XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ: ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЖИЗНИ И В МАТЕМАТИКЕ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Очень интересно, что теорему Пифагора знает каждый школьник, а с «золотым сечением» знакомы далеко не все. Моя основная задача заключается в том, чтобы глубже исследовать и изучить это открытие античной науки. Я хочу рассказать о математическом открытии, которое в течение тысячелетий привлекало внимание и было предметом восхищения выдающихся ученых, математиков и философов: Пифагора, Платона, Леонардо да Винчи, Флоренского, Эйзенштейна и других.
Проект посвящен изучению золотого сечения, его математическим свойствам и применению в разных сферах жизни, таких как искусство, архитектура и даже в природе.
Золотое сечение, известное как «божественная пропорция», представляет собой уникальное соотношение между частями и целым, обеспечивая гармонию и эстетическую привлекательность [1].
В рамках проекта будет проведен анализ исторического контекста, в котором золотое сечение использовалось, а также современные примеры его применения.
Цель проекта: показать влияние золотого сечения на искусство, архитектуру и восприятие красоты в современной жизни.
Задачи:
-
Узнать историю появления понятия «золотое сечение».
-
Исследовать, математическую сущность золотого сечения.
-
Изучить тему «Числа Фибоначчи».
-
Исследовать, как связано золотое сечение с числами Фибоначчи.
-
Проанализировать проявление золотого сечения в природе и жизни людей.
-
Рассмотреть примеры его использования в современной живописи, фотографии и архитектуре.
Актуальность исследования обусловлена растущим интересом к эстетике и гармонии, а также стремлением к пониманию взаимосвязей между математикой и искусством.
Мной были использованы такие методы исследования, как просмотр видеороликов на эту тему в интернете, исследование интернет ресурсов в поиске нужной и важной информации, а также прочтение литературы, которая ориентирована на данную тему и анализ различных примеров по данной теме
Проектный продукт: макет здания, при проектировании, которого использовали принцип золотого сечения.
-
История появления понятия «золотое сечение»
Красота - это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времен до наших дней не прекращаются исследования этого чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами [1]?
Если посмотреть на предметы обихода жителей древности можно увидеть, что уже тогда создатели этих предметов преследовали не только утилитарные цели — служить хранилищем воды, оружием в охоте и т. д., но и одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком, покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили свое утилитарное назначение и превратились только в украшения [1]. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, а другой нет? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного сформировалось в самостоятельную ветвь науки — эстетику. Здесь же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, ее основных законов организации [1].
Еще тогда исследователи пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, где число выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира. Эти идеи оказались удивительно живучими. Во всех последующих исследованиях ученые пытались найти простые числовые соотношения в самых различных явлениях и структурах. Изучение законов гармонии стало важной частью изучения природы [1].
Считается, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.) (Приложение 1, рисунок 1). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян, так как пропорции пирамиды Хеопса (Приложение 6, рисунок 21), храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является золотой [2]. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. В этом легко убедиться при изучении шедевров древнегреческого искусства (Приложение 1, рисунок 2).
Не только в Древней Греции золотое сечение стало предметом искусства. Намного позже в эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Такие картины Леонардо да Винчи, как «Джоконда» или «Витрувианский человек» (Приложение 1, рисунок 4, 5), стали отличными примерами использования идеальной пропорции в искусстве. Леонардо да Винчи производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении [7]. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время Лука Пачоли пишет первое сочинение о золотой пропорции, названной им «божественной». Он прекрасно понимал значение науки для искусства Книга была восторженным гимном золотой пропорции. В ней он отразил «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого) [7], (Приложение 1, рисунок 6).
Великий астроном Иоганн Кеплер говорил о золотом сечении как о «бесценном сокровище», как об одном из двух сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности» [8].
После И. Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал.
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в [2].
-
Математическая сущность золотого сечения
При делении целого на две неравные части, возможно бесконечное множество отношений между целым и одной из его частей, а также между самими частями целого. Но только в единственном случае эти отношения могут быть равными. Этот случай представляет собой золотое сечение – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей, когда целое относится к большей части, как большая часть к меньшей. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых сечениях» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре.
В математике пропорцией называют равенство двух отношений. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему [2].
Пусть имеется отрезок прямой, величина которого АВ. Разделим отрезок АВ точкой С (рис. 1). Отрезок АВ определенно длиннее отрезка АС, в то же время АС длиннее СВ. Если отношение длины АС к длине СВ такое же, как отношение длины АВ к длине АС, значит, отрезок поделен «в крайнем и среднем отношении» – или в золотом сечении [4].
Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»)
Если разделить обе части вначале на АВ, а затем на СВ, то получим следующую пропорцию [4]:
: (1)
Обозначим пропорцию (1) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, пропорцию (1) можно записать в следующем виде [4]:
(2)
откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения х:
(3)
Из «геометрического смысла» пропорции (1) вытекает, что искомое решение уравнения (3) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (3), который мы обозначим через, τ, то есть:
В профессиональной математической литературе золотое сечение принято обозначать греческой буквой τ (тау) — от греческого слова τομή (читается «томэ»), которое означает «сечение» или «разрез» [4].
Однако в начале ХХ века американский математик Марк Барр предложил обозначать золотое сечение буквой φ (фи) — по первой букве имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего примерно в 490–430 гг. до н. э. Барр решил, что надо почтить память скульптора, поскольку многие искусствоведы полагают, что Фидий часто и весьма точно применял [6].
Для практических целей, обычно ограничиваются приблизительным значением φ ≈ 1,618 или φ ≈ 1,62. В процентах округлённое значение золотого сечения — это деление некоторой величины в отношении 62 % к 38 % [6].
Число φ (фи) называется, также, золотым числом.
Принцип золотого сечения еще представляют в виде золотого прямоугольника (соотношение сторон которого равно φ = 1,62). Это очень интересный прямоугольник: если от него «отрезать» квадрат, то мы снова получим золотой прямоугольник. И так бесконечно много раз (Приложение 2, рисунок 7).
2.1 Числа Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках намного раньше, чем стала известна в Европе.
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202). В одном из примеров он рассмотрел гипотетическую задачу о размножении кроликов. Сформулировал её так: «Если у пары кроликов каждый месяц начиная со второго появляется ещё пара, сколько пар будет через год?» Математик решил задачу и вывел последовательность, которая описывает рост популяции (Приложение 2, рисунок 8). Это и были числа Фибоначчи.
Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности, в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел: начинается с двух единиц: 1, 1, затем: 2 (1 + 1), 3 (1 + 2), 5 (2 + 3), 8 (3 + 5), 13 (5 + 8) и т. д. Последовательность чисел Фибоначчи выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …[3]
Числа Фибоначчи часто называют природным языком гармонии, но последовательность можно встретить, не только рассматривая расположение лепестков в цветке, но и в архитектуре или программировании.
Числа Фибоначчи, помогают понимать, как данные могут расти или повторяться в природе и системах, а также находить оптимальные решения. Эти числа используются в алгоритмах, финансовых моделях и прогнозировании.
2.2 Связь золотого сечения и чисел Фибоначчи
Чтобы увидеть и прочувствовать всю связь числового ряда Фибоначчи и золотого сечения, нужно взглянуть на спираль (Приложение 2, рисунок 9).
С 9-го члена последовательности Фибоначчи мы начинаем получать значения золотого сечения. И если визуализировать всю эту картину, то мы увидим, как последовательность Фибоначчи создает прямоугольники все ближе и ближе к золотому прямоугольнику.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим случаем, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном мире, а также и в животном, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления [5].
Спираль начинается с широкого витка и закручивается уменьшающимися витками, показывая направление движения глаза зрителя по композиции. «Золотая спираль» наглядна, и ее удобно применять в дизайне или фотографии: достаточно наложить ее на холст или кадр и разместить наиболее важные или интересные элементы на пересечении линий спирали или прямоугольников.
Золотая спираль — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ — золотое сечение.
Число Фибоначчи считается числом силы, например, архитекторы, которые возводят большие здания, сооружения, мосты, рассчитывают их пропорции на основании именно золотого сечения и ряда Фибоначчи. Эти пропорции дают полную гарантию на наибольшую устойчивость и прочность возводимых сооружений.
Число Фибоначчи и золотое сечение образуют почву, на которой лежит разгадка окружающего нас пространства, поскольку золотое сечение лежит в основе совершенства всего мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявлении, в основе оптимального зрительного восприятия.
3.Применение золотого сечения в жизни людей
3.1 Золотое сечение в природе
Математики утверждают, что правило золотого сечения действует и в природе, и в космосе. Наглядный пример красоты и совершенства в природе — это растения и цветы. Внимательные ботаники давно разглядели в многообразии форм растительной жизни четкие математические закономерности: многие природные узоры, орнаменты, формы подчиняются правилу золотого сечения, вернее, его арифметическому выражению — последовательности Фибоначчи [9].
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
Пропорции золотого сечения можно наблюдать во всех природных и научных проявлениях.
Например, лепестки у цветов, где нередки случаи, когда количество лепестков соответствует числовому ряду «φ». По мнению Дарвина, все лепестки растений располагаются так, чтобы получать как можно больше солнечного света и остальных необходимых для жизни ресурсов (Приложение 3, рисунок 10).
Во многих случаях семена цветов начинают расти посередине головки семени и появляются снаружи, заполняя собой пространство. В качестве примера можно привести семена подсолнуха (Приложение 3, рисунок 10). Или же семена, находящиеся в семенных коробочках шишки, произрастают вверх противоположно друг другу по спирали. Расстояние между ними обычно совпадает с соотношениями чисел из последовательности Фибоначчи (Приложение 3, рисунок 10).
Раковины моллюсков формируются по спирали, которая приближенно соответствует пропорциям золотого сечения. Это обеспечивает равномерный рост и прочность (Приложение 3, рисунок 10).
Золотое сечение также является частью строения человеческого тела. Хотя внешний вид каждого человека индивидуален, соотношение некоторых структур одинаково. Например, соотношение человеческого черепа с размером зубов, соотношение ладони с пальцами (Приложение 3, рисунок 11), где все участки пальцев от начала основания и до запястья увеличивается в соотношении по Фибоначчи, расстояние между макушкой и пупком и многое другое (Приложение 3, рисунок 12).
Тела животных, птиц и насекомых также соответствуют подобным соотношениям (например, у дельфинов и пчел)
Молекулы ДНК содержат соотношение 34 на 21 ангстрем в каждом полном спиральном цикле. А мы уже знаем, что эти цифры — часть ряда Фибоначчи (Приложение 3, рисунок 13) [12].
Млечный Путь содержит в себе несколько рукавов, представленных в виде изогональных спиралей с шагом около 12 градусов. Их форма соответствует форме золотой спирали, при этом над каждой такой галактикой можно начертить золотой прямоугольник (Приложение 3, рисунок 14) [12].
3.2 Золотое сечение в фотографии
Золотое сечение в фотографии – основной и мощный инструмент для получения динамичных и интересных снимков.
Правило третей, спираль, диагонали, золотое сечение, божественная пропорция и фото сетка — всё это про композицию объектов в кадре.
Гармоническая пропорция напрямую связана с правилом третей — другой неотъемлемой схемой для работы с визуалом. По сути, оно продолжает золотое сечение так же, как, например, фотография рождается из художественного творчества.
Основное различие заключается в соотношении сторон. Так, в принципе третей кадр разделяется на 3 одинаковые части, а в божественной пропорции он делится на 1:0. 618:1 (Приложение 4, рисунок 15).
При пересечении вертикальной и горизонтальной линии образуется особая точка – «точка силы» или «узел внимания». Их четыре – именно в этих точках лучше располагать главные объекты кадра, именно на них останавливается взгляд в независимости от формата кадра [13].
Отсюда следует, что правило третей можно назвать более простой версией золотого сечения, но полностью рабочей [12].
Например, сегодня большинство камер, в том числе и в смартфонах, имеет разлинованную сетку третей, что позволяет пользователям гармонично выстраивать композицию из фото и видео.
Золотое сечение и правило третей — визуально комфортное и «правильное» расположение объектов в кадре. Это то, что отличает «приятную» фотографию от «неприятной» в глазах простого зрителя, который в фотографии не разбирается. Построенное по этим схемам, изображение становится целостным, с грамотно расставленными акцентами. Глазу приятно смотреть на него, потому что все объекты внутри находятся в гармоничном балансе (Приложение 4, рисунок 16) [13].
Правила композиции универсальны и могут быть применены к любой фотографии. От пейзажной до портрета, от фэшн-съёмки до стрита.
3.3 Золотое сечение в архитектуре
Поиск идеальных пропорций, универсального соотношения величин и отрезков начался еще в древние времена, одновременно с развитием архитектуры.
Пропорциональностью называют соразмерность частей и целого. Это одно из самых важных композиционных средств в архитектуре, так как, на соразмерности элементов строится вся композиция. Поиск пропорции может производиться на основе сравнения линейных размеров, площадей, форм. Элементы могут находиться в равенстве, т. е. пропорции будут равными, либо в неравенстве. В таком случае через разницу в пропорциях подчеркивается контраст. Хрестоматийным примером гармонии в пропорциях является «золотое сечение». Поиск пропорций в архитектуре часто основан на числах Фибоначчи [10].
Применение этого знания в архитектуре дает возможность добиться баланса между шириной и высотой сооружения. Популярным методом построить гармоничное здание является использование свойств золотого прямоугольника.
Многие древние здания, которые сохранились до наших времен, подтверждают мнение, что они были построены по правилам идеальной пропорции. Это резиденции королей, церкви, общественные сооружения.
В архитектуре Древнего Египта по правилам золотой пропорции была построена пирамида Хеопса. Глядя на творение строителей, можно увидеть треугольник с прямым углом, один катет которого является высотой, второй – половиной длины основания. Если взять отношение гипотенузы к меньшей стороне, получим идеальное значение 1,61950 или 1,62 (Приложение 5, рисунок 21) [11].
Яркий представитель золотого сечения из древней Греции – Парфенон, который возведен в 5 веке до нашей эры. Если взять отношение его высоты к ширине, получится практически идеальное число 0,618 (Приложение 65, рисунок 22).
Яркими примерами золотого сечения в России являются Кунсткамераи Исаакиевский собор, находящиеся в Санкт-Петербурге.
Кунсткамера построена в 1718 году под руководством немецкого архитектора Георга Маттарнови. В башне по всей высоте прослеживается равнобедренный треугольник, а соотношения длин корпусных зданий и различных уровневых высот равны коэффициенту золотого сечения (Приложение 5, рисунок 23) [11].
Исаакиевский собор - крупнейший православный храм (Приложение 5, рисунок 24). Первый ряд определён шириной здания, которая принята за 400 ед. и представляет такие цифры 400, 246, 154, 94, 58…Если 400 разделим на число ≈1,618, то получим приблизительно 246; повторяем действие со следующим числом: 247: 1.618≈154. И так находим все числа.
Основная часть с колоннами вписывается в прямоугольник со сторонами 400 и 246. Поскольку стороны находятся в соотношении Ф≈1.618, то они образуют золотой прямоугольник.
Следующий ряд представлен высотой здания: 370, 228, 140, 87, 53, 33, 20, 12. Эти размеры заложены в более мелкие детали. По вертикали Исаакиевский собор делится Золотым сечением у основания купола, что делает соотношение основной части и купола гармоничным.
Третий ряд размеров начинается со 113, и являет ширину основания главного купола: 113, 69, 42, 26, 16. Числа этого ряда встречаются в размерах окон, в высотах колонн и других деталей собора.
Также можно посмотреть на данные портиков, реальная высота колон колеблется от 16,97 м до 17,08 м, расстояния между колоннами по осям одинаковы по всем направлениям и равны 5,33м. Эти данные позволяют найти отношение высоты колонн с капителями и базой к расстоянию между двумя колоннами = 17,07 м / 10,66 м = 1,601. Это число приблизительно равно значению золотой пропорции (1,618). Отношение высоты портика к его ширине также равно числу φ [10].
Исследование масштабного проекта собора, показало, что Исаакиевский собор легко вписывается в золотой прямоугольник. Меня заинтересовала архитектура этого красивого и мощного символа города Санкт-Петербурга, что я решила проектным продуктом сделать макет Исаакиевского собора.
Заключение
Работая над проектом, я пришла к выводу, что закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки и в целом всё, что нас окружает можно объяснить последовательностью Фибоначчи.
Сейчас с уверенностью, я могу сказать, что золотая пропорция — это та основа формообразования, применение которой обеспечивает многообразие композиционных форм во всех видах искусства.
Величайшие математические умы в истории и древнегреческие мудрецы Пифагор и Платон, и средневековый итальянский ученый Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи, и астроном эпохи Возрождения Иоганн Кеплер, и современные научные светила, немало часов провели в размышлениях над пропорциями золотого сечения и симметрии.
Однако золотое сечение чарует отнюдь не только математиков. Биологи, художники, историки, музыканты, архитекторы, психологи и даже мистики — все они размышляли над тем, почему это число φ (фи) столь вездесуще и в чем его притягательность. По сути, можно, сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей из всех отраслей знания — и в этом с ним не в силах сравниться никакое другое число в истории математики.
Работа над проектом, позволила мне глубже понять широкое применение золотого сечения в различных областях человеческой деятельности.
Я исследовала, как золотое сечение проявляется в природе, искусстве фотография, живописи и архитектуре, и как оно служит универсальным принципом гармонии и пропорции и поняла, что принцип золотого сечения – это высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Я пришла к выводу, что целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Информация, которую я узнала о золотом сечении дала мне возможность увидеть, как математические закономерности могут быть связаны с эстетическими предпочтениями и восприятием красоты. Я поняла, что это соотношение не просто абстрактная концепция, а важный элемент, который влияет на наше восприятие окружающего мира.
Изучение темы «Золотое сечение: его применение в жизни и в математике» не только углубило мои знания в области математики, но и укрепило моё понимание гармонии и красоты в окружающем мире. Я надеюсь, что полученные результаты и выводы вдохновят многих на исследование этой удивительной и интересной темы.
Список литературы
1. Васютинский Н. «Золотая пропорция» - М. «Молодая гвардия», 1990г.
2. Волошинов А.В. «Математика и искусство» - М., 1992г.
3. Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» - М.: Наука 1964г.
4. Грим Г.Д. «Пропорциональность в архитектуре» - ОНТИ, 1935г.
5. Ковалев Ф.В. «Золотое сечение в живописи», 1989г.
6. Ливио Марио «φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания» - АСТ, 2021г.
7. Пидоу Д. «Геометрия и искусство» - М., «Мир», 1989г.
8. Стахов А.П. «Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца». Глава 4. Золотое сечение в истории культуры. 4.9. Иоганн Кеплер: от «Мистерии» до «Гармонии»», 2006г.
9. Урманцев Ю. А. «Симметрия природы и природа симметрии» – М., 1974г.
10. Федорова М.С., Н.П.Никитина Н.П. «Приемы гармонизации в архитектуре» – Екатеринбург, 2022г.
11. https://na-journal.ru/ - Гармония золотого сечения в искусстве и архитектуре.
12. https://gb.ru/blog/zolotoe-sechenie/ - Золотое сечение в природе.
13. https://studopedia.ru/ - Основы композиции: золотое сечение.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П
РИЛОЖЕНИЕ 1
Рисунок 1. Золотое деление Пифагора, портрет Пифагора
Рисунок 2. Пропорции в скульптуре Рисунок 3. Платон
Рисунок 4. Джоконда Рисунок 5. Витрувианский
человек
Рисунок 6. Трактат «Божественная пропорция» Лука Пачоли
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Рисунок 7. Золотой прямоугольник
Рисунок 8. Задача Фибоначчи
Рисунок 9. Спираль Фибоначчи
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Рисунок 10. Примеры золотого сечения в природе
Рисунок 11. Золотое сечение в строении человеческого тела
Рисунок 12. Золотое сечение в строении человеческого тела
Рисунок 13. Молекула ДНК
Рисунок 14. Млечный путь
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Рисунок 15. Правило третей в фотографии
Рисунок 16. Примеры золотого сечения в фотографии
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Рисунок 21. Пирамида Хеопса
Рисунок 22. Парфенон
Рисунок 23. Кунскамера
Рисунок 24. Исаакиевский собор