Бесконечные ряды, как инструмент математического анализа

XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Бесконечные ряды, как инструмент математического анализа

Канаков А.С. 1
1МБОУ «СОШ №31» г. Ижевска
Гагарина Н.А. 1
1МБОУ «СОШ №31» г. Ижевска
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

С древнейших времён человечество стремилось постичь бесконечность — концепцию, одновременно пугающую и завораживающую. В математике одним из наиболее элегантных инструментов работы с бесконечностью стали бесконечные ряды — последовательности чисел или функций, суммируемые безгранично. Эти конструкции, возникшие на стыке философии и точных наук, не только перевернули представление о вычислениях, но и стали основой для технологических прорывов современности.

История бесконечных рядов уходит корнями в античность, когда Зенон Элейский формулировал свои парадоксы, пытаясь осмыслить непрерывность движения через бесконечное деление отрезков. Однако настоящий расцвет теории начался в XVII веке с работ Ньютона и Лейбница, которые использовали ряды для описания дифференциального и интегрального исчислений. В эпоху Просвещения математики осознали, что даже самые сложные функции — от тригонометрических до логарифмических — можно «разобрать на части», представив их в виде бесконечных сумм простых компонентов. Это открыло путь к решению уравнений, ранее считавшихся неразрешимыми, и заложило основы математической физики.

В XIX веке строгое обоснование сходимости рядов усилиями Коши, Абеля и Вейерштрасса превратило их из интуитивного инструмента в полноценный раздел анализа. Учёные обнаружили, что расходящиеся ряды, вопреки ожиданиям, тоже могут нести практическую ценность — например, описывать асимптотические поведения в теории возмущений. К XX веку бесконечные ряды проникли в квантовую механику, теорию сигналов и даже экономическое моделирование, став незаменимыми для прогнозирования сложных систем.

Сегодня, в эпоху цифровых технологий, бесконечные ряды продолжают играть ключевую роль. Алгоритмы сжатия аудио и видео используют гармонический анализ Фурье, финансовые модели опираются на геометрические прогрессии для расчёта рисков, а нейронные сети аппроксимируют функции через итерационные процессы. Даже в повседневных технологиях — от GPS-навигации до медицинской томографии — заложены принципы, требующие понимания сходимости и суммируемости.

Однако философский вызов бесконечности остаётся актуальным. Как конечный человеческий разум может оперировать бесконечными сущностями? Какие гарантии дают нам методы сходимости в мире, где любая физическая система ограничена? Эти вопросы подчёркивают, что бесконечные ряды — не просто технический инструмент, а мост между абстрактной математикой и реальностью, где каждое приближение несёт в себе как возможности, так и ограничения.

Цель данной работы — проследить эволюцию концепции бесконечных рядов, выделить их фундаментальные свойства и продемонстрировать многообразие применений в современных научных и инженерных задачах. Особое внимание будет уделено парадоксам и методологическим урокам, которые возникают при переходе от идеальных математических конструкций к их практической реализации.

1. Основные определения и классификация

1.1 Понятие бесконечного ряда Определение

Бесконечный ряд — это формальная сумма бесконечной последовательности чисел или функций:

где an— члены ряда. Сумма ряда определяется через предел частичных сумм:

, где .

Если предел Sсуществует и конечен, ряд называется сходящимся, в противном случае — расходящимся [4].

Ключевые аспекты

  • Сходимость: Главный вопрос теории рядов — выяснить, существует ли конечная сумма.

  • Условия сходимости:

    • Необходимое условие: limn→∞ an= 0 (но этого недостаточно!).

    • Достаточные условия: признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак.

2 . Сходимость, методы определения сходимости: зачем они нужны?

2.1 Введение

Сходимость один из ключевых свойств любого бесконечного ряда. В математике и её приложениях методы определения сходимости — это инструменты, которые позволяют определить, стремится ли последовательность, ряд или итерационный процесс к определённому пределу, и оценить скорость этого процесса.

2.2 Основные задачи методов определения сходимости

  1. Проверка корректности математических объектов

Пример: бесконечный ряд имеет смысл только при сходимости. Без проверки сходимости возможны подобные результаты:

(в классическом анализе).

  1. Обеспечение точности вычислений

В численных методах (например, метод Ньютона-Рафсона) итерации продолжаются до достижения заданной точности:

|xn+1 − xn| < ε. Методы сходимости гарантируют конечность процесса.

  1. Анализ устойчивости моделей

Пример: модель популяции животных описывается рекуррентной формулой Pn+1 = rPn(1 − Pn). Сходимость к P∗означает стабильность экосистемы.

  1. Оптимизация алгоритмов

В машинном обучении градиентный спуск минимизирует функцию потерь L(θ). Сходимость гарантирует:

θn+1 = θn − η∇L(θn).

  1. Работа с бесконечностью

Интегральный признак Коши для рядов:

сходится сходится.

2.3 Типы сходимости

  • Поточечная: ∀x limn→∞ fn(x) = f(x);

  • Равномерная: supx|fn(x) − f(x)| → 0

  • Абсолютная: P|an| < ∞

  • Условная: Panсходится, но P|an| расходится

2.4 Примеры приложений

  • Финансы: Сумма бесконечной ренты (ряд при |r| < 1).

  • Инженерия: Устойчивость решений y′′ + py′ + qy= 0[1].

  • Компьютерная графика: Рендеринг множества Мандельброта zn+1 = zn2 + c.

2.5 Исторический контекст

Работы Коши (1821) и Вейерштрасса (1872) заложили основы современного анализа. Пример строгости:

Гармонический ряд расходится, но сходится условно.

2.6 Заключение

Методы определения сходимости — фундамент для:

  • Корректной работы с бесконечными процессами

  • Гарантии точности алгоритмов

  • Прогнозирования в науке и технике

2.7 Методы исследования

• Признак сравнения: Если 0 ≤ an≤ bn:

XX

bnсходится =⇒anсходится

  • Интегральный признак Коши:

ведут себя одинаково

  • Признак Даламбера:

с ходится расходится

2.8 Значение в математике

  • Вычисление констант:

!

  • Вероятностные распределения:

2.9 Типичные ошибки

• Неправомерное применение признаков:

Для ошибочно: liman= 0 ̸⇒сходимость

n→∞ • Пренебрежение условиями:

расходится расходится

(сходится)

(радиус сходимости R= ∞)

3 . Классификация бесконечных рядов

Классификация рядов основана на их свойствах, поведении и структуре. Рассмотрим основные типы.

3.1 Числовые ряды

Ряды, члены которых — числа. Подразделяются по поведению и знакам членов.

3.1.1 По сходимости

  • Сходящиеся: Имеют конечную сумму. Пример:

.

  • Расходящиеся: Сумма бесконечна или не определена. Пример:

(гармонический ряд при p = 1).

3.1.2 По знакам членов

  • Положительные: Все an ≥ 0. Пример: .

  • Знакопеременные: Знаки членов чередуются. Пример:

(условно сходящийся ряд).

  • Абсолютно сходящиеся: сходится ряд из модулей P|an|. Пример: .

  • Условно сходящиеся: Panсходится, но P|an| расходится. Пример: .

3.2 Функциональные ряды. Ряды, члены которых зависят от переменной x.

3.2.1 Степенные ряды

Имеют вид . Пример: (ряд Тейлора в точке a= 0).

Радиус сходимости определяется по формуле Коши-Адамара [2].

3.2.2 Тригонометрические ряды включают ряды Фурье:

.

Применяются для разложения периодических функций.

3.3 Специальные типы рядов

3.3.1 Асимптотические ряды. Используются для приближения функций при больших значениях аргумента, даже если ряд расходится. Пример:

.

3.3.2 Ортогональные ряды. Ряды по ортогональным системам функций (например, полиномы Лежандра, функции Бесселя). Пример:

, где Pn(x) — полиномы Лежандра [6].

4. Применение бесконечных

рядов в математическом анализе

Бесконечные ряды — один из ключевых инструментов математического анализа. Они позволяют представлять сложные функции, решать уравнения и вычислять величины, которые невозможно выразить конечными формулами. Рассмотрим их основные применения.

4.1 Приближение функций. Ряды используются для разложения функций в бесконечные суммы простых слагаемых, что упрощает анализ и вычисления.

  • Ряды Тейлора и Маклорена.

Любую гладкую функцию можно разложить в окрестности точки в ряд:

Пример: экспонента .

  • Ряды Фурье

Периодические функции раскладываются в сумму синусов и косинусов:

Применяются в решении уравнений математической физики (теплопроводность, волновые уравнения).

4.2 Решение дифференциальных уравнений

Ряды помогают находить решения уравнений, которые не имеют замкнутой формы.

  • Метод степенных рядов

Решение ищется в виде . Коэффициенты cnопределяются подстановкой в уравнение.

Пример: уравнение Бесселя x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y= 0.

  • Ряды Лорана для особых точек

Используются для анализа решений в окрестности особых точек (полюсов, существенных особенностей).

4.3 Вычисление интегралов и сумм

Ряды упрощают работу с интегралами, которые невозможно вычислить аналитически.

Гармонический ряд расходится, так как:

. Интеграл Дирихле

Вычисление через разложение в ряд:

(с помощью.

  • Интегрирование почленно

Пример: Re−x2dxвыражается через ряд и используется в теории вероятностей[4].

  • Суммирование расходящихся рядов

Методы регуляризации (например, суммирование по Чезаро или Абелю) позволяют присваивать суммам расходящихся рядов конечные значения.

4.4 Приложения в других науках

  • Физика

Квантовая механика (разложение волновых функций), электродинамика (мультипольные разложения).

  • Экономика

Моделирование сложных процентов:(при |r| < 1).

  • Теория вероятностей

Характеристические функции: .

Заключение

Бесконечные ряды — это мост между дискретным и непрерывным. Они позволяют:

  • Анализировать сложные функции через простые компоненты,

  • Решать уравнения, не имеющие явных решений,

  • Создавать эффективные вычислительные алгоритмы.

5. Численные методы

5.1 Вычисление интегралов

Приближение интеграла через ряд:

.

Погрешность при .

5.2 Метод Ньютона-Рафсона

Итерационная формула для нахождения корней:

,

где сходимость зависит от выбора начального приближения x0.[5] Современные приложения

6.1 Машинное обучение

  • Градиентный спуск: Аппроксимация функции потерь рядом Тейлора:

  • Нейронные сети: Активация tanh(x) через ряд: }

6.2 Финансовая математика

  • Дисконтирование: Приведённая стоимость бесконечного аннуитета:

  • Оценка опционов: Стохастические ряды в модели Блэка-Шоулза

7. Проблемы и ограничения

  • Вычислительная сложность: Для вычисления πчерез ряд Лейбница:

требуется 106 итераций для точности 10−6.

  • Условная сходимость: По теореме Римана перестановка членов условно сходящегося ряда может изменить его сумму.

  • Ошибки округления: Накопление погрешностей в знакопеременных рядах, например:

6931 (погрешность ∼ 10−5)

Пример применения. Задача о падающем мяче

Условие: Мяч падает с высоты hметров. При каждом отскоке он теряет энергию и поднимается на от предыдущей высоты. Найдите полное расстояние, которое пролетит мяч до полной остановки (учитывайте все падения и подъёмы).

Решение

  1. Первое падение:

Мяч пролетает расстояние hметров до первого удара о землю.

  1. После первого отскока:

Мяч поднимается на высоту , затем снова падает с этой же высоты. Суммарное расстояние за цикл:

  1. После второго отскока: Высота уменьшается до .

Расстояние за цикл:

  1. Общая формула:

Для n-го отскока (n≥ 1) расстояние:

  1. Суммируем все движения:

Полное расстояние Sскладывается из:

  • Первого падения: h

  • Бесконечной серии подъёмов и падений

  1. Вычисляем сумму ряда:

Это геометрический ряд с первым членом и знаменателем :

  1. Итоговое расстояние:

Подставляем сумму в выражение для S:

Ответ

Полное расстояние, которое пролетит мяч:

4h

Примечание

Ряд сходится, так как . На практике мяч останавливается через конечное время, но математическая модель с бесконечным рядом даёт точную оценку для «идеального» случая [3]

8. Заключение

Бесконечные ряды, возникшие как попытка осмыслить бесконечность через призму математики, превратились в универсальный язык описания непрерывных процессов в дискретном мире. От античных парадоксов Зенона до алгоритмов машинного обучения они демонстрируют удивительную способность человеческого размаха преодолевать границы конечного, предлагая инструменты для решения задач, которые кажутся непостижимыми на первый взгляд.

Исторический путь развития теории рядов отражает эволюцию научной мысли: от интуитивных построений Ньютона и Лейбница до строгих критериев сходимости Коши и Вейерштрасса. Каждый этап этого пути сопровождался открытиями, которые не только углубляли понимание математики, но и находили неожиданные приложения в физике, инженерии и экономике. Сегодня бесконечные ряды стали неотъемлемой частью цифровой эпохи — будь то сжатие данных, моделирование климата или прогнозирование финансовых рынков.

Однако их использование напоминает о фундаментальном противоречии между идеальным миром математики и реальностью. С одной стороны, ряды позволяют аппроксимировать бесконечно сложное конечными шагами, с другой — требуют постоянной проверки на сходимость, напоминая о том, что не всякая бесконечность поддаётся укрощению. Это противоречие порождает новые вопросы: как улучшить точность приближений в условиях ограниченных вычислительных ресурсов? Можно ли расширить классическую теорию рядов для описания хаотических систем или квантовых явлений?

Горизонты будущего

Современные исследования в области бесконечных рядов открывают пути к революционным технологиям. Например, в квантовых вычислениях ряды Фурье используются для анализа суперпозиций состояний, а в генеративном искусственном интеллекте нейросети аппроксимируют сложные распределения данных через итеративные рядовые разложения. Даже в биоинформатике методы суммирования помогают расшифровывать паттерны в геномных последовательностях, где бесконечность возникает как метафора неисчерпаемого разнообразия жизни.

При этом возникает этический вопрос: как гарантировать надёжность систем, основанных на бесконечных процессах, в мире, где каждая реализация конечна? Эта дилемма особенно актуальна в кибербезопасности, где ряды применяются для шифрования, и в климатическом моделировании, где расходящиеся approximations могут привести к катастрофическим ошибкам прогнозирования.

Список использованной литературы

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 2005. — 648 с.

  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 2. — М.: Дрофа, 2006. — 720 с.

  3. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Лань, 2021. — 560 с.

  4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Том 1. — М.: Наука, 1990. — 528 с.

  5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — М.: Физматлит, 2003. — 864 с.

  6. Электронный ресурс /Режим доступа:http://www.mathprofi.ru/ryadydlyachajnikov.html

Приложение

Примерприменения,как

инструментавматематическоманализе

Рассмотримтакуютему,какприближениефункций.Рассмотримфункцию:

y=cos(x)

Примердостаточнопростой,ноприэтомонполностьюдемонстрируеткакработаютбесконечныеряды.В данном случае мы будем пользоваться рядом Тейлора. Но сначала давайте сами попробуем сформировать решение для данной проблемы. Представим ситуацию, что вам требуется найти cos(0.1), при этом ника- ких специальных инструментов в виде калькулятора или таблиц Брадиса у Вас нет. Пойдём, как и все математики, в обход, ведь для нас очевидно, что по еденичной окружности подобное значение косинуса будет определить проблематично. Итак. У нас есть гарфик:

y

x

Приближение

Намтребуетсяпредставитьприближениефункциивточкеx=a.

Выводряда

Нашафункцияf(x)=cos(x)бесконечнодифференцируемавлюбойточке:f(x)=cos(x),f′(x)=−sin(x),

f′′(x)=−cos(x)...Тоестьпроизводнаяникогданебудетравнанулю.

Начнёмстого,чтонамнадоопределитьсясмногочленом,которыйможетслужитьприближением

нашейфункциивточкеx=0.Очевидно,чтоизвсехмногочленоввидаP(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn

намрациональнеевсеговзятьмногочленформата

P(x)=a0+ a1x+ a2x2.

Всязадачасводитсяктому,чтонамтребуетсянайтикоэффициентыa,чтобыграфикданногополинома

«сливался»сграфикомкосинусавзаданнойобласти.

Начнём сточкиx=0.Изэтихданныхмыможем определитьзначениеcos(0)=1,следовательно, значениеP(x)=a0+a1x+a2x2вданнойточкедолжноравняться1.Подставивx=0,получим:

P(0)=a0+a1·0+a2·02=a0=⇒a0=1.

Такжемывидим,чтоf′(0)=−sin(0)=0,следовательно,ипроизводнаянашегополиномавданнойточке должнаравнятьсянулю.ДляP′(x)=a1+2a2xприx=0значениепроизводнойзависиттолькоотa1, поэтому a1 = 0.

Остаётсяопределитьa2.Изгибf(x)внизвобластиточкиx=0свидетельствуетотом,чтоf′′(x)<0.

Вычислим:

f′′(x)=−cos(x)=⇒f′′(0)=−cos(0)=−1.

ДляполиномаP′′(x)=2a2,поэтомуприравняемквторойпроизводнойфункции:

1

2a2=−1=⇒a2=−2.

Витогеполучаемприближениевида:

Приподстановкеx = 0.1:

P(x) =1+0x−

1x2.

2

P(0.1)=0.995,

Данный ряд, который мы получим и называется рядом Тейлора, с помощью которого можно раскладывать функции в степенные ряды.

чтоблизкокзначениюисходнойфункции:

f(0.1)=cos(0.1)≈0.9950042...

Такзарождаетсяидеяоприближениифункцийспомощьюформированиястепенныхмногочленов, рассмотрим другой случай.

Что делать, если решение требует больших значений или приближения других функций? Рассмотрим многочлен:

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn;an̸=0.

Намнужнонайтиегоприближениевточкеx−x0.

Представимxкакx=(x−x0)+x0иподставимвмногочлен:

P(x)=a0+a1((x−x0)+x0)+a2((x−x0)+x0)2+...+an((x−x0)+x0)n.

Послераскрытияскобокиприведенияподобныхслагаемыхполучим:

P(x)=b0+b1(x−x0)+b2(x−x0)2+...+bn(x−x0)n.

Заметим,чтоприподстановкеx=x0получимb0=P(x0).

Длянахожденияb1продифференцируемравенство:

P′(x)=b1+2b2(x−x0)+3b3(x−x0)2+...+nbn(x−x0)n−1.

Приx=x0 этодаётP′(x0)=b1.

Взяввторуюпроизводную,получим:

P′′

(x0)=2b2=⇒P

(k)

(x0)=k!·bk=⇒bk=

P(k)(x0)

.

k!

Просмотров работы: 28