XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Методы решения квадратных уравнений: от древности до наших дней

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Никифорова М.М. 1

---

1ПМАОУ "Школа №32"

Заборских Д.В. 1

---

1ПМАОУ "Школа №32"

Работа в формате PDF

242.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить

одну и ту же задачу тремя различными способами,

чем решить три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными методами, можно путем

сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее.

Так вырабатывается опыт».

У. Сойер

Одним из главных компонентов общего образования и культуры современного человека, является математическое образование, получаемое сначала в общеобразовательной школе, а потом и в ВУЗе. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. При этом стоит отметить, что для решения большинства практических задач требуется уметь решать уравнения различных видов.

Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных в школьном курсе математики. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики и других областях (физика и химия).

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако стоит отметить, что так привычные нам методы решения квадратных уравнений появились далеко не сразу, а также являются не единственными возможными способами решения уравнений такого вида. Существуют некоторые приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально находить корни квадратного уравнения.

При изучении данной темы мне стала интересна история появления методов решения квадратных уравнений, а также их отличия от современной трактовки.

Цель исследования: рассмотреть историю появления различных методов решения квадратных уравнений, провести сравнение решений одного и того же уравнения различными методами.

Задачи исследования:

1.Рассмотреть историю формирования основных методов и приемов решения квадратных уравнений.

2.Определить особенности решения квадратных уравнений от древности до наших дней.

3.Осуществить сравнение «исторических» методов решения и современных методов.

4.Сделать выводы об «эффективности» применения рассмотренных методов и возможности применения их на уроках и во время сдачи экзаменов.

В первой главе исследования мы рассматриваем теоретические основы решения квадратных уравнений, во второй – рассмотрели исторические и современные методы решения и осуществили сравнение предложенных методов.

Глава I. Теоретические основы

1.1 Квадратные уравнения: основные понятия

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0. Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

● Пример. 8x² – 7x + 3 =0.

В каждом из уравнений вида ax² + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х²равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

● Пример. х² – 11х+30=0, х² –8х=0.

Напомним, что корнем (или решением) уравнения с неизвестным х называется число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет.

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта D, поэтому решение уравнения следует начинать с вычисления D, чтобы выяснить имеет ли квадратное уравнение корни, и если имеет, то сколько.

Возможны три случая:

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень: .

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Предположим, что в некотором уравнении мы сделали следующие преобразование: раскрыли скобки, если они есть, уничтожили знаменатели, если в уравнении есть дробные члены, перенесли все члены в левую часть уравнения и сделали приведение подобных членов. Если после этого в левой части уравнения окажется член, содержащий неизвестное в квадрате, и не будет членов, содержащих неизвестное в более высокой степени, то получили квадратное уравнение. Общий вид такого уравнения есть ах² +bx + c = 0.

Заметим, что коэффициент а мы всегда можем сделать положительным, переменив в случае надобности перед всеми членами уравнения знаки на противоположные.

Таким образом, строим алгоритм решения квадратного уравнения:

1.2 История появления квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени, ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать ещё около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает, по существу, с современными, однако не известно, каким образом дошли вавилоняне до нахождения правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта содержится систематический ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемые при помощи составления уравнений различных степеней, однако в ней нет систематического изложения алгебры.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономических трактатах «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индейским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Для аль-Хорезми, не знавшего отрицательных чисел, члены каждого уравнения слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений, при решении неполного квадратного уравнения аль-Хорезми, как и все ученые до XVII века, не учитывает нулевого решения.

Трактат аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и формулы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объёмистый труд отличается полнотой и ясностью изложения. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические приёмы решения задач, и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII и частично XVIII веков.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, не только положительные, но и отрицательные корни. Лишь в XVII веке, благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Глава II. Методы решения квадратных уравнений

В настоящее время на полках книжных магазинов можно встретить большое количество учебников по алгебре для средней школы. Все они содержат тему «Квадратные уравнения», которая отражает основные методы их решения, но не показывает истории их возникновения и формирования. Мы восполним этот пробел и попробуем представить методы решения этих уравнений от древности до наших дней.

2.1 Квадратные уравнения – сквозь века

2.1.1. Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракторе «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с современным.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая..

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратного уравнений.

и

2.1.2. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от непосвященных. Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Рассмотрим пример решения квадратного уравнения и сравним его с современным решением.

Задача 1.

Задаем вопрос: «Что настораживает, кажется странным?»

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x₂ = – 29 (его легко найти по теореме, обратной теореме Виета). В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень.

Задача 2.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. Найди длину и ширину.

Решение:

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. О какой фигуре идет речь? 

Можно догадаться, что речь идет о прямоугольнике со сторонами х и у.

Записываем систему уравнений, используя условие задачи.

– Каким образом можно решить систему?

1) Можно использовать способ подстановки.

2) Можно записать по теореме Виета квадратное уравнение и решить его.

Найди квадрат длины и ширины, взятых вместе:

Квадрат длины и ширины, взятых вместе равен 196. (Раскрываем скобки)

Возьми четыре площади – это 160.

4xy = 160

Вычти  из квадрата  эти четыре площади, получишь 36.

196 – 160 = 36

(х – у)² = 36

Найди корень. Это 6. x – y = 6 

Предполагается, что длина больше ширины (х > у). Это значит, что длина превосходит ширину на 6. Сложи длину и ширину с их разностью.

(x + y) + (x – y) =14 + 6.

Это будет 20.

2x = 20.

Две длины равны 20, значит одна длина 10.

x = 10.

Из суммы вычти разность.

(x + y) – (x – y) = 14 – 6

2y = 8

y = 4

Ответ: длина 10, ширина 4.

Для простых систем уравнений удобно было пользоваться стандартными способами, для более сложных – искали свои пути решения (это будет позднее).

2.1.3. Квадратные уравнения в античном мире (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид).

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид (II книга «Начал», так называемая «геометрическая алгебра»). Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило – делай как я). В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Геометрия в то время считалась наукой всех наук. Поэтому теперь посмотрим на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 3.

Дано уравнение:

Отрицательных чисел в те века еще не знали, приблизился к ним только Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты  р > 0,  q > 0.

x =  .  

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

.

Выполним построение прямоугольного треугольника с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА = (РА – гипотенуза). От точки Р  отложим вправо отрезок РМ =  (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

СМ = x₁ = , КМ = x₂ = , (РС = РА = РК = ).

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности часто встречался синтез алгебры с геометрией.

2.1.4. Квадратные уравнения в Средние века (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах,  поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове. Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых.  Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax² + bx = c ( квадраты и корни равны)

ax² + c = bx  (квадраты и числа равны корням)

ax² = bx + c (корни и числа равны квадратам)

ax²  = bx (квадраты равны корням)

ax²  = c ( квадраты равны числу)

Почему? В то время еще не знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический.

Задача 4.

Квадрат и десять его корней равны 39. Рассмотрим геометрическое решение уравнения х² + 10х = 39.

Рисуем квадрат, сторона которого обозначается неизвестной величиной х. Тогда x² –  площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x.

Раздвои число корней (корней 10, раздвоили, получили 5). Построй большой квадрат. Площадь маленького квадрата 25. Площадь заштрихованной фигуры 39. Что можем найти? Площадь большого квадрата равна 39 + 25 = 64.

Вся площадь целиком S_ABCD = 64. т.е. (х + 5)² = 64, х = 3

Возникает вопрос: «Где ещё один корень?». Второй корень отрицательный. (По теореме Виета – 39: 3 = – 13).  х₂ = – 13 

(Раздвоить прямоугольники удалось легко за счёт четного коэффициента. Этот способ наглядно, красиво и просто позволил решить такое уравнение, но его использование может быть тяжело для других уравнений. Поэтому такой способ решения не развился дальше).

2.1.5. Квадратные уравнения в Европе. Эпоха Возрождения (рассмотрим конкретное время – XVI век н. э. Франсуа Виет)

Невозможно сейчас представить математику специальных обозначений. Создателем алгебраической символики и формул по праву считается французский математик Франсуа Виет. Он писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид». Хотя символика Виета и обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед. А вот древние математики вполне обходились без буквенных обозначений и специальных правил оперирования с ними.

Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику. Но вскоре он стал секретарем и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. Тогда Виет очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии. Знакомство Виета с Генрихом Наваррским, будущим королем Франции Генрихом IV помогло Виету занять видную придворную должность – тайного советника.

Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля в Нидерландах для переписки с испанским двором.  Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. Только Виет быстро нашел ключ. Испанцы не представляли себе всего могущества человеческого ума. Они думали, что французам помогает дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили его уничтожить дьявольскую силу.

Задача 5.

Рассмотрим уравнение х² – 6х – 16 = 0.

Вводим новую переменную (на первый взгляд усложняем уравнение, но посмотрим, к чему это приведёт).

х = у + а

(у + а)² – 6 (у + а ) – 16 = 0

у²+ 2ау + а² – 6у – 6а – 16 = 0 (рассматриваем главную переменную у)

у²+ (2а – 6) у – 16 + а² – 6а = 0

Мы хотим получить неполное квадратное уравнение, при каком значении а это получится?

2а – 6 = 0

а = 3.

Т.е. в нашем случае: х = у + 3

у²+ 9 – 18 – 16 = 0

у²= 25

у =  ± 5

х₁= 5 + 3 = 8, х₂ = – 5 + 3 = – 2.

Основа метода – любое полное уравнение заменой переменных сводим к неполному квадратному уравнению.

Эта идея дала толчок развитию математики. Появился вопрос: «А можно ли решать уравнения третьей, четвёртой, пятой и высших степеней. Существует ли общий метод решения более сложных уравнений?»

Формула решения квадратного уравнения известна с незапамятных времен. В XVI в. Итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление.) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Кроме того, все уравнения данной степени можно «обслужить» одной формулой. После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Общей формулы для таких уравнений не существует. Это доказал молодой норвежский ученый Нильс Хенрик Абель. Однако, это не означает, что невозможно решить те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Новые открытия в решении уравнений сделал французский ученый Эварист Галуа. Эварист Галуа погиб на дуэли в 20 лет. Свои результаты он изложил в письме, написанном в ночь перед поединком. Потребовались десятилетия, чтобы теория Галуа стала понятна математикам.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Алгебра и геометрия – взаимосвязаны.

Рассмотренные методы решения квадратных уравнений могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников, дают возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

2.2 Квадратные уравнения в современном мире: рациональные способы решения

2.2.1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1) Если а+ b+c= 0, то х=1, х= .

Пример. Рассмотрим уравнение

х² +4х – 5= 0.

а+ b+c= 0, х=1, х= . 1+ 4+(–5) = 0.

Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5.

Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b²– 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36

х= – 5. х=1.

Отсюда следует, что если а+b+c= 0,то х=1, х= .

2) Если b= а+c, то х= –1, х= .

Пример. Рассмотрим уравнение 2х² +8х +6 = 0.

Если b= а+c, то х= –1, х= .

8 =2 +6, значит корнями этого уравнения являются –1 и –3.

Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b²– 4ас=8– 4∙2∙6= 16

.

х= –3 и х= –1.

Отсюда следует, что если b= а+c, то х= –1, х= .

2.2.2. Способ переброски.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

2х² – 11х+5=0,

х² – 11х+10= 0,

х= 10; х=1.

Корни уравнения необходимо поделить на 2.

Ответ: 5; 0,5.

2.2.3. Закономерность коэффициентов.

1) Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b равен (а² +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х= –а; х= .

ax² + (а² +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х² +37х +6 = 0. х= –6; х=- .

2) Если в уравнении ax²– bx + c = 0 коэффициент b равен (а²+ 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= а; х= ax²– (а² +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х²–226х +15 = 0.

х= 15; х= .

3) Если в уравнении ax²+ bx – c = 0 коэффициент b равен (а²– 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= –а; х= . ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х²+288х – 17 = 0.

х= –17; х= .

4) Если в уравнении ax²– bx – c = 0 коэффициент b равен (а²– 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= а; х= – .

ax²+ (а²– 1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²–99 х – 10 = 0.

х= 10; х= – .

2.3 Сравнение решений квадратных уравнений различными способами

Задача 1. Решить уравнение:

Ответ:

Задача 2. Решить уравнение:

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение:

Ответ:

Рабочая тетрадь «Решение квадратных уравнений»

Пояснительная записка

Тема «Квадратные уравнения» очень важна для изучения курса математики, т. к. имеет очень широкое применение при решении более сложных задач как в алгебре, так и в геометрии.

Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Например, при изучении следующих тем:

8-й и 9-й класс – разложение квадратного трехчлена на множители; квадратичная функция и ее график; неравенства второй степени с одной переменной; решение задач на составление квадратных уравнений;

10-й и 11-й класс – тригонометрические уравнения и неравенства; применение производной к исследованию функции; интеграл; площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства.

Цель работы: систематизировать и углубить свои знания по решению квадратных уравнений; представить их в удобном для изучения и повторения виде.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

В работе рассматриваются различные виды квадратных уравнений и способы их решения.

В тетради даются краткие теоретические сведения, решение уравнений. Примеры подобраны с различной степенью трудности: от простых до достаточно сложных.

Квадратные уравнения

І. Уравнение х² =a.

Реши самостоятельно

Квадратные уравнения

ІІ. Уравнение ax² + bx = 0, b≠ 0

x (ax + b) =0, x= 0 или

ax +b =0 ax = -b, x = -b /a

пример 1 x2 -7x =0 х(х-7)=0 х=0 или х-7=0 х=7 Ответ: 0; 7

пример 2 6 x2 -x =0 х(6х-1)=0 х=0 или 6х-1=0 6х=1 х=1/6 Ответ: 0; 1/6

Реши самостоятельно

Квадратные уравнения

ІІІ. Уравнение ax² + bx+с = 0

Реши самостоятельно

Квадратные уравнения

ІV. Уравнение ax² + bx+с = 0

Реши самостоятельно

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Реши самостоятельно

Заключение

В результате работы по данной теме можно сделать следующие выводы:

• изучение научно – методической литературы по теме выполненной работы показали, что использование различных способов решения квадратных уравнений является важным звеном при изучении математики, повышает интерес, развивает внимание и сообразительность;

• система использования различных способов решений уравнений является эффективным средством активизации познавательной деятельности обучающихся, положительно влияет на повышение качества знаний, умений и навыков, развивает умственную деятельность.

Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм решения.

Работа по данной теме способствует дальнейшему изучению различных способов решений различных уравнений, отысканию в них общего и различного, нового и известного с древних времен.

Предложенную работу можно использовать в работе кружков и математических объединений для повышения интереса к изучению математики в школе.

В процессе работы мы пришли к выводу, что многие современные методы решения квадратных уравнений более удобны, нежели их предшественники и объединяют в себе весь накопленный объем знаний как о преобразованиях выражений, так и о числах.

Литература

1. Алгебра, 8: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст]/Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин – М.: Просвещение, 2013. – 336 с.

2. Алгебра.8 класс. В 2ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – 16-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с.:

3. Башмакова, И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида [Текст]/ И.Г. Башмакова // Историко-математические исследования.— М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.— Вып. 1.

4. Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 17-20.

5. Детская энциклопедия в 12-ти т. [Текст]: /Банников А. Г. [и др.] – М.: «Педагогика», 1972г., - Т.2.

6. И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах. - М.: Просвещение, 1987.

7. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

8. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

9. Пресманн, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки [Текст]/ А.А. Пресманн// Квант, 1972. - №4 – С. 34.

10. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.

11. Смирнова, Н.А. Учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений». – Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/630088/

12. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

13. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.

14. Штейнгауз, В.Г. Математический калейдоскоп [Текст] /В.Г. Штейнгауз. – М.: Бюро «Квантум», 2005.