XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

1 способ.

1)100%-20%=80%=0,8

2)680:0,8=850 (руб.)

2 способ.

х руб. – 100%

680 руб. – 80%

х=680∙100:80=850 (руб.)

Ответ: 850 рублей.

2) Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение. 5000 – 3000 = 2000 (руб.) – на столько снижена цена на телефон

2000:5000 ∙100 = 2:5 ∙100 = 0,4 ∙100 = 40 %.

Ответ: на 40 %.

3 )Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:

22 • 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);

2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

Ответ: 2,5 кг.

 Решение задач на смеси и сплавы.

Рассмотрим примеры подобных задач.

4) Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

10 + 15 = 25 (кг) - сплав;

10 : 25 • 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;

15 : 25 • 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.
Разберемся с понятием «концентрация», которое связано с процентами.

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.

Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное содержание кислоты в растворе равно 0,3. Или 30%.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.Тогда:

• концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина m/М;

• процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) обычно такого вида:

Задаются две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

5)Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Схема задачи:

Доля₁ × m₁ + Доля₂ × m₂ = Доля смеси × m смеси

Пусть x – Доля₁, а y – Доля₂

x × 40 + y × 30 = 0,73 × 70 1

x × m + y × m = 0,72 × 2m 2

Выразим y: y = 1,44 – x

Подставим y в 1 уравнение

40x + 30 × (1,44 – x) = 51,1

40x + 43,2 – 30x = 51,1

10x = 7,9

x = 0,79

y = 1,44 – 0,79 = 0,65

30 × 0,65 = 19,5 кг

 Ответ: 19,5 кг.

 

Сложные проценты

В задачах на банковские расчёты, которые входят в ЕГЭ, встречаются не только простые, но и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

6) Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.

Решение:

100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.

300 • 1,04 = 312 (тыс. р) – величина вклада через 1 месяц.

312 • 1,04 = 324,48 (тыс. р) – величина вклада через 2 месяца.

324,48 • 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.

Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300•1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) – величина вклада через 3 месяца.

Ответ: 337 459,2 рубля

Решение задач на проценты с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).

Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р)

Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 – 0,01р).

7) Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

Решение:1 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 – х ) %.

Составим пропорцию
5000 руб. – 100%
у руб. – (100 – х)%,

получим у = 5000 • (100 – х) / 100 = 50 • (100 – х) рублей – стоимость товара после первого понижения.

Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 • (100 – х) руб. – 100%
z руб. – (100 – х)%, получим z = 50 • (100 – х) (100 – х) / 100 = 0,5 • (100 – х)² рублей – стоимость товара после второго понижения.

Получим уравнение 0,5 • (100 – х)² = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .

2 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х,

х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 • (1 – 0,01х)² = 4050.

Решив его, получим, что х = 10 %.

Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.

8) В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Решение:

Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %,

х % = 0,01 х,

а исходная стоимость акций была А.

Используя все условия задачи, получаем уравнение:

(1 + 0,01 х)(1 – 0,01 х)А = (1 – 0,09)А,
1 – (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.

Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.

Задачи на вклады

9) В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?

Решение:Пусть вкладчик в банк первоначально положил х рублей. Тогда за 3 года хранения этих денег вклад вырос бы до 1,1³ х рублей.

За первый год хранения вклада он вырос до 1,1x рублей. Когда через год вкладчик снял 2000 рублей, на счете осталось 1,1x - 2000 рублей. В конце второго года хранения вклада на эту сумму были начислены проценты, вклад стал:

(1,1x – 2000) 1,1рублей. Когда вкладчик снова внес 2000 рублей, сумма вклада стала равна (1,1x – 2000) 1,1 + 2000 рублей.

К концу третьего года хранения вклада сумма увеличилась до:

((1,1x – 2000) 1,1 + 2000)1,1=1,1³х - 1,1²*2000+1,1*2000  рублей.

Эту сумму снял вкладчик в итоге вместо первоначально запланированной

1,1³ х рублей.

Найдем искомую разность: 1,1³х - 1,1³х + 1,1²*2000-1,1*2000 = 1,1*2000 (1,1-1)=1,1*2000*0,1=220 рублей.

 Ответ: на 220 рублей.

Задачи на кредиты

10)15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.

Тогда 1,01А долг после первого месяца.

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15.

При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.

Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.

Тогда долг после второго платежа 13А/15.

Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:

А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.

А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:

1,08А/15 = 108,А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.

2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.

Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:

(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.

Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 1620000 рублей.

Заключение

После того, как весь материал был собран, я начала разрабатывать варианты оформления пособия. В целях экономии средств макет для пособия я разработала самостоятельно. Выбрала формат А4 поскольку проще найти распечатать и сброшюровать. Макет распечатала на принтере самостоятельно, а затем воспользовалась услугами копировального салона, чтобы сброшюровать листы на пружинках. Также в салоне решено было добавить к пособию мягкую обложку.

Так как макет был сохранен в электронном виде, то напечатать нужное количество пособий можно в любой момент.

Пособие включает в себя предисловие, задачи ОГЭ с процентами и задачи ЕГЭ с процентами, задачи для самостоятельной работы и ответы на них.

Результатом моей проектной деятельности является методическое пособие.

В ходе работы я достигла поставленной перед собой цели и выполнила все задачи, определенные мной в начале работы:

1. Создала методическое пособие для решения задач на проценты;

2. Используя несколько интернет-источников, смогла подобрать типовые задачи;

3. Проанализировав выбранные задачи, я определила, какие задачи я добавлю в пособие;

4. Разработала наиболее удобный вариант оформления методического пособия;

5. Изучив требования к методическим пособиям, я подготовила свое методическое пособие к изданию;

6. Издала пособие.

Список литературы и Интернет-источников

1. Алешковский И.А. − Математика в экономике: Экономико-математические задачи на проценты и доли: Пособие для поступающих на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова. − 3-е изд., испр., перераб. - М.: МАКС Пресс, 2006. − 80 с. (Серия «Абитуриенту МГУ»)

2. Замков О.О., Толстонятенко А.В, Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.Виды процентов.

3. Шестаков С. А. — Ш51 ЕГЭ 2020. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020.— 208 с.

4. Анализ результатов проведения основного государственного экзамена, выявления и профилактики нарушений действующего законодательства в сфере образования в московской области https://mo.mosreg.ru/download/document/16438349

5. Виды процентов https://www.sravni.ru/enciklopediya/info/vidy-procentov/

6. СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ Образовательный портал для подготовки к экзаменам Математика профильного уровня. https://ege.sdamgia.ru/

7. https://mo.mosreg.ru/sobytiya/novosti-ministerstva/01-06-2023-13-52-38-vypuskniki-podmoskovnykh-shkol-sdali-ege-po-matema

8. https://rutube.ru/video/b80618441348f8929db1a28811d06eea/?r=wd