XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Прогрессия – движение вперед

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ревизова М.А. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Гречушкина О.М. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Работа в формате PDF

542.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Законы математики, имеющие какое-либо

отношение к реальному миру, ненадежны,

а надежные математические законы

не имеют отношения к реальному миру.

Альберт Эйнштейн

Актуальность

Математика давно стала частью нашей жизни. На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. Оказалось, что используя формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии можно найти расстояние, которое пройдет свободно падающее тело за пятую секунду после начала падения.

Я стала обращать внимание, что в средствах массовой информации часто звучат выражения «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др.

И я решила проверить, кроме физических задач на движение, можно ли решить задачи из других областей с помощью формул арифметической и геометрической прогрессии.

Цель: Выяснить, какое место в нашей жизни имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, уловить взаимосвязь прогрессий и кредитования.

Гипотеза: В различных сферах жизни человека используются знания о геометрической и арифметической прогрессии.

Задачи:

• Изучить теоретические сведения по данному вопросу

• Проанализировать действующие учебники алгебры 9 класса на наличие задач прикладного характера на арифметическую и геометрическую прогрессию.

• Найти примеры применения прогрессий в банковском деле

• Найти оптимальный вариант получения кредита

• Провести анкетирование старшеклассников

Методы и методики, которые использовались при разработке проекта:

• Анализ достоверных источников информации.

• Сравнение различных сведений, касающихся исследования.

• Систематизация и обобщение информации.

Глава 1. «Теоретическая часть»

Глава 1.1.Историческая справка

Слово «прогрессия» (от латинского progression) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившем в 6 веке. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

С начала нашей эры известна задача-легенда:

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал на первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два зерна, за третью – четыре и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В задаче надо было найти сумму 64 членов геометрической прогрессии с первым членом единицей и знаменателем 2.

В изумление ввели царя старца об истинных размерах оплаты: 8 квинтильонов 446 квадрильонов 744трилионна 073 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615

Архимед умел вычислять сумму числа членов геометрической прогрессии. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского.

Известна история о немецком математике К. Гауссе (1777-1855). В детстве на уроке математике он поразил учителя тем, что быстро сложил числа от 1 до 100. Он использовал такой способ.

Глава 1.2. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии. Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... и обозначается знаком: ÷

Свойства арифметической прогрессии:

-n-ный (общий) член арифметической прогрессии: 

Характеристическое свойство:

-каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предшествующим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным, либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле   или 

Глава 1.3. Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т. к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

_{Геометрическая прогрессия имеет вид:}

Свойства геометрической прогрессии:

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член и знаменатель q.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего. Таким образом, если q > 0, то прогрессия является монотонной последовательностью.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов. Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: .

Для нахождения суммы числа членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что , т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Глава 2. Прогрессии в различных сферах жизни человека.

2.1. Прогрессии в природе.

С амым показательным примером прогрессий может служить природа. Ученые-биологи обнаружили, что одноклеточные микроорганизмы размножаются с геометрической прогрессией. Одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн.

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

Задача 1.

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления стало 320?

Решение:

Пусть первоначально было b₁ инфузорий. Количество инфузорий увеличивается с геометрической прогрессией. Тогда после шестого деления их стало инфузорий

Ответ: 5 инфузорий было первоначально.

Те же законы применимы и для размножения рептилий, птиц, млекопитающих. Используя общеизвестные формулы и специальные знания, ученые-естественники могут рассчитать прирост животных в заповедниках и в дикой природе.

Задача 2.

Популяция кабанов в заповеднике увеличивается каждый год на 10%. По прошествии скольких лет число кабанов удвоится?

Решение:

Пусть было х кабанов. Тогда через год их стало:

2х кабанов станет по прошествии n лет.

Ответ: по прошествии 8 лет число кабанов удвоится.

Практически ничем не отличаются задачи, связанные с демографией человечества.

Задача 3.

Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится? 

Решение:

тыс. чел.

тыс. чел.

Ответ: 66 тысяч человек.

2.2. Прогрессии в строительстве и инженерном деле

П редставьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли. Рассмотрим такую задачу.

Задача 4.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение:

а₁= 12, а_n=1, d= -1

S_n- ?

a_n = a₁+ d · (n - 1) 1 = 12 + (n – 1)·(-1) 1 = 12 - n +1 n= 12 + 1 – 1

n= 12

Ответ: 78 бревен.

Иногда формулами арифметической прогрессии пользуются в своих расчетах инженеры. Например, при строительстве зданий и конструкций.

Задача 5.

Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька умела длину 50 см, а каждая из следующих 12 ступенек была на 2 см короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы?

_Дано:

_Найти:

Решение:

Ответ: 26 сантиметров.

2.3. Прогрессии в медицине и планирования лечения

Задача 6.

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Дано:

а₁= 15 мин d = 10

a_n = 1ч 45 мин = 105 мин

Найти: n = ?

Решение:

a_n = a₁+ d · (n - 1) 105 = 15 + (n – 1) · 10 105 = 15 +10 n – 10

-10n = 15 – 10 – 105 -10n = -100 n = 10

Ответ: 10 дней следует принимать воздушные ванны.

З адача 7.

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 – математическая модель прогрессии

a_n = a₁+ d · (n - 1) 40 = 5+ 5 · (n - 1), откуда n=

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период. Всего он принял 180+40+180=400, всего больной выпьет 400:250=1,6 пузырька. Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька

2.4. Прогрессии в спорте

Задача 9.

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Дано:

_{Решение:}

Подсчитаем количество промахов.

- промахов

- не удовлетворяет условию задачи - попаданий

Ответ: 21 раз попал в цель стрелок.

Глава 3. Прогрессии в кредитовании

3.1. Теоретические аспекты кредитования.

К редит (от лат. credit - он верит) - ссуда в денежной или товарной форме, предоставляемая кредитором заемщику на условиях возвратности, чаще всего с выплатой заемщиком процента за пользование ссудой.

Кредит - система экономических отношений, в процессе которых происходит движение ссудного капитала.

Основная роль кредита - расширение рамок денежного обра­щения.

Изучая литературы, я рассмотрела много различных классификаций кредитов. Рассмотрю одну из классификаций, которая меня более заинтересовала.

В зависимости от содержания формул, можно выделить три условных типа кредитных продуктов: «Стандартный», «Аннуитетный», «Потребительский». Условно говоря, тип кредитного продукта предполагает выбор формулы и алгоритм, по которому будут рассчитываться платежи:

1. Стандартный
   «Стандартный» кредит предполагает расчет дифференцированных платежей по формулам простых и сложных процентов. Особенность алгоритма расчета в том, что процентные деньги начисляются в зависимости от остатка долга. 

2. Аннуитетный
   Аннуитет, в общем смысле - денежный поток с равными интервалами и равными поступлениями денежных средств.  Здесь, аннуитетный платеж - это равный по сумме (как правило, ежемесячный) платеж по кредиту, который включает в себя сумму начисленных процентов за кредит и сумму основного долга. Используются две формулы для расчета аннуитетов с применением простых и сложных процентов. 
   3.Потребительский

«Потребительский» кредит, как и «Стандартный» рассчитывается по стандартным формулам простых и сложных процентов. Однако, кредит выплачивается равными платежами - аннуитетами, которые рассчитываются простым делением суммы всех платежей (долга и процентов) на количество выплат: 

Методы и алгоритмы расчета

1. Параметры для расчета кредитных продуктов
Общие параметры расчета включают:

1. Шаг расчета (в месяцах, днях),

2. Метод учета годового цикла (ACT/ACT, ACT/360, 360/360),

3. Предельный процент,

4. Расчетный процент (простой, сложный),

5. Расчетную валюту.

Выбирая формулу и условия расчета, можно смоделировать практически любой расчет. К условиям расчета относятся: 

1. Периодичность платежей,

2. Отсрочка по долгу,

3. Отсрочка по процентам,

4. Учет прогрессий,

5. Учет прочих разовых платежей,

6. Учет прочих периодических платежей,

Глава 4. «Исследовательская часть»

В нашем селе два банка: «Сбербанк России» и «Почта Банк». Исследование: Побывав во всех банках, побеседовав с кредитными специалистами и изучив рекламные проспекты по данной проблеме, я решила определить стоимость кредита в разных банках с равными условиями и проследить прогрессии в данных расчетах. Моей целью стало выяснить, во сколько мне станет кредит в банках нашего города на одну и ту же сумму. Сразу хочу заметить, что в мои цели не входит реклама какому - либо банку. Сбор, обработка и анализ информации – вот моя цель. Я решил остановиться на кредитах на неотложные нужды, которые предоставляют банки нашего села.

Учитывая результаты данного исследования, я сделала вывод, что «Сбербанк России» предоставляет наиболее приемлемые условия по двум видам кредитования. «Почта Банк» производит расчет дифференцированного платежа, а «Сбербанк России» - расчет аннуитетных платежей и что, действительно, тема «Прогрессии» тесно связана с кредитованием.

Но перед тем, как обращаться в ближайший банк, нужно хотя бы элементарно изучить этот вопрос с разных сторон, чтобы некоторые нюансы кредитования не стали полнейшей неожиданностью. Вот ряд типичных вопросов о различных нюансах кредитования и ответы на них, которые могут оказаться для соискателей действительно полезными

Список литературы:

• Математический энциклопедический словарь. – М.: «Советская энциклопедия», 1998.

• Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2021: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Лешон, 2021.

• Алгебра сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе / [Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.] – М.: Просвещение, 2021.

• Демин Ю. Все о кредитах. Понятно и просто. – СПб: Питер, 2007

• http://www.platesh.ru/annuitetnie-plateshi/

• http://www.strategic-line.ru