XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Теорема Вариньона как альтернативный способ решения геометрических задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кудашкина В.В. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Гречушкина О.М. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Работа в формате PDF

225.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у нас занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. Параллелограмм Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности.

Цель работы: показать, что теорема Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач.

Актуальность и новизна работы состоит в том, что область применения теоремы Вариньона не раскрыта в школьных учебниках и не показана её роль в решении задач.

Задачи работы:

1. Рассмотреть доказательство теоремы Вариньона для различных видов четырёхугольников (выпуклого, вогнутого, пространственного).

2. Продемонстрировать применение теоремы Вариньона для решения важных планиметрических задач.

Методы исследования:

1. Анализ, синтез.

2. Моделирование.

Практическая и теоретическая значимость работы состоит в том, что данное исследование можно использовать при проведении уроков, кружков, факультативов, подготовке к олимпиадам и экзаменам. Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект.

Основные теоретические сведения.

1.1.Определение.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону, написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема

впервые и появилась.

Вариньон Пьер  (1654–1722)

Французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и  Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены

теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли.

1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC . Следовательно, KL ║NM и KL= MN= AC/2 . таким образом, KLMN  - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника ABCD.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

Теорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

1.3.1. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны;

б) бимедианы равны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

 Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а) диагонали равны и перпендикулярны;  б) бимедианы равны и перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

1.3.2. Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

LQ║ CD║ PN и PL║ AB║ NQ.

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

1.3.3. Следствие 3.(теорема Эйлера).

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть .

Доказательство.

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм.

Поэтому ;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQимеем:

Кроме того, .

Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.

1.3.4.Следствие 4.(Теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Доказательство.

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

Разбор задач.

2.1.Задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

Задача 1.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, а);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, а);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, б).

Задача 2.

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+ b .

2.2. Конкурсные задачи.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 3.

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Решение.

;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то 

Отсюда получаем,что

что и требовалось доказать.

Задача 4. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий. 

Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

Заключение.

В процессе исследования я узнала о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрела доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников. Я показала, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировала применение теоремы; убедилась в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнала много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Таким образом, я считаю, что цель работы достигнута.

Мое исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира. В дальнейшем я планирую поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников.

Библиографический список:

1. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006.

2. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.

3. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л.– М.: Просвещение.

4. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / – М.: Просвещение.

5. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение.

6. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.: наука.

7. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.

8. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука.

9. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/ Пьер Вариньон.

Приложение

ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ РЕШАЮТСЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ

ТЕОРЕМЫ ВАРИНЬОНА.

Задача 1. В выпуклом шестиугольнике середины сторон соединены через одну. Доказать, что центры тяжести двух образовавшихся треугольников совпадают.

Задача 2. Докажите, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей четырёхугольника ABCD.

Задача 3. Докажите, что средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 4. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии четырёхугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей? (Ответ: верно).

Задача 5. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60°. Найдите диагонали четырёхугольника. (Ответ: ).

Задача 6. Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Задача 7. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Задача 8. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Задача 9. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

Задача 10. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Задача 11. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Задача 12. В четырёхугольник ABCD вписывают всевозможные параллелограммы, стороны которых параллельны диагоналям четырёхугольника. Какой из этих параллелограммов имеет наибольшую площадь? (Ответ: параллелограмм Вариньона).

Задача 13.Внутри четырёхугольника ABCD, имеющего площадь S, берётся точка E и отражается относительно середин всех его сторон. Получается новый четырёхугольник A₁B₁C₁D₁. Докажите, что SA₁B₁C₁D₁=2S .

Задача 14.В четырёхугольнике ABCD отмечены точки E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно. Докажите, что S_ELFN<1/2 S_ABCD.

Задача 15. Докажите, что средние линии четырёхугольника ABCD и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 16. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Задача 17. Восстановите пятиугольник по серединам его сторон.

Задача 18. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Задача 19. Восстановите параллелограмм по серединам его сторон.

Задача 20. Докажите, что точка пересечения средних линий четырёхугольника есть центроид системы четырёх точек, лежащих в его вершинах.

Задача 21. При последовательном соединении середин сторон трапеции получился квадрат со стороной а. Найдите площадь трапеции (Ответ: 2а²).

Задача 22. Даны трапеция ABCD и точка Е на её средней линии. С помощью одной линейки постройте параллелограмм Вариньона для трапеции ABCD.

Задача 23. Вершины четырёхугольника являются серединами сторон ромба со стороной, равной 4, и углом 120°. Определите вид четырёхугольника и найдите его площадь. (S= ).

Задача 24. Восстановите (2n+1)-угольник по серединам его сторон.