функция и её свойства, построение функции

XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

функция и её свойства, построение функции

Таранов Ю.А. 1
1МАОУ "ЦО" ВОСХОД"
Хрипков А.С. 1
1МАОУ "ЦО "Восход"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Функции — это одно из важнейших понятий в математике. Они помогают описывать зависимости между величинами и используются в физике, экономике, инженерии и других науках. В этом проекте мы рассмотрим, что такое функция, ее свойства, а также научимся строить графики функций и преобразовывать их.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИИ

1.1 Основные определения, связанные с функцией

Функция — это правило, которое каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставит в соответствие ровно один элемент другого множества (называемого областью значений).

- Область определения (D) — это множество всех значений x , для которых функция определена.

- Область значений (E) — это множество всех значений y , которые может принимать функция.

- График функции — это множество точек на координатной плоскости, где x — это аргумент, а y — значение функции.

Пример:

Функция y = 2x + 3 задает правило: каждому x ставится в соответствие y = 2x + 3 .

1.2 Свойства функций и их графики

Функции могут обладать различными свойствами, такими как:

- Монотонность — функция может быть возрастающей или убывающей.

- Четность — функция может быть четной ( f(-x) = f(x) ) или нечетной ( f(-x) = -f(x) ).

- Ограниченность — функция может быть ограниченной сверху или снизу.

- Экстремумы — точки, где функция достигает максимального или минимального значения.

- Асимптоты — прямые, к которым график функции приближается, но не пересекает.

Рассмотрим основные виды функций и их графики.

1.2.1 Линейная функция

Линейная функция задается формулой:

y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — свободный член.

Свойства:

- График линейной функции — прямая линия.

- Если k > 0 , функция возрастает; если k < 0 , функция убывает.

- b показывает, где график пересекает ось y .

Пример:

y = 2x + 1 — прямая, которая пересекает ось y в точке (0, 1) и возрастает.

1.2.2 Квадратичная функция

Квадратичная функция задается формулой:

, где a , b , c — коэффициенты, причем a ≠ 0 .

Свойства:

- График квадратичной функции — парабола.

- Если a > 0 , ветви параболы направлены вверх; если a < 0 , ветви направлены вниз.

Пример:

— парабола с вершиной в точке (2, -1), ветви направлены вверх.

1.2.3 Степенная функция

Степенная функция задается формулой: y = xn

Свойства:

- Если n четное, график симметричен относительно оси y .

- Если n нечетное, график симметричен относительно начала координат.

Пример:

y = x3 — кубическая парабола, проходящая через начало координат.

ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

2.1 Основные элементарные преобразования

Графики функций можно преобразовывать с помощью следующих операций:

1. Сдвиг вдоль оси y : y = f(x) + a — график сдвигается вверх или вниз на a единиц.

2. Сдвиг вдоль оси x : y = f(x - a) — график сдвигается вправо или влево на a единиц.

3. Растяжение или сжатие:

- y = kf(x) — растяжение или сжатие вдоль оси y .

- y = f(kx) — растяжение или сжатие вдоль оси x .

4. Отражение:

- y = -f(x) — отражение относительно оси x .

- y = f(-x) — отражение относительно оси y .

Пример преобразований:

Рассмотрим функцию .

- y = x2 + 3 — сдвиг вверх на 3 единицы.

- y = (x - 2)2— сдвиг вправо на 2 единицы.

- y = 2x2 — растяжение вдоль оси y в 2 раза.

- y = -x2 — отражение относительно оси x .

2.2 Построение графиков функций

Чтобы построить график функции, нужно:

1. Определить область определения и область значений.

2. Найти ключевые точки (например, пересечение с осями, вершины).

3. Применить преобразования, если они заданы.

4. Построить график на координатной плоскости.

Пример:

Построим график функции :

1. Это квадратичная функция, график — парабола.

2. Вершина параболы находится в точке (1, 3) .

3. Ветви направлены вверх, так как коэффициент при положительный.

4. График сдвинут на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1. Постройте график функции . Опишите, какие преобразования были применены.

2. Найдите вершину параболы для функции .

3. Постройте график линейной функции y = -2x + 5 и найдите точки пересечения с осями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Функции — это мощный инструмент для описания зависимостей между величинами. Понимание их свойств и умение строить графики помогает решать задачи в математике и других науках. В этом проекте мы рассмотрели основные виды функций, их свойства, научились строить графики с помощью преобразований и решили практические задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике. Мн.: ООО «Асар», 2004. 464с.

  2. Балаян Э. Н. Графики функций, уравнения и неравенства, содержащие модуль: учебное пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 2021. 236с.

  3. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. 2-е изд., испр, и доп. – Мн.: Выш. школа, 1979. 368 с.

  4. Покровский В. П. Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия: учеб.-метод. Пособие. Владимир: ВлГУ, 2014. 143 с.

Просмотров работы: 19