Формулы и правила быстрого счета

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Карякина А.И. 1

---

1МАОУ СОШ №22 города Тюмени

Извина О.А. 1

---

1МАОУ СОШ №22 города Тюмени

Работа в формате PDF

109.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Для того, чтобы чувствовать себя уверенно на уроках и контрольных нужно уметь быстро и правильно считать. Многие школьники, так же, как и я, хотят увеличить скорость вычислений.

Актуальность работы: каждый школьник должен уметь делать вычисления без помощи калькулятора. Этот навык потребуется везде, где нужно выполнить вычисления без калькулятора за ограниченное время.

Навык быстрого счета может понадобиться в любой момент, например: проверить расчеты, посчитать суммарную стоимость покупки, да просто удивить. Умение быстро считать поможет быстро обрабатывать и анализировать информацию [1]. Доказано, что тренировка счета повышает активность головного мозга, развивая при этом внимание, память и мышление [2].

Было изучено большое количество методов и приемов счета, в том числе, приемы счета Якова Исидоровича Перельмана [3], Якова Георгиевича Трахтенберга [4], Георгия Николаевича Бермана [5].

Часть этих методов воспринималась как демонстрация фокусов [6]. Каждый раз, изучая тот или иной способ вычислений, возникал вопрос: каким образом это получается? Особенностью работы является не только изложение способов быстрого счета, но и математическое их обоснование. На основе доказанных утверждений сформулированы правила быстрого умножения многозначных чисел.

Практическая значимость: результаты работы могут быть полезны при выполнении заданий ВПР, ОГЭ и ЕГЭ.

Гипотеза: владение приемами и алгоритмами быстрого счета позволяет увеличить скорость вычислений.

Цель: изучение методов быстрого счета.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу по теме исследования.

2. Выяснить, что необходимо знать и уметь, для освоения приемов быстрого счета.

3. Познакомиться с техниками быстрого счета.

4. Научиться применять техники быстрого счета, адаптировать их под свои потребности.

Объект исследования: математические алгоритмы.

Предмет исследования: алгоритмы быстрого счета.

В работе были использованы следующие методы исследования:

• анализ,

• обобщение,

• доказательство.

Глава I. Мозг. Базовые техники, приемы и тренинг счета

1. Мозг и тренинг счета

Мозг имеет около 100 миллионов мозговых клеток (нейронов). Связанные между собой нейроны образуют сети. Мозг работает путём передачи сигналов по сетям. Нейронные сети строятся по мере взаимодействия человека с окружающим миром. Эти сложные нейронные связи лежат в основе функционирования мозга и составляют основу интеллекта человека [7].

Прочность нейронной сети зависит от того, насколько часто она используется. Регулярный тренинг счета стимулирует нейронные пути, улучшает концентрацию внимания, память и способствует росту уровня интеллекта [8].

2. Навыки и упражнения, повышающие скорость счета

Чтобы быстро считать, нужно научиться без затруднений выполнять сложение и вычитание в пределах 20, знать таблицу умножения. Для запоминания таблицы умножения и сложения удобно использовать приемы мнемотехники [9].

Тренировка с использованием числовых таблиц Шульте, повышает способность формирования навыка быстрого счета. В классическом варианте таблица Шульте представляет собой квадратную таблицу, состоящую из 25 квадратных ячеек, в которые записаны числа от 1 до 25 в произвольном порядке. Тренировка заключается в визуальном поиске ячеек в порядке возрастания или убывания чисел [10].

Для формирования навыка счета в начальной школе хорошо работает упражнение по построению арифметической прогрессии. Более сложный вариант этого упражнения заключается в построении последовательности чисел, в которой чередуются члены двух арифметических прогрессий.

Любые упражнения, направленные на устный счет больших чисел, являются отличной зарядкой для ума [3].

3. Тождественные преобразования.

Облегчают вычисления и, следовательно, увеличивают скорость счета навык выявления закономерностей, умение группировать слагаемые и множители, раскрывать скобки, выносить множитель и делитель за скобку. Например, вычисление следующих выражений будет проще при использовании тождественных преобразований:

4. Визуализация алгоритмов и простые следствия

Сложение, вычитание в столбик, деление уголком очень громоздкие, отнимают много времени. Для сокращения времени письменных вычислений достаточно представить «столбик» или «уголок», и, выполняя последовательно вычисления, записать результат.

Полезно понимать:

• Вычитание 9, 8, 7 можно заменить вычитанием 10 и прибавлением соответственно 1, 2, 3.

• Умножение числа на 9, 99, 999, … можно заменить умножением на 10, 100, 1000, … соответственно с последующим вычитанием этого числа.

• Умножение на 5 можно заменить умножением на 10 и делением на 2.

• Умножение на 25 можно заменить умножением на 100 и делением на 4.

• Для умножения двузначного числа на 11 достаточно «раздвинуть» цифры и, если сумма цифр оказалась меньше 10, записать ее в центр. Если сумма цифр больше 10, то в центр ставим количество единиц суммы, а цифру слева увеличиваем на 1.

• Для умножения двузначного числа на 101 достаточно к числу приписать это же число.

• Для умножения трехзначного числа на 1001 достаточно к числу приписать это же число.

Последние три способа легко понять, рассмотрев умножение в столбик.

Итак, перечислены навыки и рассмотрены упражнения, которые помогут повысить скорость вычислений. Каждый новый прием счета – это новая нейронная связь. Перечисленные упражнения, владение мнемотехникой, позволят сформировать и закрепить вычислительный навык.

Глава II. АлгоритмЫ быстрого умножения чисел

1. Умножение чисел с равным количеством десятков.

Рассмотрим умножение чисел, имеющих одинаковое количество десятков.

(1)

Имеем

(2)

Получаем правило.

Правило 1. Чтобы перемножить два числа с равным количеством десятков, необходимо сумму одного множителя и единиц другого множителя умножить на произведение 10 и количества десятков, затем прибавить произведение единиц множителей.

Примеры:

Этот прием наиболее эффективен при вычислении квадратов чисел в пределах 20.

Например:

.

Заметим, что формула (2) упростится, если сумма единиц множителей равна 10.

Действительно, рассмотрим , где . Из (2) получим

(3)

Следствие 1. Чтобы найти произведение чисел с равными десятками, у которых сумма единиц равна 10, нужно перемножить количество десятков на количество десятков, увеличенное на 1, и приписать произведение единиц.

Пример 1. Вычислить произведение чисел 63 и 67.

Вычисляем

Приписываем , получаем

Пример 2. Вычислить произведение чисел 123 и 127.

По Правилу 1 вычисляем

Приписываем , получаем

Следствием Правила 1 является известный способ вычисления квадратов чисел, которые оканчиваются на «5».

Из (3) имеем

(4)

Следствие 2. Чтобы возвести в квадрат число, которое оканчивается на 5, нужно перемножить количество десятков на количество десятков, увеличенное на 1, и приписать 25.

Пример 3. Вычислить квадрат числа 85.

Применим Следствие 2. Сначала вычисляем

Приписываем 25, получаем

Пример 4. Вычислить квадрат числа 175.

Применим Следствие 2. Сначала по Правилу 1 вычислим

Приписываем 25, получаем

Следствие 2 является частным случаем Следствия 1.

Заметим, что при a, не равном 1, 2, 10, 20 и т.д. применение Правила 1 требует напряжения. При этом скорость вычислений в сравнении с умножением в столбик не возрастает (см. Приложение).

2. Умножение чисел с равными опорными числами.

Остановимся далее на случаях, которые дают наибольшее упрощение счета. Назовем круглое число опорным для множителя, если множитель отличается от опорного меньше чем на 10. Правило 1 соответствует случаю, когда оба множителя имеют равные опорные числа и одновременно превосходят его.

Рассмотрим случай, когда оба множителя меньше опорного.

Аналогично (2) получим

(5)

Получаем

Правило 2. Для нахождения произведения двух множителей с равными опорными числами и не превышающих опорное число, следует из одного множителя вычесть величину недостающих единиц до опорного числа другого множителя, результат умножить на опорное число и прибавить произведение недостающих до опорного числа единиц множителей.

Пример 5. Вычислить .

Здесь опорное число 50. Вычисления также будут несложными, поскольку для умножения на 50 достаточно умножить на 100 и поделить на 2.

Для сравнения применим Правило 1, получим

В данном случае применение Правила 1 и Правила 2 приводят к равнозначным по сложности вычислениям и на практике не дают существенного упрощения вычислений в сравнении с умножением в столбик.

Отметим, что, Правило 2 существенно упрощает время счета, если опорное число равно 100, 1000, … (см. Приложение).

Пример 6. Вычислить .

Здесь опорное число 100. По Правилу 2, получим

Остался случай, когда один множитель больше опорного числа, а другой меньше. Для определенности будем считать, что первый множитель больше опорного, а второй меньше. Аналогично (2), получим

(6)

Правило 3. Чтобы перемножить два множителя с равными опорными числами, причем один множитель больше опорного, а другой - меньше, необходимо сумму меньшего множителя и количество единиц большего множителя (или сумму большего множителя и количество единиц меньшего множителя) умножить на опорное число и вычесть произведение единиц большего множителя и количество недостающих единиц до опорного числа меньшего множителя.

Пример 7. Вычислить .

Пример 8. Вычислить .

Пример 9. Вычислить .

Заметим, если в (6) b=c, то формула примет вид

(7)

Таким образом, вычисления упрощаются в случае, если один множитель больше опорного на столько же, на сколько другой множитель меньше опорного.

Из (7) получим.

Следствие 3. Чтобы найти произведение чисел, одно из которых больше опорного на величину а, на которую второй множитель меньше опорного числа, нужно из квадрата опорного числа вычесть квадрат величины а.

Пример 10. Вычислить .

Применение Следствия 3 существенно увеличивает скорость вычислений (см. Приложение).

Таким образом, приведены доказательства и сформулированы правила, позволяющие умножать многозначные числа с равными опорными числами. Сформулированы и доказаны следствия, которые позволяют быстро находить произведение множителей, которые больше и меньше опорного числа на одинаковую величину; умножать числа с равным количеством десятков и с суммой единиц равной 10, вычислять квадраты чисел в пределах 20 и чисел, которые оканчиваются на 5.

заключение

Вычислительный навык – один из основных при формировании знаний по математике. В процессе работы получено представление о разных способах вычислений. Выполнен обзор доступных упражнений и простых методик, позволяющих быстрее вычислять как письменно, так и устно.

Обоснован способ нахождения произведения многозначных чисел. Выведены следствия, которые увеличивают скорость вычислений.

Создан видео контент в виде видеороликов, предназначенных и рассчитанных прежде всего на сверстников.

В этих роликах рассматриваются вычислительные приемы [3-5], демонстрируется применение сформулированных и доказанных правил и следствий.

В процессе выполнения работы пришло понимание, что использование традиционных универсальных методов вычислений никак не отменяется вычислительными правилами быстрого счета, поскольку этих правил очень много и нужно, во-первых, их запомнить, во-вторых, правильно применить.

При выполнении работы, приходилось много считать и анализировать, подбирать примеры и тренировочные задания, контролировать время вычислений. Это стало хорошей тренировкой счета. Собственная скорость вычислений заметно возросла. К примеру, время выполнения страницы школьного тренажера по математике уменьшилось более чем в два раза.

Вывод: в результате выполнения поставленных задач исследования, цель изучение методов быстрого счета достигнута. При этом, была подтверждена гипотеза о том, что владение алгоритмами и вычислительными навыками позволяет увеличить скорость вычислений.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ягодкин Н. А. Энциклопедия детской мотивации / Н.А. Ягодкин, Г.В. Годун,; А.Н. Згода, И.Г. Чередов. Под ред. А.Н. Згоды. – 1-е изд. – СПБ.: Любавич, 2019. – 312 с.

2. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка //Математика в школе, № 7, 2008. – URL: http://www.schoolpress.ru/products/rubria/
   index.php?ID=35196&SECTION_ID=42 (дата обращения: 30.11.2024)

3. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра. Живая математика / Я. И. Перельман. — Екатеринбург: Тезис, 1994. — 360 с.

4. Катлер Энн, Мак-Шейн Рудольф - Система быстрого счета по Трахтенбергу. - М: Советские учебники, 2024. – 136 с.

5. Берман Г. Н. Приемы счета / [под ред. А. Л. Брудно]. — 6-е изд. — М.: Физматгиз, 1959. — 88 с.

6. Арутюнян Е, Левитас Г. Занимательная математика. -М.: АСТ-пресс, 1999. – 368 с.

7. Черниговская Т. В. Языки сознания: кто читает тексты нейронной сети? // Человек в мире знания: в честь 80-летия акад. В.А. Лекторского. Российская политическая энциклопедия, 2012.

8. Дубынин В.А. Мозг и его потребности. От питания до признания. - М.: Альпина нон-фикшн, 2021. – 572 с.

9. Карякина А.И. Применение мнемотехники в начальной школе // Международный школьный научный вестник. – 2024. - № 3. – URL: https://school-herald.ru/article/view?id=1610 (дата обращения: 30.11.2024)

10. Васильева Е. Е., Васильев В. Ю. Суперпамять для всех. — М.: Аст, 2006. — 71 с. 

Приложение

Время вычислений