XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические неожиданности ленты Мёбиуса
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Лента Мёбиуса — это один из самых интригующих объектов в области геометрии - топологии, который на протяжении многих лет привлекает внимание как ученых, так и любителей математики.
Актуальность исследования обусловлена тем, что топологические свойства ленты Мёбиуса тесно переплетаются с ее практическим применением в самых различных областях науки, техники и искусства.
Проблема исследования заключается в том, что растет интерес к неориентируемым поверхностям в науке и технике, но отмечаются сложности с применением их свойств в практической деятельности.
Научная новизна исследования заключается в том, что рассмотрена математическая концепция ленты Мебиуса через визуализацию и практическое взаимодействие с объектом; разработана классификация сфер практического применения ленты Мёбиуса; на основе изученного материала создан познавательный видеоролик.
Цель: исследовать свойства ленты Мёбиуса и возможности их применения.
Задачи:
- познакомиться с историей открытия феномена ленты Мёбиуса;
-систематизировать информацию о свойствах и характеристиках ленты Мебиуса;
-изучить практическое применение в различных сферах;
-провести экспериментальные исследования;
-создать визуальные материалы для изучения и демонстрации свойств ленты Мёбиуса;
-обобщить полученные данные, сделать вывод.
Объект исследования: лента Мёбиуса.
Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.
Гипотезы исследования:
-
Предположим, что лента Мёбиуса, как неориентируемая поверхность, обладает необычными свойствами.
-
Предположим,что, исследуя поверхность ленты Мёбиуса, можно определить ее практическое применение.
В трудах немецких математиков Августа Фердинанда Мёбиуса и Иоганна Бенедикта Листинга заложена историческая информация, на которую опираются все последующие исследователи. Российский математик Евгений Старостин и его коллега Герт ван дер Хейден из Англии исследовали, как можно предсказать трёхмерную форму фигуры, которую образовывает полоса Мёбиуса.
Характеристика личного вклада в развитие выбранной темы в том, что обобщены представления исследователей о ленте Мебиуса. Изучение работ авторов научной литературы и публикаций в данной области позволило провести экспериментальную работу по изучению свойств ленты Мёбиуса, разработать обширную классификацию сфер ее практического применения; создать анимационный обучающий ролик.
Методы исследования: анализ литературы, информации сети Интернет по данной теме; классификация; практическое изготовление ленты Мёбиуса; опытно-экспериментальная деятельность; визуализация; анализ результатов, обобщение.
Этапы работы: 1. Теоретический: сбор и анализ теоретического материала по представленной теме, изучение истории развития топологии и понятия лента Мёбиуса, описание ее свойств и характеристик, анализ применения ленты Мёбиуса в различных областях.
2. Практико-ориентированный: проведение опытов с лентой Мёбиуса, создание визуальных материалов: буклета «Математические чудеса с лентой Мёбиуса» и познавательного видеоролика «Математические раскопки Варвары Коневич».
-
Обобщающий: анализ полученных результатов, формулировка выводов.
Глава 1. Теоретические основы понятия ленты Мёбиуса в топологии
1.1. История возникновения ленты Мёбиуса
Лента Мёбиуса стала знаковой для современной математики благодаря своей фундаментальности в развитии топологических исследований.
Энциклопедические источники определяют топологию как раздел математики, раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (Евгеньева А.П.) [8; с. 624]. При этом лента Мебиуса в топологии характеризуется как фигура, созданная путем соединения концов полоски бумаги после ее переворота [8; с. 235]; а также как топологический объект, простейшая односторонняя неориентируемая поверхность, которая имеет всего лишь один край [1, с. 723]. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые [5].
Возникновение концепции ленты Мёбиуса относят к середине XIX века, однако её корни уходят глубже — к римским эпосам и мозаикам, в которых запечатлены аналогичные формы поверхностей, что свидетельствует о долгой истории изучения таких поверхностей [5]. В начале XIX столетия Шарль Эрнст Свайцер предложил идеи, предвосхищающие ленту Мёбиуса, но остававшиеся малоизвестными.
Научное открытие этого уникального объекта произошло независимо двумя выдающимися математиками: Августом Фердинандом Мёбиусом - руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете и Иоганном Бенедиктом Листингом – профессором Геттингенского университета, учениками великого Карла Фридриха Гаусса.
Профессор Геттингенского университета – Листинг ввёл термин «топология» и стал одним из основоположников этого направления математики. В 1862 году он опубликовал труды, посвящённые ленте Мёбиуса, но исторически она получила своё название по фамилии его коллеги — Августа Мёбиуса. Легенда гласит о служанке учёного, случайно сшившей бесконечную петлю. В 1858 году Мёбиус отправил свои исследования в Парижскую академию наук. Ожидание результатов растянулось на семь лет, и лишь в 1865 он опубликовал работу [9, с. 387-388]. Его вклад не ограничивался описанием свойств ленты: Август стремился установить связь между геометрией и алгеброй через «Универсальный механизм» — исследование, заложившее основы новых подходов в математическом анализе.
В начале XX века математики, такие как Хенри Пуанкаре и представители топологической школы, активно включились в изучение ленты Мёбиуса [7]. Это привело к радикальным изменениям: разработке новых теорий на основе её уникальных свойств.
В различные эпохи и по всему миру были сделаны выдающиеся открытия, суть которых сводится к использованию двусторонних конструкций. В 1923 году американец Ли де Форест, знаменитый изобретатель трехэлектродного вакуумного прибора — триода, внедрил метод записи звука на кинематографическую пленку с двух сторон одновременно. С появлением магнитофона инноваторы предложили кассеты со специальными кольцевыми лентами, что позволило обрабатывать два канала звука непрерывно без необходимости замены или переворачивания носителя. Это привело к двукратному увеличению продолжительности воспроизведения.
В 1969 году советский инженер А. Губайдуллин запатентировал бесконечную шлифовальную ленту в форме листа Мёбиуса, где обе стороны активно участвовали в процессе, удваивая срок службы.
Аналогичное решение было реализовано Г. Буйным и В. Изотовым из НИИ автоматизации черной металлургии для магнитного дефектоскопического оборудования.
В 1963 году в США были зарегистрированы два уникальных патента, связанных с двусторонним использованием материалов. Некто Джакобс разработал самоочищающийся фильтр на основе ленты Мёбиуса для химчисток — устройство непрерывно очищается от загрязнений за счет своей геометрии.
Тем временем, Ричард Дэвис из корпорации «Сандиа» в Альбукерке создал электрическое сопротивление с нулевой реактивностью [9; с. 392].
В 1971 году уральский инженер Чесноков П.Н. внедрил фильтр на основе листа Мёбиуса, расширяя область применения двусторонних конструкций. Эти изобретения демонстрируют творческий подход к оптимизации ресурсов и функциональности различных технологий через использование двуликой геометрии.
Одни из последних исследований российского математика Евгения Старостина и его коллеги Герт ван дер Хейдена из Университетского колледжа в Лондоне. В 2007 году решили загадку, предсказав трёхмерную форму ленты Мёбиуса. С помощью уравнений они показали, что форма ленты Мёбиуса зависит от длины и ширины прямоугольника, образующего петлю [10, с. 13].
Таким образом, лента Мёбиуса не только уникальный математический объект, но и источник новых открытий, демонстрирующий глубинные связи между различными областями науки.
1.2. Основные свойства и характеристики ленты Мёбиуса
Анализ литературы позволяет выделить основные свойства ленты Мёбиуса, которые представлены на рис.1.
Рис. 1 Свойства и характеристики ленты Мёбиуса
Рассмотрим каждое свойство подробнее.
Первой особенностью выступает её односторонность: любой путь по ленте, начинается и заканчивается в одной точке без пересечения краёв, не разделяет внутреннее и внешнее пространство. Это фундаментальное свойство кардинально меняет восприятие формы.
Взаимосвязанной характеристикой является полная непрерывность: между любой парой точек на ленте Мёбиуса можно провести непрерывную кривую без разрыва, что отличает её от обычных поверхностей [9, с. 389].
Свойство двусвязности проистекает из анализа структуры. Разрезание квадрата по диагонали приводит к тому, что он распадётся на две отдельных части, в отличие от ленты Мёбиуса: для ее разделения требуется два разреза, что делает ленту не односвязной, а двусвязной.
Хроматическое число данного объекта составляет 6. Это означает, что максимальное количество цветных областей на поверхности так, чтобы каждая граничила с каждой другой – 6. Это свойство, выделяющее ленту Мёбиуса среди других геометрических фигур [4].
Не менее значимое свойство — неориентируемость: невозможность однозначно определить «верх и низ» приводит к тому, что движение по поверхности может привести обратно в исходную точку с противоположной ориентацией.
В современных исследованиях акцентируется внимание на вопросе симметрии ленты Мёбиуса. Несмотря на свою асимметричность, лента Мёбиуса может выступать в роли предмета для изучения симметрий в ненаблюдаемых пространствах. Лента сохраняет свою форму, если ее вращать на 180 градусов [10].
Таким образом, свойства ленты Мёбиуса представляют собой уникальный набор геометрических чудес, открывающих новые горизонты в математике, физике и других научных областях.
1.3. Применение ленты Мёбиуса в различных областях
Лента Мёбиуса нашла широкое применение в различных научных и технических областях, в искусстве. Она создает уникальные возможности для инновационных разработок. Рассмотрим сферы применения ленты Мёбиуса и ее свойств (приложение 1).
-
Широкое применение нашла лента Мёбиуса в технике. Она демонстрирует выдающуюся функциональность. Усовершенствованная ленточная транспортировка на основе ленты Мёбиуса обеспечивает равномерный износ и существенное увеличение срока службы конвейера. В области записи на непрерывную пленку использование такой ленты удваивает время хранения данных благодаря её бесконечному циклу без переворота. Матричные принтеры оснащены красящими полосами в виде листа Мёбиуса, что продлевает их работоспособность за счет равномерного распределения ресурсов [3, с.7]. Инновационная пружинная система на основе ленты Мёбиуса применяется для стабилизирования рулевых механизмов судов и самолетов: она обеспечивает возвращение в исходное положение без изменения направления действия, что критично для безопасности.
Рис. 2 Устройство ленточного конвейера и шлифовальной ленты
-
Активно используются свойства ленты Мёбиуса в физике. Электромагнитные устройства с использованием ленты Мебиуса обладают необычными характеристиками индуктивности. Это позволяет радикально переосмыслить проектирование трансформаторов и электродвигателей, минимизируя габариты при повышении их эффективности. Особенно актуально применение в условиях ограниченного пространства и высоких требований к производительности.
Рис. 3 Катушка в виде ленты Мёбиуса
-
Лента Мёбиуса нашла свое место и в области динамики и механики. Исследователи активно применяют ленту Мёбиуса для моделирования поведения объектов в сложных, нестандартных системах. В робототехнике она служит основой для разработки манипуляторов с повышенной адаптивностью и маневренностью благодаря своей уникальной геометрии, что особенно ценно при взаимодействии с объектами различной формы в сложноорганизованных пространствах.
-
В области материаловедения наблюдается интерес к ленте Мёбиуса, поскольку открываются новые горизонты в разработке композитных материалов. Учёные обнаружили, что её уникальная геометрия существенно влияет на механические характеристики и долговечность, что позволяет создавать материалы для авиастроения и строительства, обладающие повышенной прочностью при сниженной массе.
-
Астрономия и астрофизика также не остались в стороне от этого топологического объекта. В этой сфере находят применение свойств ленты Мёбиуса, используя её как модель для описания космических явлений. Теоретические модели демонстрируют, как гравитационные поля могут формировать структуры, сходные с лентой Мёбиуса, что способствует пониманию процессов формирования галактик и других астрономических объектов.
-
Кроме этого, в биологии лента Мёбиуса становится важным инструментом на молекулярном уровне. Исследования показывают, что ДНК и другие молекулярные структуры могут иметь аналогичную топологию [9, с. 391], что открывает перспективы в генной инженерии и разработке новых лекарственных препаратов. Интересны разработки пептидов и ферментов нового поколения. Возможности манипуляций с такими структурами обещают революцию в терапевтических подходах, в том числе лечение онкозаболеваний.
-
В информатике лента Мёбиуса активно применяется в алгоритмах визуализации и обработки данных, особенно при работе с графовыми структурами. Её свойства позволяют оптимизировать вычислительные процессы, а также находят применение в криптографии, где создаются новые методы защиты информации.
-
В дизайне и искусстве лента Мёбиуса стала мощным символом для творческих личностей – художников и дизайнеров, вдохновляющим на создание уникальных произведений искусства и предметов интерьера. Элементы мебели и декора, разработанные под влиянием геометрии этой ленты, мастерски сочетают в себе практичность и эстетическую привлекательность. Знаменитый голландский художник М. К. Эшер, в частности, воплотил идею ленты Мёбиуса в своих литографиях, среди которых выделяется работа «Лист Мебиуса II», где красочно изображены красные муравьи, бесконечно движущиеся по поверхности ленты. В современном искусстве лента Мёбиуса продолжает вдохновлять мастеров. Так, Вячеслав Баранов-Россинэ в своей картине «Зимний мотив», а Лиза Рэй в «Корабле дураков в бесконечности» демонстрируют гармонию между математическими формами и художественным выражением. Эти произведения подчеркивают, как математические концепции могут обогащать культурное пространство, создавая новые смыслы и ассоциации. В мире иллюзий лента Мёбиуса также находит применение: механизмы, основанные на её свойствах, используются в номерах иллюзионистов, например, в «Левитации человека», где зрители сталкиваются с необычными пространственными эффектами. Кроме того, лента Мёбиуса стала узнаваемым символом в коммерческой сфере. Самый известный пример – международный знак переработки, который встречается на упаковке товаров, подчеркивая важность экологических инициатив.
Рис. 4 М.К. Эшер литография "Лист Мебиуса II" и иллюзия «Левитация» Ивана Коневича
-
В архитектурном мире нередко применяют ленту Мёбиуса, ставшую украшением городских улиц в виде уникальных скульптур. В Екатеринбурге к 285-летию города в 2008 году был установлен монумент "Лента Мёбиуса". В Москве на Комсомольском проспекте располагается скульптура с девизом: "Разные точки зрения на один предмет", а на ВДНХ есть ландшафтный аттракцион – пешеходная дорожка в виде ленты Мёбиуса. В Новосибирске соорудили памятную стелу учителям в виде такой фигуры. По проекту одну из высоток с Москва-Сити планируют построить в виде ленты Мёбиуса.
Рис. 5 Буддистский храм в Китае, скульптуры в Екатеринбурге и в Москве
Выводы по 1 главе: Таким образом, первая гипотеза доказана: лента Мёбиуса, обладая удивительными топологическими свойствами, активно используется в различных областях. Она вызывает интерес не только за счет своей специфической структуры, но и за счёт её способности интегрироваться в сложные математические теории и концепции. Многообразие применения подчеркивает значимость данной структуры и открывает новые возможности для дальнейших исследований и применения знаний в широком спектре различных областей, что доказывает вторую гипотезу.
Глава 2. Практическая работа по исследованию ленты Мёбиуса
2.1. Опытно-экспериментальная деятельность по определению основных характеристик ленты Мёбиуса
Лента Мёбиуса также полна возможностей для практических экспериментов. Исследования показывают, что различные эксперименты позволяют лучше понять сложные математические концепции и свойства форм. На практике были проведены опыты с ней.
Цель данного этапа работы: проверить на практике свойства и характеристики ленты Мёбиуса. Необходимые материалы: ножницы, бумажные ленты, клей, карандаши.
Чтобы изготовить ленту Мебиуса, возьмём бумажную ленту ABCD. Прикладываем ее концы AB и CD друг другу и склеиваем так, чтобы точка A совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз, на 180° (рис. 6) [6].
Рис. 6 Схема склеивания ленты Мёбиуса
Опыт №1: Проверка свойства односторонности и неориентируемости
Цель: доказать свойство односторонности и неориентируемости ленты Мёбиуса.
Ход эксперимента: Постепенно окрашиваем ленту в красный цвет, начиная с любого места, не переворачивая ее.
Вывод:Вся поверхность ленты Мебиуса окрашивается полностью, значит лента Мёбиуса – односторонняя поверхность. Это доказывает и свойство неориентируемости, то есть показывает, что у ленты нет «верха и низа».
Опыт №2: Проверка свойства непрерывности
Цель: доказать свойство непрерывности ленты Мёбиуса.
Ход эксперимента: Необходимо поставить точку примерно посередине поверхности и начертить непрерывную линию вдоль ленты.
Вывод:Непрерывная линия проходит по обеим сторонам ленты Мёбиуса, заканчиваясь в начальной точке.
Опыт №3: Проверка связности ленты Мёбиуса
Цель: исследовать связность ленты Мёбиуса.
Ход эксперимента: Разрезаем ленту поперек столько раз, сколько необходимо для того, чтобы располовинить ленту.
Вывод:Лента Мёбиуса двусвязна, так как при разрезании ее вдоль один раз, получим одну ленту, а чтобы располовинить ее, нужно два разреза.
Опыт №4: Проверка хроматического номера ленты Мёбиуса
Цель: найти хроматическое число ленты Мёбиуса.
Ход эксперимента: Необходимо найти максимальное число областей, на которые можно поделить поверхность так, что каждая будет иметь общую границу со всеми другими. По-разному раскрашиваем эти области так, что любой цвет должен соседствовать со всеми остальными.
Вывод:Лента Мёбиуса имеет хроматический номер – 6, то есть при раскрашивании можно использовать не больше 6 цветов.
Опыт №5: Разрезание ленты Мёбиуса посередине
Цель: изучить изменение формы ленты Мёбиуса, если ее разрезать посередине.
Ход эксперимента: Проведем карандашом линию вдоль ленты Мёбиуса так, чтобы она замкнулась в начальной точке. Разрежем ленту Мёбиуса по получившейся линии. На полученном в результате разрезания ленты Мёбиуса кольце поставим точку и проведем линию не прерываясь.
Вывод:В результате получилась одна лента с двумя полуоборотами, длина которой в два раза больше, а ширина в два раза уже исходной ленты Мёбиуса. На получившемся кольце линия проходит не по всей поверхности, а значит при подобном разрезании лист Мёбиуса утрачивает свои свойства.
Опыт №6: Разрезание ленты Мёбиуса на 1/3 от края
Цель: изучить изменение формы ленты Мёбиуса, если ее разрезать посередине.
Ход эксперимента: Разрежем ленту Мёбиуса вдоль, отмерив от края на 1/3 ее ширины. На полученных в результате разрезания ленты Мёбиуса двух кольцах поставим точку и проведем линию не прерываясь.
Вывод:При разрезании получаем два перекрученных сцепленных между собой кольца. При этом диаметр первого кольца в два раза больше диаметра второго, а ширина первого кольца в два раза меньше. Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца. Значит, это кольцо, а не лента Мёбиуса. И непрерывная линия будет проходить по всей поверхности маленького второго кольца. Значит, это лента Мёбиуса [3, с. 9-10]. Фото проведения экспериментов, представлены в приложении 2.
Таким образом, проведенная серия исследований ленты Мёбиуса сфокусировала внимание на его теоретических и практических аспектах: выявлены уникальные свойства, что открывает новые горизонты в области применения. В связи с этим разработан специальный буклет «Математические чудеса с лентой Мёбиуса».
2.2. Визуализация математической концепции ленты Мёбиуса в познавательный видеоролик «Математические раскопки Варвары Коневич»
Лента Мёбиуса — это не просто интересный математический объект, но и прекрасное средство для визуализации определенных математических понятий, которые могут быть довольно сложными для восприятия. Возможность проведения экспериментов с лентой Мёбиуса акцентирует внимание на её значении в образовательном контексте. Исследования показывают, что различные эксперименты с этой лентой позволяют ученикам лучше понять сложные математические концепции и свойства форм [2]. Она служит отличным примером для объяснения не только базовых, но и более сложных терминов. Прямой визуальный опыт работы с лентой может стимулировать творческое мышление и интерес к закрытым геометрическим структурам. Создание познавательного ролика позволяет углубить понимание топологических свойств, что, в свою очередь, способствует формированию более прочной базы знаний.
Цель данного этапа исследования: визуализировать математическую концепцию ленты Мёбиуса в видеоролик. На основе изученного теоретического материала и усвоенных практических навыков, был снят видеоматериал о ленте Мёбиуса, в котором образовательный контент подан в доступной и увлекательной форме. Видеоролик «Математические раскопки Варвары Коневич» помогает увидеть, как взаимодействует и трансформируется лента Мёбиуса в трехмерном пространстве. В нем показан процесс и озвучен результат проведения опытов, освещены некоторые области применения ленты Мёбиуса в г. Тюмени. В рамках недели науки видеоролик размещен на странице группы МАОУ СОШ № 65 г. Тюмени «Вконтакте». Он набрал более 2 000 просмотров, что показывает заинтересованность зрителей в данном контенте. С ним я участвую во всероссийском конкурсе научно-популярного видео «Знаешь? Научи!». Таким образом, лента Мёбиуса — это не просто математический объект, но и интересная платформа для экспериментов, исследований и познавательного обучения в области топологии. Образовательный контент о ленте Мёбиуса представляет собой важный элемент, способствующий развитию математического мышления, креативности и пространственного восприятия.
Выводы по 2 главе: Экспериментальная работа по изучению свойств ленты Мёбиуса с проведением опытов позволяет выявить ее основные свойства и рассмотреть, как могут меняться характеристики ленты в зависимости от проводимых с ней манипуляций. Практическая визуализация концепции ленты Мёбиуса не только демонстрирует ее свойства, но и делает это в формате новых информационных технологий.
Заключение
Лента Мёбиуса, как уникальный объект, представляет собой не только интересный математический феномен, но и важный элемент в изучении топологии и геометрии. В ходе работы исследованы были систематизированы знания и информация о ленте Мебиуса и ее свойства, что позволило глубже понять, как этот объект функционирует и какие удивительные характеристики он имеет.
В теоретической части были рассмотрены определения понятия топология и лента Мёбиуса с позиции разных авторов. Были выделены отличительные свойства, изучена технология ее создания. Лента Мёбиуса нашла широкое применение в различных научных и технических областях, в искусстве, на основе чего работе проведена обширная классификация. Практическим результатом изучения теоретической информации стало создание буклета «Математические чудеса с лентой Мёбиуса».
В практической части была проведена серия опытов. Эксперименты с лентой Мёбиуса доказывают свойства, описанные в теоретической части работы. А опыты с разрезанием ленты Мёбиуса открывают новые перспективы ее применения. Возможность проведения экспериментов с лентой Мёбиуса акцентирует внимание на её значении в образовательном контексте.
На основе изученного теоретического материала и усвоенных практических навыков, был снят видеоролик о ленте Мёбиуса, в котором образовательный контент подан в доступной и увлекательной форме. Видеоролик «Математические раскопки Варвары Коневич» размещен на странице группы МАОУ СОШ № 65 г. Тюмени «Вконтакте». Также с ним я приняла участие во всероссийском конкурсе научно-популярного видео «Знаешь? Научи!» в номинации «Космос».
Таким образом, можно сделать вывод о том, что гипотезы подтвердились: лента Мёбиуса, как неориентируемая поверхность, обладает необычными свойствами; а исследуя поверхность ленты Мёбиуса, можно определить ее практическое применение. Цель работы достигнута. Все поставленные в ходе исследования задачи реализованы.
В перспективе я планирую углубленное изучение данной темы: расширить знания по истории изучения ленты Мёбиуса; сравнить ее с другими топологическими объектами, в том числе с бутылкой Клейна; изучить применение в Тюменской области; принять участие с видеороликом в медиаконкурсах научной направленности; создать анимационный мультфильм про ленту Мёбиуса; придумать свой вариант новой полезной конструкции с лентой Мёбиуса в основе.
Значимость моей исследовательской работы в том, что результаты исследования могут быть использованы в работе педагогов образовательных учреждений, для проведения лабораторных работ, для обогащения предметно-развивающей среды.
Список литературы
-
Большая Советская Энциклопедия / ред. О.Ю. Шмидт. - М.: Советская Энциклопедия, 1992. - 921 c.
-
Вайткене, Л.Д. Увлекательная книга о математике / Л.Д. Вайткене – Москва: Издательство АСТ, 2024. – 159 с.
-
Ерохин, М. А. Исследование листа Мёбиуса с точки зрения математики / М. А. Ерохин // Молодой ученый. — 2014. — № 4 — С. 6-12.
-
Загадочная лента Мёбиуса. Лента Мебиуса и ее сюрпризы
Источник: https://gorodshapok.ru/vtb-24/zagadochnaya-lenta-m-biusa-lenta-mebiusa-i-ee-syurprizy-nauchnye/ – (Дата обращения: 31.01.2025) -
Лента Мёбиуса / [Электронный ресурс]. – // Википедия. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/?curid=64556&oldid=140962668 (Дата обращения: 22.10.2024).
-
Модель листа Мёбиуса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://kasheloff.ru/photos/kak-sdelat-mebius/ (Дата обращения: 09.01.2025).
-
Новиков, Н.Б. Сила аналогий. Творчество Анри Пуанкаре / Н.Б. Новиков / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://alley-science.ru/domains_data/files/7January2023/SILA%20ANALOGIY.%20TVORChESTVO%20ANRI%20PUANKARE.pdf (Дата обращения: 01.02.2025).
-
Словарь русского языка (Малый академический словарь). Т.2. / Под ред. А. П. Евгеньевой. — М.: Русский язык; Издание 3-е, стер., 1999. – 736 с.
-
Спицын, И.А. Лист Мёбиуса и его применение // Международный школьный научный вестник. – 2019. – № 1 (часть 3) – С. 387-393
-
Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Ленанд, 2024. - 512 с.
-
Шакиров Д.С. Лента Мёбиуса/ Д.С. Шакиров / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-matematike-lenta-myobiusa-7504498.html?ysclid=m6ti8mxh4b421792015 (Дата обращения: 06.02.2025).
Приложение 1
Классификация применения феномена ленты Мебиуса в различных сферах
Приложение 2
Фото проведения экспериментов с лентой Мёбиуса
Приложение 3
QR- код на видеоролик «Математические раскопки Варвары Коневич»