XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Наибольший общий делитель и делимость чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Делимость чисел — одно из основных понятий в арифметике, которое играет ключевую роль в различных областях математики. Понимание делимости позволяет решать множество задач, связанных с простыми и составными числами, а также с дробями и уравнениями. Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два или более целых чисел без остатка. Знание НОД позволяет упрощать дроби, решать диофантовые уравнения и анализировать свойства чисел. В данном проекте мы рассмотрим различные методы нахождения НОД, такие как алгоритм Евклида, и исследуем их применение в реальных задачах.
Цель работы: изучить НОД и делимость чисел
Задачи проекта
-
Изучить теоретические основы делимости чисел и понятие наибольшего общего делителя.
-
Исследовать различные методы вычисления НОД, включая:
-
Алгоритм Евклида.
-
Метод разложения на простые множители.
-
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
1.1 Определение делимости
Число a делится на число b (где b ≠ 0)), если существует такое целое число k, что a = b × k. В этом случае мы говорим, что b является делителем a, и записываем это как b | a.
Примеры делимости:
- 10 | 30, так как 30 = 10 × 3.
- 7 | 49, так как же 49 = 7 × 7.
- 5 /14, так как 14 не делится на 5 без остатка.
1.2 Свойства делимости
1. Транзитивность: Если a | b и b | c, то a | c.
2. Сложение: Если a | b, то a | (b + k) для любого целого k.
3. Умножение: Если a | b, то a | (b × k) для любого целого k.
1.3 Примеры свойств делимости
Рассмотрим числа 6, 12 и 18:
- 6 | 12 и 12 | 18 → по транзитивности 6 | 18.
- Если 6 | 12, то 6 | (12 + 6) = 18.
- Если 6 | 12, то 6 | (12 × 2) = 24.
ГЛАВА 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ (НОД)
2.1 Определение НОД
Наибольший общий делитель (НОД) двух или более чисел — это наибольшее число, которое делит каждое из этих чисел. НОД обозначается как НОД (a, b).
2.2 Примеры нахождения НОД
Пример 1: НОД чисел 12 и 18
1. Разложим на простые множители:
- 12 = 2^2 × 3^1
- 18 = 2^1 × 3^2
2. Берем минимальные степени:
- Для 2: min (2, 1) = 1
- Для 3: min (1, 2) = 1
3. НОД:
НОД (12, 18) = 2^1 × 3^1 = 2 × 3 = 6
Пример 2: НОД чисел 24 и 36
1. Разложим на простые множители:
- 24 = 2^3 × 3^1
- 36 = 2^2 × 3^2
2. Берем минимальные степени:
- Для 2: min (3, 2) = 2
- Для 3: min (1, 2) = 1
3. НОД:
НОД (24, 36) = 2^2 × 3^1 = 4 × 3 = 12
2.3 Алгоритм Евклида
Теорема Евклида утверждает, что наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел можно найти с помощью их делимости. Основная идея состоит в том, что если a и b — два целых числа, где a> b, то НОД a и b равен НОД b и a mod b.
Находим НОД (48, 18):
1. Находим 48 mod 18 = 12.
2. Теперь находим НОД (18, 12):
- 18 mod 12 = 6
3. Далее находим НОД (12, 6):
- 12 mod 6 = 0
Когда остаток равен нулю, процесс останавливается, и последний ненулевой остаток является НОД. Таким образом, НОД (48, 18) = 6.
2.4 Применение НОД
Наибольший общий делитель имеет множество применений, включая:
- Упрощение дробей: Чтобы упростить дробь a/b, нужно найти НОД (a, b) и разделить числитель и знаменатель на этот НОД.
- Решение диофантовых уравнений: НОД помогает определить, имеет ли уравнение целочисленные решения.
- Нахождение наименьшего общего кратного (НК): НК можно найти через НОД по формуле:
НК (a, b) = (a × b) / НОД (a, b)
2.5 Примеры применения НОД
Пример 1: Упрощение дроби.
Упрощение дроби 42/56:
1. Находим НОД (42, 56):
- Разложение на простые множители:
- 42 = 2^1 × 3^1 × 7^1
- 56 = 2^3 × 7^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (1, 3) = 1
- Для 7: min (1, 1) = 1
- НОД:
НОД (42, 56) = 2^1 × 7^1 = 2 × 7 = 14
2. Делим числитель и знаменатель на 14:
42:14/ 56:14 = 3/4
Пример 2: Решение диофантового уравнения.
Решим уравнение 6x + 9y = 12:
1. Находим НОД (6, 9) = 3.
2. Поскольку 3 делит 12, уравнение имеет целочисленные решения. Делим уравнение на 3:
2x + 3y = 4
3. Теперь мы можем найти целочисленные решения, например, x = 1 и y = 2 является одним из решений.
ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НОД И ПРИМЕНЕНИЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
3.1 Примерные задачи
1. Задача: Найдите НОД (54, 24).
- Решение:
- Разложим на простые множители:
- 54 = 2^1 × 3^3
- 24 = 2^3 × 3^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (1, 3) = 1
- Для 3: min (3, 1) = 1
- НОД:
НОД (54, 24) = 2^1 × 3^1 = 2 × 3 = 6
2. Задача: Упростите дробь 48/64.
Решение:
Находим НОД (48,64)
-
48=24×3148=24×31
-
64=2664=26
Минимальные степени:
Для 2: min (4,6) = 4
НОД:
НОД (48, 64) = 2^4 = 16
- Теперь делим числитель и знаменатель на 16:
48:16/64:16 = 3/4
- Таким образом, дробь 48/64 упрощается до 3/4.
3. Задача: Найдите НОД (81, 27) и проверьте, делится ли 27 на 9.
- Решение:
- Разложим на простые множители:
- 81 = 3^4
- 27 = 3^3
- Минимальные степени:
- Для 3: min (4, 3) = 3
- НОД:
НОД (81, 27) = 3^3 = 27
- Проверка делимости:
- 27:9 = 3, следовательно, 27 делится на 9.
3.2 Дополнительные задачи для практики
1. Найдите НОД (45, 60).
2. Упростите дробь 36/48.
3. Решите диофантово уравнение 4x + 6y = 8.
4. Найдите НК (12, 15) с использованием НОД.
Ответы на дополнительные задачи
1. Задача: Найдите НОД (45, 60).
- Разложим на простые множители:
- 45 = 3^2 × 5^1
- 60 = 2^2 × 3^1 × 5^1
- Минимальные степени:
- Для 3: min (2, 1) = 1
- Для 5: min (1, 1) = 1
- НОД:
НОД (45, 60) = 3^1 × 5^1 = 3 × 5 = 15
2. Задача: Упростите дробь 36/48.
- Находим НОД (36, 48):
- Разложим на простые множители:
- 36 = 2^2 × 3^2
- 48 = 2^4 × 3^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (2, 4) = 2
- Для 3: min (2, 1) = 1
- НОД:
НОД (36, 48) = 2^2 × 3^1 = 4 × 3 = 12
- Делим числитель и знаменатель на 12:
36:12/48:12 = 3/4
3. Задача: Решите диофантово уравнение 4x + 6y = 8.
- Находим НОД (4, 6) = 2.
- Поскольку 2 делит 8, уравнение имеет целочисленные решения. Делим уравнение на 2:
2x + 3y = 4
- Одно из решений: x = 1, y = 2 (проверка: 2(1) + 3(2) = 4 + 6 = 10).
- Общее решение: x = 1 + 3k , y = 2 - 2k, где k — любое целое число.
4. Задача: Найдите НК (12, 15) с использованием НОД.
- Находим НОД (12, 15):
- Разложим на простые множители:
- 12 = 2^2 × 3^1
- 15 = 3^1 × 5^1
- Минимальные степени:
- Для 3: min (1, 1) = 1
- НОД:
НОД (12, 15) = 3^1 = 3
- Теперь используем формулу для нахождения НК:
НК (12, 15) = 12 × 15/НОД (12, 15) = 12 × 15/3 = 180/3 = 60
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрели основные методы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НК), а также применили их на практике через упрощение дробей и решение диофантовых уравнений. Освоение этих методов является важным шагом в понимании чисел и их свойств, что может помочь в более сложных математических задачах.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задания для самостоятельной практики
1. Найдите НОД (36, 60).
2. Упростите дробь 84/126.
3. Решите диофантово уравнение 5x + 10y = 15.
4. Найдите НК (18, 24) с использованием НОД.
Ответы на задания для самостоятельной практики
1. Задача: Найдите НОД (36, 60).
- Разложим на простые множители:
- 36 = 2^2 × 3^2
- 60 = 2^2 × 3^1 × 5^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (2, 2) = 2
- Для 3: min (2, 1) = 1
- НОД:
НОД (36, 60) = 2^2 × 3^1 = 4 × 3 = 12
2. Задача: Упростите дробь 84/126.
- Находим НОД (84, 126):
- Разложим на простые множители:
- 84 = 2^2 × 3^1 × 7^1
- 126 = 2^1 × 3^2 × 7^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (2, 1) = 1
- Для 3: min (1, 2) = 1
- Для 7: min (1, 1) = 1
- НОД:
НОД (84, 126) = 2^1 × 3^1 × 7^1 = 2 × 3 × 7 = 42
- Делим числитель и знаменатель на 42:
84:42/126:42} = 2/3
3.Задача: Решите диофантово уравнение 5x + 10y = 15.
- Находим НОД (5, 10) = 5.
- Поскольку 5 делит 15, уравнение имеет целочисленные решения. Делим уравнение на 5:
x + 2y = 3
- Одно из решений: x = 1, y = 1 (проверка: 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3).
- Общее решение:
- Из уравнения x + 2y = 3 можно выразить x:
x = 3 - 2y
- Таким образом, общее решение будет иметь вид:
x = 3 - 2k, -y = k
- где k — любое целое число. Это означает, что для каждого целого k мы получаем целочисленные решения (x, y).
4. Задача: Найдите НК (18, 24) с использованием НОД.
- Находим НОД (18, 24):
- Разложим на простые множители:
- 18 = 2^1 × 3^2
- 24 = 2^3 × 3^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (1, 3) = 1
- Для 3: min (2, 1) = 1
- НОД:
НОД (18, 24) = 2^1 × 3^1 = 2 × 3 = 6
- Теперь используем формулу для нахождения НК:
НК (18, 24) = 18 × 24/НОД (18, 24) = 18 × 24/6 = 432/6 = 72
Задания для дальнейшей практики
1. Найдите НОД (48, 180).
2. Упростите дробь 100/250.
3. Решите диофантово уравнение 7x + 3y = 1.
4. Найдите НК (8, 14) с использованием НОД.
Ответы на задания для дальнейшей практики
1. Задача: Найдите НОД (48, 180).
- Разложим на простые множители:
- 48 = 2^4 × 3^1
- 180 = 2^2 × 3^2 × 5^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (4, 2) = 2
- Для 3: min (1, 2) = 1
- НОД:
НОД (48, 180) = 2^2 × 3^1 = 4 × 3 = 12
2. Упрощение дроби 100/250:
- Находим НОД (100, 250):
- Разложим на простые множители:
- 100 = 2^2 × 5^2
- 250 = 2^1 × 5^3
- Минимальные степени:
- Для 2: min (2, 1) = 1
- Для 5: min (2, 3) = 2
- НОД:
НОД (100, 250) = 2^1 × 5^2 = 2 × 25 = 50
- Упрощаем дробь:
100/250 = 100:50/250:50 = 2/5
3. Решение диофантова уравнения 7x + 3y = 1:
- Для решения этого уравнения используем метод подбора или алгоритм Евклида.
- Сначала находим НОД (7, 3):
- 7 = 3 × 2 + 1
- 3 = 1 × 3 + 0
- Таким образом, НОД (7, 3) = 1.
- Теперь применяем алгоритм обратного хода для нахождения одного из решений:
- 1 = 7 - 2 × 3
- Общее решение:
х = 7k - 2, y = 3k + 1
- где k — любое целое число.
4. Нахождение НК (8, 14)
с использованием НОД:
- Находим НОД (8, 14):
- Разложим на простые множители:
- 8 = 2^3
- 14 = 2^1 × 7^1
- Минимальные степени:
- Для 2: min (3, 1) = 1
- Для 7: min (0, 1) = 0
- НОД:
НОД (8, 14) = 2^1 = 2
- Теперь находим НК:
НК (8, 14) = 8 × 14/НОД (8, 14) = 112/2 = 56
Задачи на логику, решающиеся через НОД
1. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Марсианка» и 36 конфет «Белочка», если нужно использовать все конфеты. Сколько конфет каждого наименования войдет в набор?
2. Шаг Сережи 75 см, шаг Тани 60см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов? Сколько шагов сделает каждый из них?
Решения.
1. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Марсианка» и 36 конфет «Белочка», если нужно использовать все конфеты. Сколько конфет каждого наименования войдет в набор?
Решение:
1) НОД(36;48) =12(шт.) – количество подарков;
2) 48:12=4(шт.) -количество конфет «Марсианка»;
3) 36:12=3(шт.) - количество конфет «Белочка»;
Ответ: можно составить 12 подарков, в каждом по 4 конфеты «Марсианка» и по 3 конфеты «Белочка»
2. Шаг Сережи 75 см, шаг Тани 60см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов? Сколько шагов сделает каждый из них?
Решение:
1) НОК (75;60) =300(см)–длина пути;
2) 300:75=4(ш.) -сделает Сергей;
3) 300:60=5(ш.) - сделает Таня.
Ответ: наименьшее расстояние равно 300см, Сергей сделает 4 шага, а Таня -3
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
-
Вторая книга «Начал» Евклида и «геометрическая алгебра древних» А. В. РОДИН
-
Начальная алгебра (Гончаров)
-
Элементарная математика – Сканави М.И.
-
Математика. Виленкин Н.Я. (5-6)
-
Алгебра. 7 класс. Базовый уровень. Учебное пособие. ФГОС: Мерзляк, Полонский, Якир