XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Различные способы разложения многочлена на множители

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Величко Е.Д. 1

---

1МАОУ "ЦО "Восход", 9 класс

Хрипков А.С. 1

---

1МАОУ "ЦО "Восход"

Работа в формате PDF

119.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Я ученица 9 класса, с целью подготовки к ОГЭ я решила повторить пройденные темы по математике. Тема разложения многочлена на множители актуальна в курсе алгебры, так как она находит применение в различных областях математики. Знание способов разложения многочлена позволяет упрощать выражения, решать уравнения и неравенства, а также исследовать функции. Таким образом, эта тема имеет важное практическое значение и способствует развитию мышления. Проблема, связанная с темой «Различные методы разложения многочлена на множители», может заключаться в том, что многие могут столкнуться с трудностями при понимании и применении различных способов разложения многочленов на множители. Существует множество способов это сделать и для эффективности следует выбрать для себя самый удобный.

Цель: изучить различные способы разложения многочлена на множители.

Задачи:

• Изучить литературу, связанную с темой работы

• Исследовать различные способы разложения многочлена на множители

• Привести примеры решения задач, связанные с разложением многочленов на множители

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Многочлены в школьном курсе алгебры

В рамках школьной программы, начиная с седьмого класса, ученики знакомятся с понятием многочлена. Многочлен в алгебре представляет собой сумму одночленов.

В школьном курсе алгебры в основном уделяют внимание многочленам с одной или двумя переменными. Многочлены с двумя переменными используются для решения уравнений и неравенств, а также при работе с функциями.

В средней школе ученики осваивают пять основных операций с многочленами: сложение, вычитание, умножение, деление, вынесение общего множителя.

Понятия одночлена и многочлена активно применяются при выводе формул, решении уравнений и неравенств, нахождении значений выражений и исследовании функций.

1.2 Основные определения, встречающиеся при изучении темы «многочлен»

Определение 1. Многочлен — это сумма одночленов.

Определение 2. Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

Определение 3. Стандартный вид многочлена — это форма записи многочлена, при которой каждый одночлен записан в виде произведения числового коэффициента и переменной в степени.

Определение 4. Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из всех степеней одночленов, которые входят в состав многочлена.

Определение 5. Коэффициенты многочлена — это числовые множители при переменных в многочлене.

Определение 6. Подобные члены многочлена — это слагаемые в многочлене, имеющие одинаковую буквенную часть.

Определение 7. Свободный член многочлена — это коэффициент при переменной в нулевой степени.

Определение 8. Привести подобные члены многочлена — значит, привести подобные слагаемые в этом многочлене.

1.3 Классификация многочленов

Классификация многочленов может быть основана на количестве членов:

1. Одночленный. Многочлен, состоящий из одного члена. 

2. Двучлен. Многочлен, содержащий два члена. 

3. Трёхчлен. Многочлен, содержащий три члена.

4. Если многочлен имеет более трёх слагаемых, то он называется просто

многочленом.

По степени многочлена: 

1. Постоянный. Многочлен нулевой степени. 

2. Линейный. Многочлен первой степени, который не может быть разложен на множители, так как он уже находится в простейшем виде.

3. Квадратичный. Многочлен второй степени, который может быть разложен на множители с использованием квадратного трёхчлена, дискриминанта.

4. Кубический. Многочлен третьей степени, который может быть разложен на множители с использованием кубического алгоритма.

5. Квартирный. Многочлен четвёртой степени.

6. Критичный. Многочлен пятой степени.

1.4 Тождественные преобразования многочленов

• Приведение подобных слагаемых — это процесс, в ходе которого находится алгебраическая сумма.

• Сокращение дробей — значит разделить её числитель и знаменатель на их общий делитель.

• Разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени.

• Разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней.

• Возведение в степень суммы и разности —используются формулы сокращённого умножения.

• Разложение многочлена на множители с использованием его корней.

• Выделение полного квадрата из трёхчлена — это тождественное преобразование, при котором заданный трёхчлен представляется в виде суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения. 

• Понижение порядка многочлена путем замены аргумента.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

Методы разложения многочлена на множители значительно упрощают решение уравнений, позволяя представить сложное выражение в виде произведения более простых множителей. Это упрощает процесс нахождения корней и помогает лучше понять структуру уравнения.

2.1 Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки — это применение распределительного правила умножения для преобразования многочлена и получения в результате произведения.

Порядок действий:

1. Найти максимально возможный общий делитель коэффициентов всех одночленов, составляющих многочлен. 

2. После определения общего числового множителя найти общую буквенную часть для всех многочленов путем выбора минимального показателя степени. 

3. Общий множитель, который является произведением коэффициента и общей буквенной части, вынести за скобки. 

4. Каждый из членов, входящих в состав многочлена, разделить на вынесенный множитель и заключить полученный результат в скобки.

В результате вынесения общего множителя за скобки в них остаётся такое же количество одночленов, которое содержалось в исходном многочлене. 

Пример 1.

2.2 Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) позволяют проводить умножение, возведение в степень чисел и многочленов сокращённо, то есть быстрее при более компактной записи решения.  

Эти тождества служат для разложения многочленов на множители, упрощения выражений и приведения многочленов к стандартному виду.

Некоторые формулы ФСУ:

• Квадрат суммы. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе выражение, плюс квадрат второго выражения. 

(a + b)² = a² + 2∙ab + b²

Пример 2.

• Квадрат разности. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе выражение, плюс квадрат второго выражения. 

(a - b)² = a² - 2∙ab + b²

Пример 3.

• Разность квадратов. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму. 

a² - b² = (a - b)∙(a + b)

Пример 4.

• Сумма кубов. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. 

a³ + b³ = (a + b)∙(a² - ab + b²)

Пример 5.

• Разность кубов. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. 

a³ - b³ = (a - b)∙(a² + ab + b²)

Пример 6.

• Куб суммы. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения. 

(a + b)³ = a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + b³

Пример 7.

• Куб разности. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

(a - b)³ = a³ - 3∙a²b + 3∙ab² - b³

Пример 8.

2.3 Выделение полного квадрата

Выделение полного квадрата — это тождественное преобразование, при котором заданный трёхчлен представляется в виде суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул:

a²+2ab+b²=(a+b)²

a²−2ab+b²=(a−b)²

Пример 9.

Пример 10.

2.4 Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Следствие из теоремы Безу: число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится без остатка на двучлен.

Чаще всего при решении задач используется не сама теорема Безу, а следствие из неё:

Если число является корнем многочлена , то многочлен 

P(x)= α₀xⁿ+ α₁x^n-1+ α₂x^n-2+…+ α_nделится без остатка на двучлен x – α.

Таким образом, для разложения многочлена на множители достаточно угадать какой-нибудь корень уравнения и разделить многочлен на двучлен. В результате получится разложение исходного многочлена на два множителя. Если необходимо, то для нелинейного множителя эту операцию можно повторить еще раз.

Пример 11.

2x³ – 3x² + 5x – 14 = 0

Пусть x = 2, тогда

2*2³ – 3*2² + 5*2 – 14 = 16 – 12 + 10 – 14 = 0

2 x³ – 3x² + 5x – 14 x – 2

2x² + x + 7

2x³ – 4x²

x² + 5x – 14

x² – 2x

7x – 14

7x – 14

0

Получается, что

(x – 2)(2x² + x + 7) = 0

2.5 Схема Горнера

Схема Горнера — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной.

Алгоритм решения:

Задан многочлен

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³+ … + a_nxⁿ,

Пусть требуется вычислить значение данного многочлена при фиксированном значении x=x_0.  Представим многочлен P(x) в следующем виде:

P(x) = a₀ + x(a₁ + x(a₂ + … x(a_n-1 + a_nx)…))

Определим следующую последовательность:

b_n=a_n,

b_n-1=a_n-1+b_nx₀,

…b_i=a_i+b_i+1x₀,

…b₀=a₀+b₁x₀.

Искомое значение P(x₀) есть b₀. Покажем, что это так.

В полученную форму записи P(x) подставим x=x₀ и будем вычислять значение выражения, начиная с внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через b_i :

P(x₀) = a₀ +x₀(a₁ +x₀(a₂ + … x₀(a_n-1 +a_nx₀) …)) =

= a₀ + x₀(a₁ + x₀(a₂ + … x₀b_n-1…)) =

= a₀ + x₀b₁=

=b₀.

Пример 12.

Пусть , тогда

Получаем:

2.6 Теорема о рациональном корне

Теорема о рациональном корне утверждает, что каждый рациональный корень , где p и q — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что  является делителем свободного члена a₀, а — делителем старшего коэффициента a_n.

Два ключевых условия теоремы:

• Условие ведущего коэффициента: ведущий коэффициент, который является коэффициентом члена с наибольшей степенью переменной, должен быть кратен знаменателю дроби, представляющей рациональное решение.

• Условие постоянного члена: постоянный член, который является частью уравнения без какой-либо переменной, должен быть кратен числителю дроби, представляющей рациональное решение. 

Пример 13.

Каждый рациональный корень многочлена должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются ± и ± 1. Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 14.

Каждый рациональный корень многочлена должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Из них 1, 2 и – 3 обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках проекта я вспомнила и изучила различные методы разложения многочленов на множители, такие как вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, теорему Безу, схему Горнера и теорему о рациональном корне.

Я пришла к выводу, что знание и понимание этих методов позволяют эффективно решать широкий круг задач, связанных с разложением многочленов на множители. Это не только помогает упрощать выражения и решать уравнения, но и способствует развитию математического мышления, логики и аналитических способностей.

Таким образом, изучение способов разложения многочленов на множители является важным этапом в освоении математики. Оно не только расширяет наши знания и навыки, но и развивает важные интеллектуальные качества, которые могут быть полезны в различных областях жизни.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• Болтянский, В.Г. Симметрия в алгебре [Текст] / В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленский. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2012.

• Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] / А.Г. Курош. - 11-е изд. - М.: Наука, 2005.

• Левитин А. В.// Алгоритмы. Введение в разработку и анализ. — М.: Вильямс, 2006

• Многочлены от одной переменной (теория и приложения): учеб. пособие / С.Я. Гриншпон, И.Э. Гриншпон. 2016 г.

• Табачников, С.Л. Многочлены [Текст] / С.Л. Табачников. - 2-е изд., пересмотр. - М.: ФАЗИС, 2012.

• Теория многочленов от одной переменной [Электронный ресурс]: учеб.-практ. пособие / Н. Ю. Куранова, Р. Н. Тихомиров; Владим. гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых. – Владимир: Изд-во ВлГУ, 2020

• https://foxford.ru/wiki/matematika/formuly-sokraschennogo-umnozheniya?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F