XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Площади четырёхугольников

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гумаров А.Н. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Санникова Г.И. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Работа в формате PDF

338.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Цели: выяснить что такое “Теоремы о площадях четырёхугольников” и “Площади четырёхугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности”, чтобы научиться применять их при решении задач в подготовке к ОГЭ, к ЕГЭ и олимпиаде по математике.

Актуальность: Актуальность этой теоремы сохраняется в различных областях математики и её приложений. Поэтому понимание теоремы является основополагающим для студентов и специалистов в области математики, физики, инженерии и других наук.

Объект исследования: “Теоремы о площадях четырёхугольников” и “Площади четырёхугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности”

Предмет исследования: Математика, геометрия.

Почему я выбрал эту тему: на уроках геометрии мы прошли теоремы о площадях четырёхугольников. Я заинтересовался этой темой и решил глубже изучить её.

1. Теоремы о площадях четырёхугольников.

Теорема. Площадь S выпуклого четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c, DA=d и полупериметром p вычисляется по формуле

=(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d)-abcd·cos² . (1)

Доказательство. Проведём диагональ AC четырёхугольника и воспользуемся теоремы косинусов для треугольника ABC и ACD (рис. 1):

= + -2ab·cos_B, = + -2cd·cos_D.

Приравняв правые части этих неравенств получим:

a²+b²-c²-d²=2ab·cos_B-2cd·cos_D,

Откуда

(a²+b²-c²-d²)²=4a²b^2·cos_B²-8abcd·cos_B·cos_D+4c²d²·cos_D². (2)

Ясно, что

S=S_ABC+S_ACD= ab·sin_B+ cd·sin_D.

Возведём обе части этого равенства в квадрат и умножим на 16:

16S²=4a²b²·sin_B²+8abcd·sin_B·sin_D+4c²d²·sin_D². (3)

Складывая равенства (2) и (3) и учитывая, что

Cos²_B+sin²_B=1, cos_B·cos_D-sin_B·sin_D=cos_B+D,

получаем:

16S²+(a²+b²-c²-d²)²=4a²b²-8abcd·cos_B+D+4c²d².

По формуле cos_B+D=2cos² -1,поэтому для вычисления 16S²получается выражение

16S²=(2ab+2cd)²-(a²+b²-c²-d²)²-16abcd·cos² .(4)

Нетрудно убедится в том, что

(2ab+2cd)²-(a²+b²-c²-d²)²=16(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d).

Поэтому разделив равенство (4) на 16, приходим к равенству (1).

Рис. 1

Теорема. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между прямыми которым принадлежат диагонали.

Доказательство. рассмотрим четырёхугольник ABCD, площадь которого равна S, и обозначим буквой O точку пересечения прямых AC и BD, а буквой α угол между этими прямыми. Предположим, что обозначение вершин четырёхугольника выбраны так, что α=∠AOB и в случае невыпуклого четырёхугольника точка A и C лежат по разные стороны от прямой BD (рис. 2, а, б). Докажем, что S= AC·BD·sin_α.

По формуле площади треугольника

S_ABO= AO·OB·sin_α,

S_BOC= OC·OB·sin_180º-α= OC·OB·sin_α.

Сложив эти равенства, получим

S_ABC= (AO·OB+OC·OB)·sin_α= AC·OB·sin_α.

Аналогично

S_ADC= AC·OD·sin_α.

1. б)

Рис. 2

Если ABCD - выпуклый четырёхугольник (рис. 2, a), то S=S_ABC++S_ADC= (AC·OB+AC·OD)·sin_α= AC·BD·sin_α.

Если ABCD - невыпуклый четырёхугольник (рис. 2, б), то S=S_ABC- -S_ADC= (AC·OB-AC·OD)·sin_α= AC·BD·sin_α.

Следствие. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Докажем ещё одно утверждение о площади параллелограмма.

Задача 1. Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению его смежный сторон на синус угла между ними.

Решение. Пусть ABCD - параллелограмм, площадь которого равна S. Диагональ BD разбивает его на два равных треугольника ABD и CBD (рис. 3), поэтому

S=2S_ABD=AB·AD·sin_A.

2. Площади четырёхугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности.Формулы для вычисления площади четырёхугольника упрощаются, если он вписан в окружность или описан около неё.

Задача 2. Доказать, что площадь четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и полупериметром p, вписанного в окружность, вычисляется по формуле

S= . (5)

Решение. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Этот четырёхугольник является выпуклым и сумма его противоположных углов равна 180º, то есть ∠B+∠D=180º и поэтому cos² =cos_90º=0

По формуле (1)

S²=(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d).

Отсюда следует равенство (5).

Рис. 3 Рис. 4

Задача 3. Доказать, что площадь четырёхугольника ABCD со сторонами a, b, c, d, описанного около окружности, вычисляется по формуле

S= ·sin . (6)

Решение. Пусть AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Четырёхугольник ABCD является выпуклым и суммы его противоположных сторон равны: a+c=b+d. Поэтому

P= (a+b+c+d)=a+c=b+d,

откуда

p-a=c, p-b=d, p-c=a, p-d=b.

Следовательно, по формуле (1)

S=abcd-abcd·cos² =abcd·(1-cos² )=abcd·sin² .

Отсюда следует равенство (6)

Замечание. Отметим, что если четырёхугольник ABCD является одновременно вписанным и описанным, то его площадь S вычисляется по формуле

S= . (7)

В данном деле, в этом случае ∠B+∠D=180º, поэтому формула (6) принимает вид (7)

Задача 4. Доказать, что из всех четырёхугольников с данными сторонами наибольшую площадь имеет четырёхугольник, вписанный в окружность.

Решение. Отметим прежде всего, что если четырёхугольник ABCD имеет наибольшую площадь среди всех четырёхугольников с данными сторонами a, b, c, d, то он является выпуклым. В самом деле, если предположить, что он невыпуклый, то можно построить четырёхугольник с такими же сторонами, площадь которого больше площади четырёхугольника ABCD (рис. 4, на этом рисунке точки C и C₁симметричны относительно прямой BD).

Для любого выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d величина S² выражается формулой (1). Ясно, что эта величина имеет наибольшее значение, если cos =0, то есть ∠B+∠D=180º. В этом случае∠A+∠C=360º-(∠B+∠D)=180º.

Таким образом, сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180º, и, следовательно, этот четырёхугольник можно вписать в окружность.

Задачи.

Задача 1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Дано:ABCD - трапеция;BK=KC и AL=LD.

Доказать:S_ABKL=S_CDLK.

Доказательство: Пусть AL = LD = a и BK = KC = b, а h  — высота трапеции. Тогда площадь каждой из частей, на которые отрезок KL делит трапецию равна h· ⇒S_ABKL=S_{CDLK чтд.}

Задача 2. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 4 см, 6 см, 8 см, 12 см. Найти площадь четырёхугольника.

Д ано: ABCD - четырёхугольник вписанный в окружность;AB=4см., BC=6см., CD=8см., AD=12см.

Найти:S_ABCD.

Решение:определим величину полупериметра вписанного четырёхугольника р=(AB+BC+CD+AD):2=(4+6+8+12):2=30:2=15 см.

Для определения площади четырёхугольника используем формулу площади четырёхугольника, вписанного в окружность, через полупериметр:

S= = = = см².

Ответ: площадь четырёхугольника равна см².

Задача 3. Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Известно, что AB = 6 см, BC = 8 см, а угол ABC – прямой. Диагональ AC делит четырёхугольник на два треугольника. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Д ано:ABCD - четырёхугольник описанный около окружности;AB=6 см., BC=8 см., ∠ABC - прямой;AC - диагональ.

Найти: S_ABCD.

Решение:По свойству описанного четырёхугольника, AB+CD=BC+AD

6+CD=8+AD

CD=2+AD

Площадь четырёхугольника ABCD равна S_ABCD=S_ABC+S_ACD=24+S_ACD

Также, площадь описанного четырёхугольника можно найти по формуле S_ABCD=p·r, где p – полупериметр четырёхугольника ABCD.

Пусть AD=x, тогда CD=x+2. Полупериметр четырёхугольника равен p=(AB+BC+CD+AD):2=(6+8+x+2+x):2=(16+2x):2=8+x

S_ABCD=(8+x)·2=16+2x

Теперь нам нужно найти площадь треугольника ACD, чтобы выразить площадь четырёхугольника ABCD через известные величины, для этого воспользуемся формулой Герона S_ACD= , где p – полупериметр треугольника ACD.

p=(AC+AD+CD):2=(10+x+x+2):2=(12+2x):2=6+x

S_ACD= = =

Теперь выразим площадь четырёхугольникаABCDS_ABCD= и также S_ABCD=16+2x

Приравняем оба выражения для площади

16+2x=24+

2x-8=

(2x-8)² 24·(6+x)·(x-4)

4x²-32x+64=24·(x²+2x-24)

4x²-32x+64=24x²+48x-576

20x²+80x-640=0

x²+4x-32=0

(x+8)·(x-4)=0

x=-8 или x=4

так как длина стороны не может быть отрицательной x = 4.

Таким образом, AD=4 см.

CD=2+AD=2+4=6 см.

Подставим значение AD в формулу площади ABCD. S_ABCD=16+2x=16+2·4=16+8=24+ , подставим значение AD S_ABCD=16+2·4=24 см.²

24+ =24+ =24

S_ABCD=S_ABC+S_ACD

S_ABCD=24+S_ACD

Найдём S_ACD=

S_ACD=0

Подставим в выражение для площади:

S_ABCD=24+

S_ABCD=24+0=24 см.²

S_ABCD=16+2·4=16+8=24 см.²

Ответ: площадь четырёхугольника ABCD равна 24 см².

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 4. Докажите, что площадь S четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, вычисляется по формуле

S= ·(ab+cd)·sin_B

где a=AB, b=BC, c=CD, d=DA.

Задача 5. Докажите, что площадь S четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется по формуле

S=2R^2·sin_A·sin_B·sin_α,

где α - угол между диагоналями.

Угол α между диагоналями выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d не равен 90⁰. Докажите, что площадь S четырёхугольника вычисляется по формуле

S= ·tg_α·|a²+c²-b²-d²|.

Заключение.

Исследуя Площади четырёхугольников, я понял, что они играют не последнюю роль в современной математике, давая простое объяснение при доказательстве сложных практических задач по геометрии. Знание формул значительно упрощают решение задач, особенно, на ОГЭ и ЕГЭ. Программа по математике общеобразовательной школы включает в себя лишь малую часть понятия Площади четырёхугольников, что свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения. Более подробное знакомство с этой темой позволяет не только расширить кругозор, но и повысить уровень моих знаний в области математики при решении задач, что позволяет по-новому посмотреть на задачи, предлагаемые на экзаменах и олимпиадах.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. уч. – М.: Просвещение, 2013.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 8 кл. – М.: Вита-Пресс, 2006.

3. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

4. Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс. - М.: Просвещение, 1979г.

5. Галицкий М. Л., А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. – М. Просвещение, 1995.

6. Журнал «Квант» №23, 1999 г.

7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. – М.: Мнемозина, 2014 г.

8. Семенов А.Л., ГИА: 3000 задач с ответами по математике. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.

https://MathUs.ru https://ru.wikipedia.org/wiki/Коши,_Огюстен