорция» - символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост « по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.
Человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы очень далеких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.
«Золотое сечение» - один из основополагающих принципов природы.
Литература:
-
Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 2000г
-
Васютинский Н.А. Золотая пропорция. - М.: «Молодая гвардия», 1990.
-
Виленкин З.Н. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1978.
-
Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. - М.: «Наука», 1984.
-
https://pearative.ru/stati/chto-takoe-zolotoe-sechenie/