XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Обобщение двойственной задачи Сильвестра-Галлаи
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Можно смело сказать, что задача Сильвестра-Галлаи является одной из самых элегантных задач математики. Эта задача с замечательной историей, в которой можно найти много поучительного. Задача, которую можно решить, используя идеи и методы из самых разных областей математической науки.
Актуальность. С простейшими, элементарными частными случаями задачи Сильвестра-Галлаи встречался почти каждый школьник, интересующийся математикой. Например, в учебнике геометрии [Бутузов и др., 2005; 17] предлагается для решения следующая пара задач: 1) Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из них, содержит по крайней мере еще одну из данных точек. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой. 2) Решите задачу 1) для случая, когда даны пять точек. Другими словами, требуется решить задачу: Даны пять точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две из них, содержит по крайней мере еще одну из данных точек. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой. А в другом, не менее известном учебнике, предлагается решить саму «задачу Сильвестра»: на плоскости взяты несколько точек так, что на каждой прямой, соединяющей любые две из них, лежит по крайней мере еще одна точка. Докажите, что все точки лежат на одной прямой» [Алфутова и др., 2002; 12]. Справедливости ради стоит отметить, что эта задача в литературе называется двойственной задачей Сильвестра-Галлаи или двойственной переформулировкой задачи Сильвестра-Галлаи. Первоначальная формулировка этой задачи, данная в 1893 году Сильвестром, была такой: «верно ли, что среди любого конечного множества точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, найдется пара точек такая, что проходящая через них прямая не содержит никаких других точек данного множества?» [Табачников 2009, Квант]. Также задача Сильвестра-Галлаи и связанные с ней задачи являются классикой математических олимпиад.
Проблема: отсутствие в научно-популярной литературе, основанного на понятии интерполяционного многочлена Лагранжа и метода математической индукции, решения обобщенной двойственной задачи Сильвестра-Галлаи.
Поставленная выше проблема определила цель исследования, которая состоит в решении обобщенной двойственной задачи Сильвестра-Галлаи посредством метода математической индукции и понятия интерполяционного многочлена Лагранжа.
Гипотеза исследования: обобщенную двойственную задачу Сильвестра-Галлаи можно решить посредством метода математической индукции и понятия интерполяционного многочлена Лагранжа.
Задачи исследования: 1) изучить литературу по теме исследования; 2) проанализировать литературу по теме исследования; 3) изучить историю решения задачи Сильвестра-Галлаи; 4) изучить биографии Д. Сильвестра, Т. Галлаи, Эрдеша и других математиков, занимавшихся решением задачи; 5) изучить метод интерполирования по Лагранжу; 6) выявить пути обобщения двойственной задачи Сильвестра-Галлаи; 7) обобщить двойственную задачу Сильвестра-Галлаи; 8) решить обобщенную двойственную задачу Сильвестра-Галлаи посредством математической индукции и понятия интерполяционного многочлена Лагранжа.
Методы исследования: анализ, синтез, индукция, дедукция, обобщение, аналогия, сравнение, абстрагирование, выдвижение гипотез.
Практической ценностью нашей работы является то, что результаты могут быть использованы в школе при проведении внеурочных занятий по математике, при подготовке к олимпиадам, при обобщении и систематизации знаний, при реализации принципов практико-ориентированного и личностно-ориентированного обучения. А найденное нами решение обобщения двойственной задачи Сильвестра-Галлаи, основанное на методах математической индукции и интерполирования по Лагранжу, представляет теоретическую значимость.
Указанная в списке литературе книга [1] представляет собой учебное пособие для учащихся 10-11 кл математических школ; в [4] представлен курс математики, который читался учащимся 57-й школы г. Москвы. [6] представляет собой сборник задач для учащихся старших классов с углубленным изучением математики. [7] – статья по теме нашего исследования, опубликованная в научно-популярном журнале «Квант». [2], [3], [5], [8] – учебники и учебные пособия по математике.
ГЛАВА I. ИСТОРИЯ ЗАДАЧИ СИЛЬВЕСТРА-ГАЛЛАИ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ СИЛЬВЕСТРА-ГАЛЛАИ
-
-
Обобщенный метод математической индукции
-
Метод математической индукции (далее ММИ), изучаемый в школе – один методов доказательства математических утверждений вида т.е. в которых фигурирует натуральное Поэтому считаем разумным включение его формулировки без доказательства в работу.
Метод математической индукции состоит в следующем. Пусть Тогда предложение верно для любого натурального числа , если выполнены следующие условия:
-
предложение верно для т.е.
-
каково бы не было натуральное число из предположения о том, что истинно, следует, что
Пример
Докажите, что
Доказательство
1) Очевидно, равенство верно при .
2) Предположим теперь, что равенство при И исходя из этого докажем справедливость равенства при . В самом деле,
Следовательно, исходное равенство справедливо при всех натуральных значениях Что и требовалось доказать.
1.2. Доказательство одного алгебраического утверждения посредством понятия интерполяционного многочлена Лагранжа
Пусть полиномы степени и их значения в точках совпадают, т.е. Тогда
Существуют различные доказательства данного утверждения. Мы приводим доказательство, основанное на понятии интерполяционного многочлена Лагранжа.
Доказательство. По условию для полиномов справедливы следующие таблицы
Таблица 1
Таблица 2
Теперь становится очевидным, что интерполяционный многочлен Лагранжа , построенный по таблице значений тождественен для
. Следовательно, Что и требовалось доказать.
Таким образом, «многочлен степени однозначно определяется своими значениями в точке» [Виленкин 1968; 44].
ГЛАВА II. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТРА-ГАЛЛАИ ЕГО ОБОБЩЕНИЕ И РЕШЕНИЕ
2.1. Постановка задачи
Двойственная задача Сильвестра-Галлаи имеет следующую формулировку: дано конечное множество таких точек плоскости, что каждые три из них лежат на некоторой прямой. Доказать, что все точки данного множества лежат на одной прямой.
Если посмотреть на эту задачу с другой точки зрения или, другими словами, переформулировать ее условие «на более алгебраическом языке», то она примет следующий вид: дано конечное множество точек вида таких, что каждые три из них принадлежат графику некоторой функции вида . Доказать, что все точки данного множества принадлежат графику одной функции вида Другой вариант условия задачи Сильвестра-Галлаи на «на языке алгебры»: дано конечное множество точек вида таких, что каждые три из них принадлежат графику некоторого многочлена первой степени. Доказать, что все точки данного множества принадлежат графику одного многочлена первой степени.
После выше сделанной переформулировки условия один из путей обобщения задачи Сильвестра-Галлаи становится очевидным: многочлен первой степени заменить на многочлен второй степени, а число точек, принадлежащих графику этого многочлена второй степени, в силу утверждения из пункта 1.2, сделать равным 4. Сделаем это и получим следующую задачу: дано конечное множество точек плоскости таких, что каждые четыре из них принадлежат графику некоторого многочлена второй степени. Доказать, что все точки данного множества принадлежат графику одного многочлена второй степени.
Понятно, что процесс обобщения задачи Сильвестра-Галлаи можно продолжить и дальше. Например, заменив в условии последней задачи многочлен второй степени на многочлен третьей степени, а число точек, принадлежащих графику этого многочлена, сделав равным 5, мы получим следующую задачу: дано конечное множество точек плоскости таких, что каждые пять из них принадлежат графику некоторого многочлена третьей степени. Доказать, что все точки данного множества принадлежат графику одного многочлена третьей степени.
Очевидно, во-первых, процесс обобщения задачи Сильвестра-Галлаи, начатый выше, можно продолжать бесконечно, во-вторых, решения этих задач, которые основаны на ММИ и понятии интерполяционного многочлена Лагранжа, аналогичны друг другу. Поэтому решать каждую из них по отдельности мы в данной работе не будем.
Обобщение двойственной задачи Силвестра-Галлаи: дано конечное множество точек плоскости таких, что каждые из них принадлежат графику некоторого многочлена степени . Доказать, что все точки данного множества лежат на графике одного многочлена степени .
2.2. Решение обобщенной задачи Сильвестра-Галлаи
Если перефразировать условие рассматриваемой общей задачи, то решение становится очевидным.
Пусть через четыре точки плоскости проходит график некоторого квадратного трехчлена. К ним добавили еще одну точку Причем известно, что каждые из точек лежат на графике отдельного многочлена степени . Затем к ряду точек добавляется еще одна При этом предполагается, что через любые четыре из них проходит график некоторого квадратного трехчлена. И так далее. Доказать, что все точки ряда , полученного в результате, лежат на графике одного квадратного трехчлена.
После такой постановки, становится ясно, что задачу надо решать индукцией по числу присоединяемых точек.
Пусть т.е. к четырем имеющимся точкам плоскости добавляется точка . Тогда по условию возможны следующие случаи (наборы точек):
Обозначим через многочлен степени , график которого проходит через точки набора
Нетрудно видеть, что т.к. их графики имеют общую точку Потому, что, как известно, многочлен степени однозначно определяется своей точкой. Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу:
т.е. все рассматриваемых набора точек лежат на графике одного многочлена степени .
Таким образом, мы доказали базу индукции.
Предложим, что
т.е. все добавленных точек вместе с исходными лежат на графике одного полинома степени .
Пусть теперь к исходным добавили точек. Докажем, что все полученные таким образом точек плоскости лежат на графике полинома -ой степени, если известно – любые из них лежат на графике некоторого многочлена -ой степени.
Действительно, по условию нам дан следующий дискретный ряд точек плоскости:
Первые точек этого ряда, по допущению, лежат на графике одного многочлена -ой степени. Для удобства обозначим его
Следовательно, все многочлены степени графикам которых принадлежат наборы точек, включающих точку равны Например, положим, набор точек лежит на графике полинома степени , которого мы обозначим В этом случае т.к. точки у них общие.
Итак, мы доказали, что через конечное число точек плоскости, удовлетворяющих условию, что любые четыре из них лежат на графике некоторого полинома степени , проходит график одного .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После «алгебраической» переформулировки условия двойственной задачи Сильвестра-Галлаи нами был выявлен один из возможных путей ее обобщения. Затем мы решили полученную в результате обобщения задачу посредством математической индукции и понятия интерполяционного многочлена Лагранжа. Тем самым цель, поставленная в начале исследования, нами была достигнута, а гипотеза исследования подтверждена.
Одним возможных направлений исследования считаем обобщение двойственной задачи Сильвестра-Галлаи по «размерности», т.е. решить аналог этой задачи в пространстве: дано конечное множество точек пространства таких, что через каждые четыре из них проходит некоторая плоскость. Доказать, что все точки данного множества лежат на одной плоскости. Затем можно попытаться обобщить эту задачу по степени уравнения, которая фигурирует в условии задачи. Например, перенести условие задачи на сферу, которая задается уравнением некоторое неотрицательное действительное число.
Другим направлением для дальнейших исследований может стать «перенесение» условия этой задачи на проективную плоскость.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алфутова Н. Б. Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 3-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2009. — 336
2. Бутузов, В.Ф. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В.Ф. Бутузов [и др.]. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 488
3.Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. – Челябинск: «Взгляд», 2004. – 448
4. Гашков С.Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. — М.: МЦНМО, 2006. — 328
5. Виленкин Н.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразват. организаций (углубленный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014 – 352
6. Виленкин Н.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразват. организаций (углубленный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014 – 312
7. Виленкин, Н.Я. Алгебра / Н.Я. Виленкин [и др.]. – Москва: Просвещение, 1968. – 338
8. Сергеев П.В. Математика в спецклассах 57-й школы. Математический анализ. — М. : МЦНМО, 2008. — 159
9. Табачников, С. Прямая Сильвестра / С. Табачников, В. Тиморин. – Текст: непосредственный // Квант. – 2009. - №5. – С. 2-6.