XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Четные и нечетные числа
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Всем известно, что целые числа можно разбить на чётные и нечётные. Оказывается, использование понятия чётности – нечётности числа может значительно облегчить решение многих олимпиадных задач.
Данная тема, раскрывающая использование свойств натуральных и целых чисел, очень актуальна, поскольку она встречается в заданиях олимпиад. Меня заинтересовала тема свойств четности и нечетности натуральных чисел и я решил изучить подробнее.
Объект исследования - натуральные чётные и нечетные числа.
Предмет исследования свойства натуральных четных и нечетных чисел.
Цель исследования – изучение свойств чётности и нечетности, применение их к решению задач, выявление области применения.
Гипотеза исследования: чётность натуральных чисел можно использовать при решении задач.
Задачи исследования:
- Изучить соответствующую литературу по теме исследования.
- Изучить свойства чётности и нечетности натуральных чисел и научиться решать задачи на их применение.
Историческая справка
Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. В случаях, когда в букете много цветов чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.
Задолго до нашей эры древнегреческий ученый Пифагор, занимаясь музыкой, установил связь между длинной струны музыкального инструмента и издаваемым звуком. Это наблюдение позволило Пифагору сделать вывод, что не только законы музыки, но и все на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» — провозгласил великий ученый.
По мнению Пифагора именно наука чисел может обладать ключом жизни и сути бытия. Проникая в свойства чисел, объясняя их различные сочетания, Пифагор пытался создать науку всех наук. Числа стали для Пифагора всем. Именно он впервые разделил все числа на четные и нечетные. Исследования Пифагора и его учеников положили начало важнейшей области математики — теории чисел. Четные числа обладают следующими свойствами: любое число может быть разделено на две равные части, обе из которых либо четны, либо нечетны. Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была дуада, неопределенным и женским.
Чётные числа Пифагор делил на три класса: чётно-чётные, чётно-нечётные, нечётно-нечётные.
Первый класс составляют числа, которые представляют собой удвоение чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 512 и 1024. Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться пополам и ещё раз, и так далее до получения единицы.
Чётно-чётные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов (слагаемых), кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. К примеру, сумма четырёх терминов (1+2+4+8) равна пятому термину - 16 минус один, то есть 15.
Ряд чётно-чётных чисел имеет и такое свойство: первый член, умноженный на последний, даёт последний, пока в ряду с нечётным числом терминов не останется одно число, которое будучи умножено само на себя, даст последнее число в ряду.
Чётно-нечётные числа - это числа, которые будучи разделены, пополам не делятся. Они образуются следующим образом: берётся нечётное число, умножается на 2, и так весь ряд нечётных чисел. В этом процессе 1, 3, 5, 7, 9, 11 дают чётно-нечётные числа 2, 6, 10, 14, 18, 22. Таким образом, каждое такое число делится на два один раз и больше делиться не может. Другая особенность этого класса чисел состоит в том, что если делитель - нечётное число, частное всегда будет чётным, и наоборот. Например, если 22 разделить на 2, чётный делитель, частное 11 будет нечётно.
Данный класс чисел примечателен ещё и тем, что любое число в ряду является половиной суммы терминов по обе его стороны в ряду: 18 есть ½ суммы 14 и 22 (чисел, стоящих от данного числа по обе стороны).
Нечётно-нечётные числа являются компромиссными между чётно-чётными и чётно-нечётными числами. В отличие от чётно-чётных они не могут последовательным делением привести к единице, а в отличие от чётно-нечётных они позволяют более чем однократное деление пополам. Нечётно-нечётные числа получаются следующим образом: умножая чётно-чётное число (больше 2) на нечётное число. Другие нечётно-нечётные числа образуются умножением ряда нечётных чисел на 4 и далее на весь ряд чётно-чётных чисел.
Нечётные числа не могут быть разделены равным образом, то есть поровну. Пифагор объяснял неспособность таких чисел делиться пополам следующим образом: поскольку 1 всегда остаётся неделимой, нечётное число таким же образом не может быть делимым. Если нечётное число попытаться разделить поровну, то получается два чётных числа, а последнее из них единица, которая является неделимой. Например, 9 есть 4+4+1.
Глава 1. Четность и нечетность натуральных чисел
1.1. Чётные и нечётные натуральные числа
Натуральные числа бывают четными и нечетными.
Четные числа — это числа, делящиеся на 2.
Их всегда можно представить в виде k = 2*n,где n — любое натуральное число. Чётное число — целое число, которое делится на 2. Чётные числа – это те числа, которые оканчиваются цифрами 0; 2; 4; 6; 8.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2.
Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1.
Что это значит? Это значит, что если у нас есть кучка из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, и т.д.), мы ее можем смело разложить на две равные кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Один предмет всегда будет лишним. Нечётные числа –это те числа, которые оканчиваются цифрами 1; 3; 5; 7; 9.
Любое четное число, большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чисел или на сумму двух нечетных чисел.
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных чисел — всегда четное число. Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Аналогично сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.
Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.
Четные и нечетные числа стали неотъемлемой частью нашей жизни. В теории числа четность определяется как характеристика целого числа, определяющая его способность делиться на два без остатка. То есть, если целое число делится без остатка на два, оно является чётным (2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (1, 3, 75, −19).
Интересно узнать, что нуль считается чётным числом.
Так же были выделены закономерности получения четных и нечетные чисел при выполнении основным арифметический действий:
При сложении и вычитании:
Чётное ± Чётное = Чётное
Чётное ± Нечётное = Нечётное
Нечётное ± Чётное = Нечётное
Нечётное ± Нечётное = Чётное
При умножение:
Чётное × Чётное = Чётное
Чётное × Нечётное = Чётное
Нечётное × Нечётное = Нечётное
При делении:
Чётное / Чётное — не дает однозначного ответа о чётности результата, поскольку, если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным;
Чётное / Нечётное = четное, если результат целое число;
Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, следовательно у него отсутствуют показатели четности;
Нечётное / Нечётное = нечетное, если результат целое число.
1.2. Свойства четности
Для решения задач используются свойства чётности:
Свойство 1. Сумма четных чисел четна.
Доказательство: 2