XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Геометрическая алгебра

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Соина П.А. 1

---

1МКОУ СОШ № 4

Хилько Л.В. 1

---

1МКОУ СОШ № 4

Работа в формате PDF

828.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был

медленным, применение – ограниченным; когда же эти две

науки были соединены, они стали помогать друг другу и

быстро шагать к совершенству. (Ж. Л. Лагранж).

Алгебра и геометрия составляют единую науку – математику. Для успешного изучения математики важно знать не только теоретический материал, но и владеть различными способами решения. Умение находить наиболее рациональные решения является одним из важных для качественной математической подготовки. Актуальность моей темы заключается в том, чтобы показать взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Также необходимо знать и уметь применять методы решения задач, которые помогут сэкономить время и будут более наглядными. Олимпиадные и экзаменационные задачи проверяют способность использовать различные нестандартные методы решения задач, поэтому передо мной встал вопрос о необходимости рассмотрения различных методов решения задач.

Поиск задач по данной теме занял у меня много времени, однако, это открыло передо мной много ценного для собственного развития и повышения уровня моей математической подготовки, что безусловно поможет мне при сдаче ЕГЭ и решении олимпиадных задач.

Предмет исследования: геометрические методы решения алгебраических задач.

Объект исследования: процесс решения алгебраических задач.

Цель: изучить геометрические методы решения алгебраических задач, показать целостность математики.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Показать, что преимущество геометрического решения в его наглядности.

3. Показать практическое применение геометрического метода.

4. Создать информационный буклет по данной теме.

5. Составить кроссворд по теме «История тригонометрии» с помощью приложения.

6. Провести опрос одноклассников.

7. Сделать выводы по теме.

Основная часть

1. Немного из истории

Философ - идеалист Платон придавал математике важное значение. При входе в основанную им Академию была надпись: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии…».

С начальной школы мы знакомимся с наукой о числе, которая получила название «Арифметика», по-гречески «арифмос». Фигуры и их свойства изучает «Геометрия», «гео» -по-гречески земля, а «метрео» – мерить. «Алгебра» (раздел математики, где решаются уравнения и неравенства, их системы, выполняются преобразования выражений, составленные из чисел и букв) не греческое. Разве у греков не было алгебры? Была, но решали древние греки алгебраические задачи геометрически. Геометрические фигуры помогали обойти трудные проблемы. Греки представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых.

Вместо «произведение a и b» говорилось «прямоугольник, содержащийся между и », вместо - «квадрат на отрезке ».

Ещё Евклид в знаменитой книге «Начала» писал: «Если отрезок как- либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всём отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка». Суть фразы в формуле квадрата суммы .

В старинных индийских сочинениях доказательство задач сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».

Выдающийся французский математик Рене Декарт работал над созданием единой науки, которая объединила бы алгебру и геометрию. Его «Геометрия» в 17 веке стала настольной книгой каждого математика и обессмертила его имя. Декарт создал метод координат, с помощью которого установил тесную связь между алгеброй и геометрией, что позволило решать алгебраические задания с помощью геометрии и, наоборот, использовать к геометрическим задачам удобный язык алгебры.

«Учебник Магницкого» назовёт своими «вратами учёности» великий Михаил Васильевич Ломоносов, содержит следующую задачу, которую решаем с помощью теоремы Пифагора: «Случился некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

2. Особенности геометрического метода решения задач

Красота любой задачи заключается в оптимальном способе её решения. Применение геометрии при решении некоторых алгебраических задач может быть более проще и нагляднее, так как представление условия в виде чертежа облегчает понимание смысла задачи.

Геометрическийметод - метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур. При решении задач геометрический метод не всегда является очевидных, но эффективным способом решения задачи.

Геометрические методы:метод длин; метод треугольников; метод параллельных прямых; метод четырехугольников; метод площадей; метод подобия треугольников; тригонометрический метод; метод геометрических преобразований; графический метод; метод дополнительных построений.

Язык алгебры – это «язык формул», а язык геометрии – это «язык расстояний». Со времён Декарта и Ферма между ними существует тесная связь. На уроках геометрии мы иногда решаем задачи с помощью аппарата алгебры – по условию задачи составляем и решаем уравнение или систему уравнений. А при решении алгебраических задач мы не используем весь потенциал геометрии. Такие идеи реже заметнее. Важно уметь «переводить» с одного языка на другой.

. Алгоритм решения алгебраических задач геометрическим способом:

1) Построение геометрической модели задачи, алгебраическому выражению даётся геометрическое истолкование.

2) Решение составленной геометрической задачи.

3) Перевод с геометрического языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.

Задачи, которые можно решить с помощью геометрического метода представлены в Приложении 2.

3. Применение геометрического метода для решения алгебраических задач

3.1. Геометрические решения тригонометрических задач

Тригонометрия тесно слилась с алгеброй и геометрией. Основные тригонометрические тождества и формулы выводятся с использованием геометрии: теоремы Пифагора, признаков подобия и равенства треугольников и других. При решении тригонометрических уравнений и их систем, неравенств, преобразовании тригонометрических выражений, вычислении тригонометрических функций, доказательстве тригонометрических тождеств, мы чаще используем известные тригонометрические формулы, и тем самым решение имеет чисто алгебраический подход, в ходе которого вычисления громоздкие, сложные. Применение геометрии позволяет решить задачу рациональнее, наглядно увидеть преимущество.

Основная идея геометрического решения тригонометрических задач, состоит в изображении на графическом чертежеравнобедренного треугольника, в котором величина угла при вершине указывается в зависимости от данного условия задачи или прямоугольного треугольника с подходящими катетами и гипотенузой в зависимости от условия задачи.

3.1.1. Нахождение значений тригонометрических выражений

Пример 1. Вычислить sin18°.

Решение: Рассмотрим сектор OAB окружности с центром в точке

О и радиуса 1 (рис.1). Проведём хорду AB, на отрезке OB отметим

точку C так, чтобы AC = AB, при этом AСВ = ABC= 72°, a

CАВ = 36°. Таким образом, OC = AC. Пусть AB = x, а СВ = 1-x.

Так как АС – биссектриса треугольника ОАВ, то

Рис. 1 = (биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные к прилежащим сторонам), откуда х²+х-1=0, (х>0), х = . По теореме косинусов: АВ²=ОА²+ОВ² -2ОА·ОВ·cos АОВ, х²=1+1 – 2cos36⁰,

x= . Тогда sin 18⁰= .

Пример 2. Вычислите tg15°, sin15°.

В Решение: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС

(AB=BC), ∠ABC=30°. AD и BE – высоты (рис.2). В ∆САD

∠CAD=15°, tg15°= . Пусть AD=1, тогда AB=2 и BD= .

Значит, CD=2- ,

По теореме косинусов найдем АС =

А Е С АС=2 . sin15°=

(Рис.2) Ответ: , sin15°= .

Пример 3. Вычислить tg22°30´.

Решение: аналогично решению примера 2. По рис. 2 ∠ABC=45°. В ∆САD ∠CAD=22°30´, tg22°30´= . CD= -1, значит tg22°30´= -1.

Пример 4 . Найти значение выражения:

Р ешение: В

2х

А 5х С Рис.3

Пусть . Построим прямоугольный треугольник со сторонами (рис.3). По теореме Пифагора . Найдём . Тогда значение выражения .

П ример 5. Вычислите arctg1+arctg2+arctg3.

Решение: Выполним построения: arctg3 = BAM,

arctg2 = CAN(рис. 4). Тогда arctg1= ВАС, так как

ВАС - острый угол прямоугольного

равнобедренного треугольника ABCспрямым углом С

(ВС = АС= ,АВ = (по теореме Пифагора), а по

теореме, об­ратной теореме Пифагора,

АВ²= АС²+ВС² то есть 10=5+5, значит ВСА = 90°,

а ВАС = 45°).

arctg2 + arctg3 + arctg1 = ВАМ + ВАС + CAN=

arctg1 = MAN = = π.

arctg3 arctg2

Рис. 4

3.1.2. Задачи на доказательство тригонометрических выражений

Пример 1. Докажите, что sin2a=2sina·cos a

В

Решение: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС

(АВ=ВС=1), ∠ABC=2α, AD и ВЕ – высоты (рис.5).

AD=sin2α, AE=EC=sinα, BE=cosα.

Так как ΔАВЕ ΔCAD, то т.е.

Значит, sin2α=2sinαcosα.

А Е С Рис.5

Пример 2. Доказать 1-соs2a=

Решение: решение аналогично решению примера 1. Из рис. 5 найдём ВD=cos2α, AE=EC=sinα, CD=1-cos2α. Так как ΔАВЕ ΔCAD, то т.е.

Значит, 1- cos2α= .

Пример 3. Докажите тождество cos36

Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔАВС (AB=BC), точку D (D .

Пусть ∠ABC=x, тогда ∠BAD=x, ∠ADC=2x, ∠ACD=2x, ∠DAC=x, ∠ADB=3x.

Cуммы внутренних углов треугольников ABD, ACD и ABC равны по 5х, т.е. х=36°.

∠ABC=36° и ∠ADC=72°. Так как D∈BC, BC=BD+DC. Пусть BD=1, тогда АВ=2cos36°=1+2cos72°.

Значит cos36°-cos72°=

3.1.3. Решение тригонометрических уравнений

Пример1. Решить уравнение: sinx+cosx=1

у

1

х

А С

В Решение: Из треугольника АВС (рис.6)

ВС =1 · sinx = sinx, АС = 1·сosx = cosx

Для любого значения угла от 0º до 90º

х в треугольнике АВС АВ<АС+ВС. Равенство АВ=АС+ВС

возможно только для .

Рис.6 Значит

Аналогично можно решить уравнения: cosx-sinx=1, cosx+sinx=0.

^{Пример 2. Решитьуравнение}

^{Решение:} Рассмотрим прямоугольный треугольник с ^{катетамиВС=1иАС=2}√^{2 (рис.7)}

^{А По теореме Пифагора АВ = .}

^{3 Пусть , где - острый угол.}

^{Тогда и . Поделив обе части}

^{Рис. 7 уравнения на 3, получим:}

^{С 1 В}

^{, .}

^{Решая уравнение получим x= .}

3.2. Геометрический метод решения текстовых задач.

В заданиях на олимпиадах, экзаменах (ОГЭ и ЕГЭ), обязательно присутствуют текстовые задачи. Основной раздел задач – это задачи на движение и работу. В задачах на движение математическая модель может быть очень наглядной. Геометрический метод при решении задач на движение включает в себя графический метод, так как связан с введением прямоугольной системы координат Оху и построением при равномерном движении линейных функций, графиком которых является прямая, таким образом, заключается в создании геометрической модели. В задачах на движение обычно даётся описание реального процесса – движения, которое имеет свои основные числовые характеристики такие как, скорость данного процесса, время, то есть продолжительность, и пройденный путь. Данные характеристики связаны основной формулой, выражающей такую линейную зависимость, что результат процесса (пройденный путь) равен произведению скорости и времени процесса.

Основная идея заключается в том, что в системе координат по оси абсцисс располагается время движения, а по оси ординат отмечается путь. Соответственно, каждая точка на изображённом графике будет определяться двумя значениями: временем движения объекта (абсциссой х) и расстоянием (ординатой у) от некоторого исходного пункта. Рассматривая график движения, мы можем установить, на каком расстоянии находился движущийся объект в определённый момент времени, в какое время он изменил скорость движения, в каком направлении совершал данное движение и когда прибыл в определённый пункт. В системе координат различным движущимся объектам будут соответствовать различные графики движения [5].

Пример 1. Расстояние между двумя городами равно 500 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 10 часов, другой – за 7 часов. Через сколько часов они встретятся?

s

500

0 4 7 10 t Рис.8

Решение: В прямоугольной системе координат построим графики движения автомобилей, найдем точку пересечения (рис.8). Опустим перпендикуляр на ось абсцисс, получим 4, следовательно, они встретятся через 4 часа.

Пример 2. Из пунктов А и Внавстречу друг другу выехали два автомобиля. Через 24 часа после начала движения автомобили встретились. Сколько времени в пути был второй автомобиль, если он прибыл в пункт А на 20 часов раньше, чем первый автомобиль в пункт В?

Решение: Пусть х ч – время движения второго автомобиля. (х+20) ч – время движения первого автомобиля. О – точка, в которой автомобили встретились (рис.9). Так как ∆ ВОС подобен ∆МОА, то , т.е. . Из подобия треугольников ∆АСД и ∆АОК получим: . Так как , то . Решим уравнение: х²+20х-48х-480=0 (х>0), х²-28х-480=0, D/4=196+480=676. =14+26=40 (ч)- был в пути второй автомобиль, =14-26=-12 - не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 40 часов.

Рис. 9

Условия задач на совместную работу предполагают выполнение некоторой работы. Использование геометрического метода аналогично, как и в текстовых задачах на движение. Скоростью будет являться производительность, а расстоянием – объём работы. Соответственно, линейная зависимость будет следующая: результат процесса (объём выполняемой работы) равен произведению производительности и времени работы. В соответствующей системе координат по оси абсцисс будем откладывать время работы, а по оси ординат будем отмечать объём всей выполненной работы.

Пример 3. Первая строительная бригада может выполнить работу за 36 дней, а вторая бригада – за 45 дней. За сколько дней две бригады выполнят всю работу, работая одновременно?

Решение: Изобразим графики выполнения работ АС и BD первой и второй бригад соответственно (рисунок 10).

Рис.10

Абсцисса точки О означает время, за которое выполнят всю работу две бригады, работая вместе. Из подобия треугольников получаем, что , . Из подобия треугольников имеем, что . Следовательно, . Получаем, что обе бригады вместе выполнят всю работу за 20 дней.

Пример 4. Олимпиада «Покори Воробьевы горы-2015».

Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса, которые встретились 2 февраля в 12-00. Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всём пути постоянные, и один из них прибыл в Б 3 февраля в 4-00, а другой прибыл в А 3 февраля в 13-00. Ответ: 1 февраля в 16-00.

Р ешение: Пусть Т (Т время (в часах) в пути автобусов до их встречи в точке В (рис.11). Так как при равномерном движении отношение длин пройденных путей равно отношению времен, затраченных на прохождение этих путей, то для автобуса, идущего из А: , а для автобуса, идущего из Б: Поэтому = Значит

. Ответ: 1 февраля в16-00.

s T 16

Б

В

А T 12.00 25 t Рис. 11

3.3. Решение задач с параметрами

Пример 1. При каком значении параметра a система уравнений

и меет ровно четыре решения? Решение: Построим линии, определяемые уравнениями системы, квадрат и окружности (рис.12), которые имеют 4 общих точки с радиусом r = (половина диагонали квадрата). Четыре решения могут быть только в двух случаях, когда a=R²=1, или

Рис.12 =r²=0,5. Ответ:1; 0,5.

Пример 2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений: .

Решение: переведём на геометрический язык: найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность с центром в точке (- + 1; -5 + 2) и радиусом 2 касается окружности с центром в точке ( -1; 5) и радиусом 3. Это возможно только в том случае, если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов (внешнее касание) или разности радиусов (внутреннее касание). Получаем два уравнения: (1) или (2). Корни первого уравнения и 1. Второе уравнение корней не имеет.

Пример 3. При каких значениях параметра, расстояние между корнями уравнения

a будет наибольшим?

2 Решение: Выделив полные квадраты, получим:

. Это уравнение окружности с

3 x Рис.13 центром в точке (3;2) радиуса 1. Наибольшее расстояние между будет, если =2.

Заключение

В процессе исследования разобрала решение многих алгебраических задач геометрическими методами. Считаю, что именно решение большого числа задач составляют основную часть моей исследовательской работы.

В работе продемонстрированы решения тригонометрических задач, текстовых задач и задач с параметрами. Анализируя литературу, решая задачи, пришла к выводу, что данные задачи интересны тем, что позволяют увидеть в алгебраической задаче геометрическое содержание и показывают связь между алгеброй и геометрией. Убедилась, что геометрические подходы упрощают решение задач, делают его более наглядным, особенно при решении тригонометрических задач и задач с параметрами. Геометрический чертёж помогает глубже понять суть задачи, но для этого необходимо владеть навыком геометрической интерпретации, что было для меня самым сложным.

Узнала много нового дополнительного материала, что расширило мой кругозор и поможет в дальнейшем при сдаче экзаменов и при подготовке к различным олимпиадам. Провела опрос среди одноклассников, результат которого (Приложение 1) демонстрирует, что многие не знают о геометрическом методе решения алгебраических задач. Выступила перед одноклассниками и познакомила их с решением тригонометрических задач геометрическими методами, что вызвало у них удивление и интерес, поделилась с ними информационным буклетом (Приложение 4), предложила разгадать кроссворд по истории развития тригонометрии (Приложение 3).

Библиографический список

1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел: сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002. 269 с.

2. Генкин Г. 3. Геометрические решения алгебраических задач // Математика в школе. 2001. №7. С. 61.

3. Капкаева Л. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении задач // Математика. 2003. №16. С.1.

4. ШарыгинИ.Ф.Факультативныйкурспоматематике: Решениезадач: учебное пособие для 11 кл. средней школы. М.: Просвещение,1991. 384 с.

5. Пирютко О. Н. Графический метод решения текстовых задач: пособие для подготовки к тестированию. Минск: Новое знание, 2020. 126 с.

6. Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень) / под ред. И. В. Ященко. М. : МЦНМО, 2018. 288 с.

7. https://findout.su/5x6440.html

8. https://svyatye.online/articles/vysota/pervyy-russkiy-matematik-leontiy-magnitskiy/

9. https://textarchive.ru/c-2248376-pall.html

Приложение 1

Опрос одноклассников

https://forms.yandex.ru/u/6792af47eb6146514d231345/?utm_source=share2&utm_content=success

Вопрос 1. Какой предмет вам нравится больше?

Вопрос 2. Применяли ли вы знания алгебры при решении геометрических задач?

Вопрос 3. Какой алгебраический материал чаще всего приходилось применять при решении геометрических задач?

Вопрос 4. Знакомы ли вы с геометрическим методом решения алгебраических задач?

Приложение 2

Задачи с использованием геометрических решений

1.Найти наибольшее значение выражения:

если . (Ответ: наибольшее значение достигается при ).

2. Найти наименьшее значение функции . (Ответ: ).

3. Докажите, что для положительных чисел а, b и с выполняется неравенство

. Укажите, при каком условии выполняется равенство

4. Докажите, что + (Указание. Рассмотрите треугольник, одна сторона которого равна 3, другая - х, а косинус угла между ними т.е. угол равен 45º. П теореме косинусов третья сторона будет равна . Аналогично второе слагаемое можно интерпретировать как сторону треугольника, две стороны которого равны 4 и х, а угол между ними равен 45º).

5. Среди всех решений системы найти такие, при каждом из которых выражение принимает наибольшее значение.

(Ответ: ).

6. . Найти наименьшее значение функции. (Ответ: 7).

7. Решите систему уравнений

(Ответ: ; ) Указание: переформулировать задачу: определить вид треугольника, перметр которого равен , а сумма квадратов его сторон равна 1.)

8. Дана система уравнений , и . Найти: .

(Ответ: ).

9. Решить уравнение . (Ответ: ).

10. Решить систему уравнений: (Ответ: (1;0)).

11. Решить систему: . (Ответ: х=-1).

12. Найти все значения, которые может принимать функция при условии

( Ответ: (25/17;17)).

13. Решить уравнение: .

(Ответ: ).

14.Решить систему: (Ответ: (3;6)).

15. Найти наименьшее значение выражения , если . (Ответ: 10).

16.Для доказать неравенство:

17. Решить уравнение:

(Ответ: ).

18. Решить неравенство . (Ответ: ).

19. Решить неравенство . (Ответ: ).

20.Решить систему уравнений: .

(Ответ: ).

Приложение 3

Кроссворд по теме „История развития тригонометрии“

https://learningapps.org/watch?v=phn2s65h325

Приложение 4

Информационный буклет