XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Современная математика представляет обширную область знаний, где уравнения и неравенства занимают центральное место. Эти математические конструкции служат основой для решения множества практических и теоретических задач. Как уравнения, так и неравенства помогают осознать вещи, раннее непонятные, а также помогают развивать логическое мышление и внимание. Существуют разные виды интересных методов, какие-то изучаются в школе, как например метод подстановки или замены, но есть и те, которые не отражены в школьных учебниках, они познаются со временем самим человеком, ввиду каких-то жизненных нужд или из принципа обыкновенного интереса.
Актуальность данной темы обусловлена тем, что традиционные методы решения уравнений и неравенств, часто оказываются недостаточными для решения более сложных задач. Недостаток знаний о нестандартных методах может привести к значительным трудностям на экзаменах и в практической деятельности. Поэтому исследование и систематизация знаний представляется не только актуальным, но и необходимым шагом для повышения моего уровня знаний, качественной подготовке к сдаче ЕГЭ и дальнейшего обучения.
В своём исследовании хочу подробней изучить всё, что связано с данной темой, узнать, как можно больше различных вариаций для решения уравнений и неравенств, а главное научиться применять знания на практике.
Цель исследования:
Изучить и проанализировать нестандартные методы решения неравенств и уравнений.
Задачи:
-
Изучить литературу по данной теме.
-
Рассмотреть нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
3. Показать практическое применение нестандартных методов при решении различных задач.
4. Создать информационный буклет по данной теме (Приложение2).
5. Провести опрос одноклассников.
6. Создать приложение для решения систем линейных уравнений с помощью метода Крамера на Python ( с помощью модуля SumPy).
7. Сделать выводы по теме.
Объект исследования: уравнения и неравенства.
Предмет исследования: нестандартные методы решения неравенств и уравнений.
Методы исследования: обобщение, анализ, классификация, систематизация, сравнение.
Основная часть
1. Немного из истории
За несколько тысяч лет до н. э., египтяне и вавилоняне умели решать уравнения, но их вид мало напоминал современные. Математика, как наука, зародилась в Древней Греции. Накопленные знания из Вавилона и Египта, греками были развиты и углублены. Знаковый вклад в алгебру внёс греческий математик Диофант, живший в III веке н. э. Он разработал методы решения уравнений и систем уравнений со многими неизвестными в рациональных числах, но в его решении лишь положительные корни. В IX столетии узбекский учёный и астроном Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми сформировал основы современной алгебры. Его трактат «Краткая книга о восполнении и противопоставлении» не только дал название этой области, но и предложил действия, которые стали фундаментальными при решении уравнений. «Первое из них, аль-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие - аль-мукабала состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения» . В нем рассмотрены и решены геометрически 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.
В работах европейских математиков XIII -- XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель, который рассматривал уже и отрицательные корни.
В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них: «Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?».
Французский математик Франсуа Виет внес значительный вклад, введя буквенные обозначения и решив знаменитую задачу расшифровки сложного шифра испанских инквизиторов. Его героизм и гениальность вошли в историю науки. Алгебра как искусство решения уравнений возникла из прагматических нужд, связанных с решением однотип-ных задач на практике. Вклад Нильса Абеля в теорию уравнений, изменило представление о возможностях алгебры. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.
Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.
С течением времени алгебра эволюционировала и усложнилась, но её базовые принципы остаются актуальными. Как в древности, так и сейчас элементарная алгебра служит неоценимым инструментом для развития логического мышления.
2. Основные теоретические сведения
1. Уравнением называют равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.
2. Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
3. Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет.
4. Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: >,<,≥,≤.
5. Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
6. Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.
Основные свойства при решении уравнений и неравенств
1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
3. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
4. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
5. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства.
3. Стандартные методы решения
Метод разложения на множители
При разложении на множители используют вынесение общего множителя за скобку, формулы сокращённого умножения, способ группировки, деление многочлена на многочлен.
Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения или неравенства, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. В правой части должен быть ноль.
Метод замены переменной
Суть этого метода - замена сложного выражения, содержащего неизвестную величину, новой переменной, в следствии чего мы получаем уравнение или неравенство упрощённого вида. После этого полученное уравнение или неравенство решается относительно новой переменной, далее происходит возврат к исходной переменной.
-
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
Нестандартные методы решения уравнений и неравенств представляют собой область математики, которая расширяет традиционные подходы к анализу и нахождению решений, используя оригинальные способы решения.
4.1. Метод подстановки
Одним из примеров нестандартного метода является метод подстановки, который может использоваться для упрощения сложных уравнений и неравенств. Вместо того чтобы решать непосредственно, мы можем ввести новую переменную, которая сделает уравнение или неравенство более удобным для анализа. Например, в уравнениях высших степеней или тригонометрических - замена переменной может привести к более простым выражениям. Это открывает возможность для поиска корней через решения более простых, но равносильных уравнений.
Пример 1. Решить уравнение:
Решение: Обозначим , тогда и уравнение примет вид: , откуда t=0,5, а .
Пример 2. Решите неравенство
Сделаем замену переменной
Приходим к системе ,
Учитывая условие y≥0, получаем решение системы: y≥3.
Сделаем обратную замену:
Ответ: [729;+∞).
4.2. Метод перебора
Метод перебора - ещё один важный инструмент в арсенале нестандартных решений. Хотя он может показаться примитивным, но в ряде случаев такой подход полностью оправдан. Это позволяет находить решения, о которых можно было бы не задуматься при использовании более традиционных методов, таких как алгебраические преобразования.
Пример 1. Решить в целых числах уравнение: .
Решение: Число 96 делится нацело на (x+y), если сумма (x+y) принимает значения 1;2;3;4;6;8;12;16;24;32;48;96. Легко перебрать и найти решения.
. Ответ: (2;4);(4;2); (1;95).
Пример 2. (Всероссийская олимпиада школьников муниципальный этап, 10 класс, 2023 г.)
Найти все пары целых чисел (х;у), для которых .
Решение: , .
Если сумма двух квадратов целых чисел равна 4, то один из квадратов равен 4, а другой – 0. Пусть Откуда получаем, что 2-у=2 или 2-у=-2, т.е., у=0 или у=4. Получаем два решения: (2;0); (2;4).
Пусть Откуда получаем, что x-y=0, что даёт ответы: (0;0); (4;4).
Ответ: (2;0); (2;4); (0;0); (4;4).
4.3. Метод умножения уравнения на функцию
Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию - многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней - корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.
Пример 1. Решить уравнение: .
Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен не имеющий корней, получим равносильное уравнение: ( . Получим: ,
которое не имеет действительных корней, поэтому и исходное уравнение их не имеет.
Ответ: нет решений.
4.4. Использование числовых неравенств в решениях
Решение уравнений и неравенств часто требует нестандартных подходов, которые позволяют найти ответ быстрее или более элегантным способом, чем традиционные методы. Одним из таких методов является использование числовых неравенств, которые позволяют оперировать с величинами, следуя при этом определённым правилам и свойствам, а также формулировать условия для решения задач.
Числовые неравенства, такие как неравенства треугольника, Коши и другие, служат полезными инструментами в различных математических контекстах. Рассмотрим неравенство треугольника. Это классическое неравенство утверждает, что сумма длин сторон любого треугольника всегда больше длины оставшейся стороны. В контексте решения уравнений, применение этого неравенства позволяет установить ограничения на значение значений переменной, что может упростить задачу.
Для примера, допустим, требуется решить неравенство, связывающее несколько выражений. С применением неравенства треугольника можно утверждать, что сумма модулей элементов не может превышать сумму самих элементов. Это имеет важное значение при анализе поведения функций, включая абсолютные величины, что особенно актуально в случае, если функции не крайне просты для анализа.
Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши): где