XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Актуальность применения различных методов решения квадратных уравнений при подготовке к ВПР и ОГЭ по математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мустаева М.М. 1

---

1МОБУ СОШ д.Подымалово

Мустаева С.Р. 1Каримова А.В. 1

---

1МОБУ СОШ д.Подымалово

Работа в формате PDF

309.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

Введение

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познанияестественных законов, но и служит практическим целям. Большинствожизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще этоуравнения квадратного вида.

Квадратные уравнения являются одной из ключевых тем в школьной программе по математике, изучаемой в 8 классе. Умение решать квадратные уравнения не только необходимо для успешной сдачи ОГЭ, но и формирует базовые навыки, которые пригодятся в дальнейшем обучении. Разнообразие методов решения квадратных уравнений позволяет учащимся выбрать наиболее подходящий способ, что повышает их уверенность и интерес к математике.

В школьной программе рассматривается несколько способов их решения.Готовясь к предстоящим всероссийским проверочным работам и основным государственным экзаменам по математике, я решила проанализировать какими способами можно решить квадратные уравнения. Поэтому я выбрала тему «Актуальность применения различных методов решения квадратных уравнений при подготовке к ВПР и ОГЭ по математике».

Актуальность темы:Целью данной работы является анализ и обоснование актуальности применения различных методов решения квадратных уравнений в процессе подготовки учащихся к основному государственному экзамену (ОГЭ) по математике. В рамках этой цели планируется рассмотреть:

3. 1. Разнообразие методов решения квадратных уравнений (факториальный, через дискриминант, графический и др.).

   2. Эффективность каждого метода в контексте экзаменационных заданий.

   3. Влияние выбора метода на понимание математических понятий и развитие логического мышления у учащихся.

Цель работы: Актуальность темы обусловлена несколькими факторами:

1. Увеличение требований к уровню математической подготовки: Современные экзамены, такие как ОГЭ, требуют от учащихся не только знания формул, но и умения применять различные методы решения задач. Это подчеркивает важность разнообразия подходов к решению квадратных уравнений.

2. Разнообразие экзаменационных заданий: Задания на экзамене могут варьироваться от простых до сложных, что требует от учащихся гибкости в выборе методов. Освоение различных подходов позволяет лучше подготовиться к неожиданным формулировкам задач.

3. Развитие критического мышления: Изучение нескольких методов решения способствует развитию аналитических навыков и критического мышления, что является важным аспектом не только в математике, но и в других предметах.

4. Поддержка индивидуальных стилей обучения: Учащиеся могут иметь разные стили восприятия информации и предпочтения в решении задач. Возможность выбора метода позволяет каждому учащемуся находить наиболее удобный для себя способ решения, что может повысить мотивацию к обучению.

5. Подготовка к дальнейшему обучению: Знание различных методов решения квадратных уравнений является основой для изучения более сложных математических тем и дисциплин, таких как алгебра, анализ и т.д.

Таким образом, исследование применения различных методов решения квадратных уравнений не только актуально в контексте подготовки к ОГЭ, но и важно для формирования более глубокого понимания математики как науки.

Задачи исследования:

1. Изучение методов решения квадратных уравнений: Провести анализ различных методов решения квадратных уравнений

2. Сравнительный анализ эффективности методов: Оценить эффективность каждого метода в контексте задач, встречающихся на ОГЭ, и определить, какие из них наиболее удобны и понятны для учащихся.

3. Оценка влияния методов на понимание математики: Исследовать, как использование различных методов влияет на понимание учащимися основных математических понятий и развитие логического мышления.

4. Разработка рекомендаций для преподавателей: На основе проведенного анализа разработать рекомендации по внедрению различных методов в учебный процесс для повышения качества подготовки учащихся к ОГЭ.

5. Проведение опросов и анкетирования: Организовать опросы среди учащихся и преподавателей для выяснения их мнений о предпочтениях в выборе методов решения квадратных уравнений.

Гипотеза:

Применение различных методов решения квадратных уравнений при подготовке к ОГЭ по математике способствует более глубокому пониманию материала, развитию критического мышления и повышению мотивации учащихся к обучению. Предполагается, что учащиеся, которые используют разнообразные методы, демонстрируют лучшие результаты на экзаменах и способны более успешно справляться с нестандартными задачами.

Таким образом, гипотеза заключается в том, что разнообразие методов не только улучшает качество усвоения материала, но и делает процесс обучения более интересным и эффективным для учащихся.

Объект исследования:квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

• теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;

• анализ полученной информации: определение преимуществ и недостатков рассмотренных методов.

• сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.

• наблюдение за уроками математики для оценки того, как преподаватели применяют различные методы решения квадратных уравнений на практике.

1. Исторические сведения о квадратных уравнениях.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.

Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Квадратные уравнения в Европе. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.

Квадратные уравнения в ИНДИИ

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

2.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Квадратное уравнение

Приведенное а=1 если b=0 если с=0

Неприведенное а=1 если b=0, c=0

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).

Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.

3.Способы решения квадратных уравнений

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

3.1. Разложение на множители левой части

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Квадратное уравнение имеет общий вид:

ax² + bx + c = 0

где a , b и c — коэффициенты.

Чтобы решить уравнение с помощью разложения на множители, нужно следовать следующим шагам:

Привести уравнение к стандартному виду (если необходимо).

Найти два числа, которые в сумме дают b (коэффициент при x) и в произведении дают ac (произведение коэффициента при x² и свободного члена).

Записать уравнение в виде произведения двух множителей.

Например, рассмотрим уравнение:

x² - 5x + 6 = 0

Здесь a = 1 , b = -5 , c = 6 .

Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают -5 и в произведении 6. Это числа -2 и -3.

Мы можем записать уравнение как:

(x - 2)(x - 3) = 0

Теперь, используя нулевое произведение, мы можем найти корни:

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x - 3 = 0 ⇒ x = 3

Таким образом, корни уравнения x² - 5x + 6 = 0 — это x = 2 и x = 3

Если уравнение нельзя разложить на множители, можно использовать другие методы, такие как формула квадратного уравнения или методы выделения полного квадрата.

Вывод: Плюс: Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Минус: Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.

3.2 Метод выделения полного квадрата

Рассмотрим уравнение вида: ,

,

,

,

, если ,

Шаги выделения полного квадрата

1. Перенос свободного члена: Переносим c на правую сторону уравнения:

x² + bx = -c

2. Добавление и вычитание: Чтобы сделать левую часть полным квадратом, добавим и вычтем ((b/2))² :

x² + bx + ((b/2))² - ((b/2))² = -c

Это можно записать как:

((x + b/2))² - ((b/2))² = -c

3. Приведение к квадрату: Теперь мы можем записать уравнение в виде полного квадрата:

((x + b/2))² = -c + ((b/2))²

4. Решение уравнения: Теперь решаем это уравнение, извлекая квадратный корень из обеих сторон:

x + b/2 = ±√(-c + ((b/2))²}

Затем переносим b/2 на правую сторону:

x = -b/2 ±√(-c + ((b/2))²}

Пример

Рассмотрим уравнение:

x² - 4x + 1 = 0

1. Переносим свободный член:

x² - 4x = -1

2. Добавляем и вычитаем ((-4/2))² = 4 :

x² - 4x + 4 - 4 = -1

(x - 2)² - 4 = -1

3. Приводим к квадрату:

(x - 2)² = 3

4. Извлекаем корень:

x - 2 = ±√(3)

5. Находим корни:

x = 2 ± √(3)

Таким образом, корни уравнения x² - 4x + 1 = 0 – это x = 2 + √(3) и x = 2 - √(3) .

Вывод: Плюс: За минимальное количество действий можно найти корни уравнений. Минус: Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

3.3 Решение квадратных уравнений по формуле

Корни уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0можно найти по формуле, где выражение b² - 4ac= D называется дискриминантом.

Таким образом:

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac0, уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac, квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

Данная формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Пример 1: х² -3х + 5 = 0,

1. Определяем коэффициенты:

а=1, в=-3, с=5,

2. Находим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 9 - 20 = -11

3. Анализируем дискриминант:
Поскольку дискриминант D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1: х² +2х -4 = 0,

1. Определяем коэффициенты:

а=1, в=2, с=-4,

2. Находим дискриминант:

D = b² - 4ac = (2)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 4 + 16 = 20

3. Анализируем дискриминант:
Поскольку дискриминант D ˃ 0, уравнение имеет два корня.

4. Находим комплексные корни:
   Используем формулу для нахождения корней:

x = -b ± √(D) / 2a

Подставляем значения:

х₁= -1-

Это можно записать как:

х₂= -1+

Ответ: х₁ = -1- , х₂ = -1+
Корни уравнения x² - 3x + 5 = 0 являются комплексными:

Вывод: Плюс: Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

Минус: Нужно выучить формулы.

3.4 Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Для решения полного квадратного уравнения по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а.

Для уравнения, если его корни, справедливы формулы:

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

Например,

x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 0 и p = - 3

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7 и x₂ = - 1, так как q = 7 0 и p= 8 0

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Например,

x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 и x₂ = 1, так как q= - 5 и p = 4 0;

x² – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = - 1, так как q = - 9 и p = - 8

Вывод: Плюс: Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. Минус: легко находятся только целые корни.

3.5 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Доказательство: Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x² + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = - b/a,

x₁x₂ = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с.

Таким образом, x₁ + x₂ = - а + b/a= -1 – c/a,

x₁x₂ = - 1• ( - c/a),

т.е. х₁ = -1 и х₂ = c/a, что и требовалось доказать.

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

Пример: 345х² – 137х – 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х₁ = 1, х₂ = c/a = -208/345.

Вывод: Плюс: Не требует особых усилий.

Минус: Подходит только к некоторым уравнениям.

3.6 Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении х² + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = - px - q.

Построим графики зависимости у = х² и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -прямая

Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Пример:

Для этого построим два графика: х²-х+1=0

у = х²

у= x+1

2.6

-0.6

Ответ: х₁=-0,6, х₂=2,6.

Вывод: Плюс: Наглядный способ.

Минус: Могут быть не точности при составлении графиков.

4. Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений в вариантах Всероссийской проверочной работы и Основного государственного экзамена по математике

Квадратные уравнения играют важную роль в решении задач на ОГЭ и ВПР по математике. Вот несколько основных применений квадратных уравнений в контексте этих экзаменов:

1. Решение задач на движение: Часто задачи могут быть сформулированы так, что они приводят к квадратному уравнению. Например, если два объекта движутся навстречу друг другу, можно использовать квадратные уравнения для нахождения времени встречи.

2. Геометрические задачи: Многие задачи о площадях фигур, таких как прямоугольники, треугольники и круги, могут приводить к квадратным уравнениям. Например, если известно, что площадь прямоугольника равна некоторому значению, а одна из сторон выражается через другую, то можно составить квадратное уравнение.

3. Задачи на оптимизацию: Вопросы о максимальных или минимальных значениях функций часто приводят к квадратным уравнениям. Например, задача о нахождении максимальной площади прямоугольника с заданным периметром может быть решена с помощью квадратного уравнения.

4. Физические задачи: Квадратные уравнения часто встречаются в задачах по физике, связанных с движением тел (например, свободное падение), где нужно учитывать время, скорость и расстояние.

5. Экономические задачи: Иногда в задачах по экономике может потребоваться решить квадратное уравнение для нахождения оптимальной цены или количества товара.

Ниже приведу примеры решения нескольких видов заданий Основного государственного экзамена по математике:

Задание 21. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решение.

Предположим, что ученик делает x деталей в час, Тогда мастер делает детали в час.

Составим таблицу по данным задачи:

Так как ученик потратил на работу на 11 часов больше, можно составить уравнение:

Р ешим уравнение, предварительно разделив обе части на 11:

84–21х – х(х+4)=0, х²+25х-84=0

D = b² - 4ac = (25)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-84) = 625 + 336 = 961

x = -b ± √(D) / 2a

х₁=

х₂=

Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.

Ответ: 3.

Задание 9. Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Ответ: −23.

Задание 13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Решим неравенство: х² – 4х + 3 ≥ 0. Корнями уравнения х² – 4х + 3 = 0 являются числа 1 и 3. Поэтому

Множество решений неравенства изображено на рис. 1.

Правильный ответ указан под номером 1.

Также квадратные уравнения встречаются во Всероссийских проверочных работах по математике.

Задание 2.

Решите уравнение 4 + 8x − 5x²  =  0.

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Решим квадратное уравнение: -5х²+8х+4=0

D = b² - 4ac = (8)² - 4 ⋅ (-5) ⋅ 4 = 64 + 80 = 144

x = -b ± √(D) / 2a

х₁=

х₂=

Ответ: –0,42.

Задание 15.

Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 420 м². Первый каменщик в день укладывает на 7 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик? Запишите решение и ответ.

Решение.

Пусть первый каменщик укладывает плиткой в день участок мостовой площадью x м². Тогда второй каменщик укладывает в день (x − 7) м². Получаем уравнение:

420х-420х+2940=5х²-35х

х²-7х-588=0

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-588) = 49 + 2352 = 2401

x = -b ± √(D) / 2a

х₁=

х₂=

Условию задачи удовлетворяет корень x  =  28.

Ответ: 28 м².

5. Аналитическая часть

Проведен опрос 73 старшеклассников 8-11 классов и 11 учителей старших классов.

1. Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?

2. Какой способ чаще всего используете при решении квадратных уравнений?

Результаты опроса выглядят так:

По результатам опроса видно, что большинство решают квадратные уравнения 3-4 способами.

По результатам второго вопроса видно, что чаще всего используетсярешение квадратных уравнений по формулам дискриминанта.

.

Квадратные уравнения также используются в физике и в химии для решения задач в 9-11 классах, что в дальнейшем поможет при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по этим предметам.

Заключение

Выводы

1. Разнообразие методов: Исследование показало, что существует несколько эффективных методов решения квадратных уравнений, таких как факторизация, использование формулы корней, графический метод и метод завершения квадрата. Каждый из них имеет свои особенности и может быть применён в зависимости от конкретной задачи.

2. Предпочтения учащихся: Опрос среди учащихся показал, что большинство из них предпочитает использовать формулу корней, так как она является универсальной и позволяет быстро находить решения для различных типов квадратных уравнений. Однако важно отметить, что учащиеся также признают полезность других методов в определённых ситуациях.

3. Уверенность в использовании методов: Уровень уверенности учащихся в использовании разных методов варьируется. Большинство чувствуют себя уверенно при использовании формулы корней, в то время как факторизация и метод завершения квадрата требуют дополнительной практики.

5. Влияние на результаты подготовки: Разнообразие методов и их правильное применение положительно сказываются на результатах контрольных работ и экзаменов. Учащиеся, которые осваивают несколько способов решения квадратных уравнений, демонстрируют более высокие результаты на ВПР и ОГЭ.

В ходе исследования актуальности применения различных методов решения квадратных уравнений при подготовке к ВПР и ОГЭ по математике было установлено, что умение решать квадратные уравнения является ключевым навыком для успешной сдачи экзамена. Квадратные уравнения встречаются в различных контекстах: от геометрических и физических задач до задач на движение и оптимизацию.

Разнообразие методов, таких как факторизация, использование формулы корней, теорема Виета и метод выделения полного квадрата, позволяет учащимся выбирать наиболее подходящий способ решения в зависимости от конкретной задачи. Это не только способствует более глубокому пониманию материала, но и развивает критическое мышление и способность к анализу.

Кроме того, применение различных методов решения квадратных уравнений помогает учащимся лучше подготовиться к экзамену, так как они становятся более уверенными в своих знаниях и навыках. Умение выбирать оптимальный метод решения задачи — это важный аспект не только для успешной сдачи ОГЭ, но и для дальнейшего изучения математики и смежных дисциплин.

Таким образом, актуальность применения различных методов решения квадратных уравнений в подготовке к ВПР и ОГЭ не вызывает сомнений. Разнообразие подходов способствует более глубокому пониманию темы и повышает шансы на успешную сдачу экзамена.

Список использованных источников и литературы

1. 1. Мордкович, А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2011.-260с.

   2. Мордкович, А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2011.-270с.

   3. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/  В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.

   4. Высоцкий И.Р. Всероссийская проверочная работа. Математика: 8 класс: 15 вариантов. Типовые задания. ФГОС /И.Р. Высоцкий, О.А. Виноградова; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2025. -174, [2] с.

   5. https://math-oge.sdamgia.ru/

   6. https://math8-vpr.sdamgia.ru/