XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Этот удивительный квадрат
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Он давно знаком со мной.
Каждый угол в нём – прямой.
Все четыре стороны
Одинаковой длины
Посмотрите, всем он рад.
А зовут его…(Квадрат)
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что свойства квадрата помогают решить множество интересных задач, узнать множество игр. В своей исследовательской работе я рассмотрел творческие задания.
Из исторических источников известно, что древние египтяне и китайцы знали такую геометрическую фигуру как квадрат. Интерес к квадрату объясняется его свойствами, широко используемые в практике: измерение площадей земельных участков, определение расстояния до объекта, в технике архитектурных сооружений и т.д. Современные математики, продолжая традиции древних, не отрывают науку от практики, глубоко разрабатывают ее прикладные стороны. Известно много примеров огромной экономии за счет продуманного изменения раскроя промышленных материалов.
Существует множество геометрических задач, которые невозможно решить, пользуясь только линейкой и циркулем. Поэтому были изобретены методы решения с помощью не традиционных инструментов. Так было предложено выполнять построения перегибанием квадратного листа. Аналогичные построения можно осуществлять и методом разрезания квадрата. На основе этого были придуманы разные головоломки, которые очень популярны среди любителей занимательной математики.
Квадрат – это удивительная фигура, имеющая определенные свойства, которые в школьном курсе геометрии даны поверхностно.
Цель работы - изучение игр, головоломок, связанных с квадратом.
Для достижения цели я поставил перед собой следующие задачи:
1) научиться решать головоломки из квадратов, разрезанных на несколько частей;
2) ознакомиться с играми, связанные с квадратом;
3) составить свои картинки – силуэты из чёрного квадрата Танга;
4) научиться выполнять оригами из квадрата.
Практическое значение моей работы в том, что её можно будет использовать, как дополнительный материал на уроках геометрии. Конструирование фигур из полученных частей является не только полезной геометрической забавой, но имеет и практический смысл: они могут помочь будущим и настоящим новаторам производства в рациональном раскрое материала, в использовании обрезков кожи, ткани, дерева и т.д., для превращения их в полезные вещи.
Игру «Танграм» - можно использовать как одну из форм проверки знаний учащихся, которая в занимательной форме требует проявления таких качеств личности как умение взаимодействовать в группе, сообразительность, проявление волевых усилий в достижении поставленной цели. Она даёт каждому ученику опыт совместной с партнёром деятельности, ощущение значимости своего вклада в общее дело.
Решение задач – головоломок
Составление всевозможных фигур из квадрата остается актуальным и сегодня. В умелых руках самый обыкновенный квадрат становится удивительной геометрической фигурой. Он может, например, весь без остатка превратиться в другую фигуру или в несколько других фигур правильной или неправильной формы. Но для каждого превращения квадрат предварительно должен быть разрезан на отдельные части.
Задачи на разрезания считаются одними из самых увлекательных головоломок в занимательной математике. Многие из задач на разрезание правильных фигур очень красивы, так как наглядно демонстрируют четкие связи между формами и размерами этих фигур, обусловленные их симметрией. В этих задачах требуется разрезать данную плоскую фигуру на части, из которых можно сложить другую, уже заданную плоскую фигуру так, чтобы обе фигуры были равносоставленными, то есть состояли из не перекрывающихся частей без свободных промежутков
Моя работа может заинтересовать учащихся, ее могут использовать учителя при проведении математических конкурсов, для организации игровых моментов на уроке.
ГЛАВА 1
Определение квадрата
*** У квадрата все стороны равны, как и у ромба. Только ещё все углы прямые. Значит, квадрат — это ромб с прямыми углами.
***У квадрата, как и у прямоугольника, все углы прямые. Только ещё все стороны равны. Значит, квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
*** У квадрата, как и у параллелограмма, стороны попарно параллельны. Только все они равны и все углы прямые. Значит, квадрат – это параллелограмм с прямыми углами, все стороны которого равны.
Замечательное свойство квадрата
У квадрата есть интересное свойство. Так, например, если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади, то следует выбрать этот участок в виде квадрата [9].
Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром.
Глава 2
Игра «Танграм»
Но особый интерес представляет черный квадрат Та-нга. Из семи его частей можно составить множество фигур-силуэтов самой причудливой формы.
Вот некоторые из них:
До появления компьютерных игр и бурного развития настольных, одним из основных развлечений для большинства детей и множества взрослых была игра - головоломка «Тан-грам». Базовым элементом танг-рама являются таны, которые получают при разрезании квадрата на семь геометрических фигур. Из них можно сложить большое количество различных фигур (животные, птицы, орудия труда, мебель, предметы быта и т.д.). Игра помогает развивать логическое мышление, геометрическую интуицию.
Буквально слово тан-грам означает «семь дощечек мастерства». Это г оловоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.).
Легенды возникновения игры “Танграм”.
Легенда первая: более 4 тысяч лет назад у одного человека выпала из рук фарфоровая плитка и разбилась на семь частей. Расстроенный, он в спешке старался ее сложить, но каждый раз получал новые интересные изображения. Это занятие оказалось настолько увлекательным, что впоследствии квадрат, составленный из семи геометрических фигур, назвали Доской Мудрости.
Легенда вторая: это было очень давно, почти две с половиной тысячи лет тому назад. У немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по летам. Одно беспокоило старого императора: его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику доставляло огромное удовольствие целый день забавляться игрушками. Император п ризвал к себе трёх мудрецов, один из которых был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. И три мудреца придумали эту игру. Говорят, что это была любимая игра Наполеона [8].
Легенда третья: местом, где была изобретена игра, несомненно, является Китай. Дата создания может быть определенна приблизительно XVIII век. Первой известной древней книгой по танграму является “Собрание фигур из семи частей” (Китай 1803 г.). Издана она была на рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе, были лишь отчасти оригинальны, а в своей основе имели китайские источники.
«В записках покойного профессора Челленора, попавших в руки автора, — утверждал Лойд, — имеются сведения о том, что семь книг о танграмах, каждая из которых насчитывает ровно тысячу фигур, были составлены в Китае более 4000 лет назад. Эти книги ныне стали столь большой редкостью, что за те сорок лет, которые профессор Челленор провел в Китае, ему лишь раз удалось видеть первое издание первого из семи томов (сохранившихся полностью) и несколько разрозненных фрагмента второго тома.
В этой книге связи уместно напомнить, что части одной из книг, напечатанной золотом на пергаменте, были обнаружены в Пекине английским солдатом, продавшим свою находку за 300 фунтов стерлингов одному собирателю китайской старины, который любезно предоставил некоторые наиболее изысканные фигурки для воспроизведения в этой книге».
Согласно легенде Лойда, Тан был легендарным китайским мудрецом, которому его соотечественники поклонялись как божеству. Фигуры в своих семи книгах он расположил в соответствии с семью стадиями в эволюции Земли. Его танграмы начинаются с символических изображений хаоса и принципа “инь и ян”. Затем следуют простейшие формы жизни, по мере продвижения по древу эволюции появляются фигуры рыб, птиц, животных и человека. По пути в различных местах попадаются изображения того, что создано человеком: орудию труда, мебель, одежда и архитектурные сооружения. Лойд часто цитирует высказывания Конфуция, философа по имени Шуфуце, комментатора Ли Хуанчжан и вымышленного профессора Челленора. Ли Хуанчжан упоминается в связи с тем, что по преданию он знал все фигуры из семи книг Тана прежде, чем научился говорить. Встречаются у Лойда и ссылки на “известные” китайские пословицы типа «Только глупец взялся бы написать восьмую книгу Тана».
Правила игры «Танграм»
Для игры квадрат разрезается на семь частей так, как показано на рисунке. При этом получаются два больших равных треугольника, один средний и два маленьких равных треугольника, один квадрат и один параллелограмм. Минимальное количество базовых фигур, равное семи, приводит к гениальной простоте комбинаций. Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Многообразие и различная степень сложности геометрических конструкторов позволяет учитывать возрастные особенности детей, их склонности, возможности, уровень подготовки. Все собираемые фигуры должны иметь равную площадь, так как собираются из одинаковых элементов. Отсюда следует, что: 1) в каждую собираемую фигуру должны войти непременно все семь элементов; 2) при составлении фигуры элементы не должны налегать друг на друга, то есть располагаются только в одной плоскости; 3) элементы фигур должны примыкать один к другому [7].
Познакомившись с задачами-головоломками, я решила использовать некоторые квадраты для составления фигур. Придумала их самостоятельно.
Глава 3
Знакомьтесь, полимино
В 1953 году американский математик по имени Соломон Голомб придумал «полимино»:[6]
Полимино — это геометрические объекты, сделанные путем соединения определенного количества квадратов друг с другом. Полимино – перевод с греч. – «много».
Полимино можно взять за монолитные объекты, которые можно принять за монолитные объекты, которые можно взять и передвинуть.
А игра «Пентамино» очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.
Игровой набор «Пентамино» состоит из 12 фигурок. Каждая фигура обозначается латинской буквой, форму которой напоминает. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать.
Пентамино – это пяти клеточное полимино. Пожалуй, самое интересное полимино.
Игры развивают восприятие формы, способность выделять фигуру из фона, способность к выделению основных признаков объекта, глазомер, воображение, зрительно- моторную координацию, мышление, умение работать по правилам.
Тетрамино
Тетрамино называется полимино, занимающее четыре квадрата. Однако у тетрамино есть другое интересное свойство. Из некоторых элементов пентамино (а именно всех, за исключением I, T, X, V) в сочетании с полным набором можно составить квадрат 5х5. Вот два таких построения:
Глава 4
Стомахион
Историческая справка
Изобрёл эту головоломку величайший учёный древности – Архимед из Сиракуз. В своём трактате «Стомахион» Архимед рассматривал определение количества различных комбинаций, с помощью которых можно было бы собрать квадрат.
Арабский текст этого трактата был обнаружен в 1899 году швейцарским учёным Генрихом Зутером. «Стомахион» был переведен первым исследователем палимпсеста Й.Л.Гейбергом[3]
В декабре 2003 года Билл Катлер с помощью специально разработанной компьютерной программы вычислил количество комбинаций для сборки «Стомахина», их оказалось 536. Если же считать все перевернутые и отраженные к омбинации, то их насчитывается в 32 раза больше -17152.
Головоломка состоит из 14 частей – геометрических фигур (один пятиугольник, два четырёхугольника и 11 треугольников).
Правила игры: в каждом силуэте должны быть обязательно использованы все 14 фигур,
их можно переворачивать любой стороной и прикладывать друг другу вплотную. Нельзя накладывать одну фигуру на другую даже частично. Каждое из изображений можно поместить на отдельной карточке. Выдавая игру, лучше всего одновременно выдавать и карточку, предлагая играющему сложить по ней ту или иную фигуру. В конце игры ребята обсуждают, что видят и рассказывают из каких элементов составлена фигура. (Все детали игры и карточки с силуэтами лучше хранить в специальной коробке (ящике)).
Составление фигур:
Игра «Найди фигуру» Игра «Сложи животное по цифрам»
Игра «Собери фигуру» Игра «Сложи по силуэту»
Игра «Сложи новые изображения» [1], [2]
Эта игра имеет тысячелетнюю историю. Склонность к геометрическим загадкам свойственна людям любого разных эпох и национальностей.
Эта головоломка интересна людям любого возраста, но в первую очередь она приносит огромную пользу детям, поскольку стимулируют образное пространственное и творческое мышление, развивают память, логику и воображение.
«Стомахион» переводится как «приводящая в ярость». ТЕРПЕНИЯ!!!
Глава 5. Оригами
Оригами – удивительное искусство бумажной пластики. Оригами – это японское искусство складывание бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага), («сложенная бумага»). Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.
Загадай желание
Бумажный журавлик оригами тесно связан со страшной трагедией, происшедшей 6 августа 1945 года, когда «люди» решили испытать атомную бомбу на человеке, подписав смертный приговор японскому городу Хиросима. Из 420 тысяч жителей погибло 80, среди которых было много детей. Именно тогда возникла легенда о свободной птице, символе жизни журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы. Сегодня журавлик стал символом исполнения самого заветного желания [9]
Заключение
В результате проведённой работы по теме «Удивительный квадрат» изучена математическая литература и сделан ряд выводов.
1) Квадрат — это неисчерпаемая фигура, применяемая во многих сферах и имеющая свойства, интересные для каждого, кто стремится расширить рамки своих геометрических представлений.
2) Существуют занимательные игры, в которых используется квадрат.
3) Моя работа может заинтересовать учащихся, ее могут использовать учителя при проведении математических конкурсов, для организации игровых моментов на уроке.
4) Упражнения с разрезанием квадрата и конструированием фигур из полученных частей является не только полезной геометрической забавой, но имеют и практический смысл: они могут помочь будущим и настоящим новаторам производства, в рациональном раскрое материала, в использовании обрезков кожи, ткани, дерева и т.д., для превращения их в полезные вещи.
Я разобрал несколько из замечательных головоломок. Танграм может применяться на уроках математики для получения начальных сведений о геометрии. Знакомство с простейшими геометрическими фигурами: квадрат, треугольник, ромб. Сравнение фигур по форме, размеру, площади. Составление из нескольких фигур новой геометрической фигуры. Играя, мы запоминаем названия геометрических фигур, их свойства, отличительные признаки, обследуем формы зрительным и осязательно-двигательным путем, свободно перемещаем их с целью получения новой фигуры. У нас развивается умение анализировать простые изображения, выделять в них и в окружающих предметах геометрические формы, практически видоизменять фигуры путем разрезания и составлять их из частей. Исследовав практическое применение «Танграма», я пришел к выводу, что комбинируя на плоскости элементы разрезанного на части квадрата, можно создавать множество новых фигур, как геометрических, так и жанровых - очертания животных, людей, бытовых предметов и т.д. Эта головоломка развивает умственные и творческие способности, пространственное воображение, комбинаторные способности, логическое мышление, сообразительность, смекалку, а также усидчивость и мелкую моторику, формирует внимательность, упорство в достижении цели, способствует творческому поиску чего – то нового, учит терпению и последовательности.
Мною проведены уроки, на которых я познакомил ребят с этими чудесными головоломками, показал какие можно составить фигурки из черного квадрата и помог сделать аппликацию.
Предмет математики столь серьёзен, что не упускает возможности сделать его более занимательным (Б. Паскаль).
Список использованной литературы
1. Гарднер М., Математические головоломки и развлечения. – М.: Оникс,
1994.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики,
Москва, «Просвещение», 1989.
3. Игнатьев Е.И., «В царстве смекалки». Москва, «Наука», 1978.
4. Леман И. «Увлекательная математика». Москва, «Наука», 1978.
5. Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат – М.: АО
«Столетие», 1994.
6. Кордемский Б.А., «Математическая смекалка», Санкт-Петербург,
«Манускрипт», 1994.
7. Перельман Я.И., «Занимательная геометрия», Москва, издательство
«АСТ», 2003.
8. Квадрат. [Электронный ресурс]/Режим доступа: http https://foxford.ru/wiki/matematika/kvadratiegosvoistva
9. Квадрат. [Электронный ресурс]/Режим доступа:http
https://ru.onlinemschool.com/math/formula/square/
Приложение 1
Практическая часть
В своей работе я провел практическую работу, которая состояла из 5 частей. 1 часть – «Танграм», полимино, стомахион, оригами (принимали участие 27 человек)
2 часть - Квадрат желаний (приняли участие – 34 человека)
Вывод. Эти головоломки очень интересны, и в первую очередь они приносят огромную пользу, поскольку стимулируют образное пространственное и творческое мышление, развивают память, логику и воображение. Все участники остались довольны.
Приложение 2
Зачет «Танграм»
Методика проведения: учащиеся делятся на группы. Каждая группа получает задание разработать макет детской игрушки с заданными параметрами. Эти параметры – функции, графики которых надо построить в одной системе координат. При построении графиков получаются контуры игрушки и они должны с помощью полученных каждой группой танов сложить эти контуры. Все таны должны быть задействованы. Нельзя накладывать их друг на друга.
«Гусь»
|
«Гусь» 1) у = х + 19, -8 < х < 0; 2) х = 0, 16 < у < 19; 3) у = -х + 16, 0 < х < 4; 4) х = 4, 4 < у < 12; 5) у = -х + 8, 4 < х < 16; 6) у = х – 24, 3 < х < 16; 7) х = 8, -16 < у < -8; 8) у = х – 16, 0 < х < 8; 9) х = 0, -16 < у < 11; 10) у = 11, -8 < х < 0. |
«Футболист»
1) у = 2,5х + 21, -2 < х < 0; 2) у = -2/5х + 21, 0 < х < 5; 3) у = 2.5х + 6.5, 3 < х < 5; 4) у = 14, 3 < х < 12; 5) у = х + 2, 9 < х < 12; 6) х = 9, -5 < у < 11; 7) у = -х + 4, 6 < х < 9; 8) у = х – 8 , 1 < х < 6; 9) у = х = 1, -13 < х < -7; 10) у = х –13, -5 < х < 1; 11) у = х – 8, -5 < х < -2; 12) х = -2, -10 < у < -2; 13) у = -2, -2 < х < 0; 14) у = -х -2, -2 < х< 0; 15) у = 0, -8 < х < -2; 16) х = -8, 0 < у < 6; 17) -8 < х < -6, у = -х -2; 18) у = 4, -6 < х < 0; 19) у = -х + 4, 0 < х < 1; 20) у = х + 2, 1 < х < 4; 21) у = -х + 10, -4 < х < 4; 22) у = 14, -4 < х < 3. |
Приложение № 3