XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Фигуры, которые можно начертить одним росчерком и их «тайны»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Багмут М.М. 1

---

1tygyula@mail.ru

Николаева О.В. 1

---

1МБОУ гимназия "Эврика" им. В.А. Сухомлинского

Работа в формате PDF

657.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Исследовательская работа «Фигуры, которые можно начертить одним росчерком и их тайны» посвящена одному виду занимательных задач. А что такое построить фигуру одним росчерком? Это способ начертить фигуру непрерывной линией, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя по одной линии дважды.

Актуальность этой темы очевидна: подобные задания - это не только увлекательная игра, но и невероятно полезное занятие. Попытки вычерчивания (я их вычертила больше 100) привели к разным результатам: некоторые фигуры удалось вычертить легко; над другими надо было поломать голову; третьи вообще не поддавались вычерчиванию. В чём дело? В чём отличие этих фигур? Эти вопросы для меня стали интересными. Так определилась тема моего исследования. Тема позволила определить проблему.

Проблема: существуют ли правила, которые помогут определить имеет задача решение или нет?

Цель: в ходе исследования найти правила и научиться применять эти правила для того, чтобы определить имеет задача решение или нет. Научить одноклассников решать такие задачи.

Задачи:

1) Найти по какому признаку отличаются фигуры, которые можно начертить одним росчерком или нельзя;

2) Сделать выводы и открыть тайны фигур, которые можно и нельзя начертить одним росчерком;

3) Научиться систематизировать фигуры, используя эти правила;

4) Выводы исследования использовать при решении головоломок и задач.

Исследование создаёт новое знание.

Нил Армстронг

1.Теоретическая часть.

1.1. Вывод правил для определения - можно ли фигуру вычертить одним росчерком или нет.

Исследование я начала с попытки вычертить простые фигуры непрерывной линией. В математике точки фигуры называются вершинами. Вершины, в которых сходятся две, четыре, шесть и вообще четное число линий называются – чётными вершинами, если нечетное число линий – нечётными вершинами.

а )

б )

в )

г )

д )

е )

Фигуру, под буквой a), мне удалось вычертить легко, но начинать нужно рисунок только с нечётной вершины, т.е. с точки, в которой сходятся три линии и заканчивать тоже в нечётной вершине. Фигуры, под буквой б) – «домик» и под буквой в) – «открытый конверт», тоже получилось нарисовать одним росчерком, начиная и заканчивая в нечетных вершинах. Фигуру под буквой г) – «закрытый конверт», не удалось начертить, хотя время потратила немало. Фигуру, под буквой д), тоже получилось построить без проблем.

В учебнике Математика 2 класс часть 2, стр. 32 №9 автор Г.В. Дорофеев встретилась задача: «Попробуй начертить фигуру под буквой е) одним росчерком, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды». Это оказалась удивительная фигура, поскольку начинать движение можно с любой

вершины и каждый раз получается начертить её одним росчерком. Почему при выполнении этих заданий результат оказался разным? Значит, фигуры отличаются друг от друга. Тогда, в чём различие этих фигур?

Первое предположение: можно предположить, что результат зависит от количества линий в фигуре? Посмотрим на количество линий в фигурах:

Фигуры б) и г) имеют одинаковое число линий, но фигуру б) - «домик» получилось начертить одним росчерком, а фигуру г) – «закрытый конверт» нет. Значит, это предположение оказалось неверным.

Второе предположение: возможно результат зависит, каким путём идти по фигуре и в каком направлении?В фигуре е) движение можно начинать с любой вершины и в любом направлении и нарисовать её одним росчерком. В фигуре г) откуда бы мы ни начали чертить и в каком направлении - задача оказалась неразрешимой.Значит, и это предположение оказалось тоже неверным.

Третье предположение: возможно, всё зависит от того сколько нечётных вершин содержит фигура? Чтобы фигуру начертить одним росчерком, нужно, чтобы из вершины выходило чётное число линий по «одной входим в точку», а по другой «выходим», иначе черчение линии оборвётся. Исключение составляют начальная и конечная точки пути, из которых может выходить нечётное число линий, но таких точек может быть не больше двух. Составим таблицу, проверим предположение на наших фигурах.

Из таблицы видно, что те фигуры, которые содержат не более двух нечётных вершин, можно построить одним росчерком. Это фигуры - а), б), в), д), е).

Я выяснила, что фигуры, которые можно построить непрерывной линией, называются эйлеровыми, в честь ученого Леонарда Эйлера. При исследовании мной вопроса: в чем различие фигур, которые можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, а какие нет, я пришла к выводу, что всё зависит от того какие вершины по чётности имеет фигура и сколько нечётных вершин. Эти правила можно применять к любой фигуре, образована она прямыми линиями или кривыми линиями на плоскости. Первым сформулировал эти правила Леонард Эйлер – швейцарский и российский математик. Правила такие:

1. Если все вершины фигуры чётные, то фигуру можно начертить одним росчерком, и начинать движение можно с любой точки.

2. Если фигура имеет две нечётные вершины, то её тоже можно начертить одним росчерком. При этом движение нужно начинать от любой нечётной вершины, а заканчивать на другой нечётной вершине.

3. Если в фигуре нечётных вершин больше двух, то такую фигуру одним росчерком начертить нельзя.

1.2. Алгоритм действий, для черчения фигур одним росчерком следующий:

1) Сначала надо посчитать, сколько линий выходит из каждой вершины, то есть определить четность вершин.

2) Найти число получившихся нечётных вершин: если нечётных вершин две, значит надо начинать с одной из этих вершин – только она может быть началом или концом росчерка; если нечётных вершин больше двух, то начертить такую фигуру нельзя.

Например, используя алгоритм, рассмотрим фигуры и определим можно их начертить, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя одну линию дважды, или нет.

Решение:

а) Да, так как все вершины чётные.

б) Да, так как нечётных вершин только две.

в) Нет, так как нечётных вершин четыре (больше двух).

Вывод: Итак, тайны и секреты эйлеровых фигур - открыты. Теперь решение задачи можно найти буквально за минуту или определить, что задача не имеет решения.

Практика – это подтверждение теории.

2. Практическая часть.

2.1. Применение выведенных правил при решении сюжетных задач.

Существуют задачи, решить которые можно лишь с помощью рисунка одним росчерком пера. Я нашла такие задачи, они оказались очень интересными и могут встретиться на математических олимпиадах. Я их попробовала решить.

Задача 1. «Тропинки в садах». В саду Александра Ивановича тропики проложены, как показано на рисунке 1, а у Бориса Борисовича как показано на рисунке 2. Кто из них может пройти все тропинки, проходя по каждой только один раз?

рис.1 рис.2

Решение: Александр Иванович может пройти все тропинки, поскольку тропинки в его саду образуют фигуру, все вершины которой чётные.

Задача 2: из рубрики математические олимпиады. Почтальон Печкин разнёс почту во все дома деревни. После чего зашёл к дяде Фёдору выпить молока. На рисунке показаны все тропинки, которые проходил Печкин, причем, ни по одной из них он не проходил дважды. В каком доме живёт дядя Федор?

Задача 3: Хулиган Вася. Хулиган Вася решил прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы при этом перелезть через каждый забор один раз. Сможет ли он это сделать?

Делиться знаниями - это полезно!

2.2. Делюсь с одноклассниками знаниями о фигурах, которые можно построить одним росчерком.

2.2.1. Анкетирование одноклассников.

Узнав много интересного о фигурах, которые можно построить одним росчерком, мне захотелось понять: а что знают ребята моего класса об этом. В связи с этим, мной было проведено анкетирование. Я предложила ребятам следующие 4 вопроса:

1) Знакома ли вам игра, где нужно нарисовать фигуру, не отрывая карандаш от бумаги и, не проводя по линии дважды? а) да б) нет

2) Как вы думаете рисование фигур одним росчерком это задача сложная?

а) да б) нет

3) Как вам кажется, какие качества характера развивает решение таких задач?

Нужное подчеркнуть:

а) внимание б) терпение в) память г) сообразительность.

4) Хочется ли тебе научиться решать такие задачи – рисовать фигуры одним росчерком? а) да б) нет

Результаты анкетирования одноклассников (приложение №1).

2.2.2. Рисование одноклассниками фигур одним росчерком.

Сначала я предложила им фигуры, которые надо нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, но правила Эйлера пока им не открыла. Хотелось узнать, сколько старания, терпения, смекалки, а главное время, потратят ребята.

1) Построить простейшие фигуры, одним росчерком пера: треугольник, квадрат, круг, звезда.

2) Начертите фигуры одним росчерком. Покажите, стрелочками как вы это делали.

Результаты построения одноклассниками фигур одним росчерком (приложение №2).

2.2.3. Тест по теме: «Проверка умения учащихся определять эйлерова фигура или нет».

Познакомила учащихся с алгоритмом действий, для рисования фигур одним росчерком. Зная правила Эйлера, будет нетрудно определить - какую из фигур можно вычертить одним росчерком без повторений, а какую нет.

Результаты теста «Проверка умения учащихся определять эйлерова фигура или нет» (приложение №3).

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Н. Е. Жуковский

2.3. Рисунки одним росчерком в повседневной жизни.

Я часто вспоминаю, с каким усердием и старанием писала первые слова, не отрывая пера от бумаги. Как это было трудно – написать целое слово ни разу не приподняв ручку над тетрадью. А ведь это были простые, но самые главные в жизни слова МАМА и РОДИНА

Зато мы с удовольствием чертили каракули, загогулины и это получалось просто замечательно! Правда мы не знали, что кто-то найдёт совсем иное применение «письма без отрыва» и детским каракулям и получит картины -маленькие шедевры. И главное невозможно ошибиться! Любая ошибка – это просто твой стиль. И, никто больше не скажет: «У меня не получится».

Рисовать может каждый – главное, верить в свой росчерк!

Техника одного росчерка пера – это способ создать красивые рисунки и для ковров. Узор начинается в углу ковра и состоит из многочисленных линий, завитушек, – которые заполняют всю поверхность изделия.

Вывод:

Техника одного росчерка пера - это и первые слова в тетради, и красивые картины Пабло Пикассо и Анри Матиса, портреты по спирали Чен Хви Чонга, и картина в картине Pierre Emmanuel Qodet, подписи, логотипы, шаблоны для росписи по стеклу, ковровый орнамент, схемы для вышивки, открытки, плакаты и т.д.

Главное наслаждаться процессом и не бояться ошибок. Как говорил Антуан де Сент-Экзюпери: «Каждый человек творец, важно лишь найти своё полотно»

3. Заключение.

В результате исследовательской работы я узнала, что есть такие задачи по математике, как построение фигур одним росчерком. Важность таких задач в том, что их решение помогает развивать – внимательность, воображение, логическое мышление. Я научилась анализировать, выдвигать гипотезы, делать выводы. Полученные знания могут быть использованы при решении олимпиадных задач.

В ходе выполнения своей работы «Фигуры, которые можно начертить одним росчерком и их тайны» я открыла «тайны» фигур, которые можно построить одним росчерком; а также сформулировала алгоритм действий, для рисования фигур одним росчерком. Эти правила легли в основу моей работы. Разобрала решение различных видов сюжетных задач, с использованием этих правил.

Какую бы область человеческой жизни мы не затрагивали, в этой жизни обязательно находилась проблема или задача, решаемая с помощью фигур, изображаемых с помощью одного росчерка. Этот метод прост и удобен, поэтому так распространён.

Задачи на построение фигур одним росчерком могут быть полезны в каллиграфии, в рукоделии - при создании вышивок, рисунков на ткани или создания узоров для ковров, при создании логотипов многих компаний. В искусстве - художники создают шедевры, рисуя картины не отрывая карандаш от листа бумаги.

Мне есть чем поделиться с одноклассниками, я обязательно сделаю презентацию и выступлю перед ними. Я думаю, что этот материал будет интересен моим любознательным одноклассникам.

Работа окончена. Планы на будущее? Я вижу продолжение своей работы в другом виде занимательных задач, которые основаны на логике и смекалке.

Приложение № 1

Анкетирование одноклассников.

Приложение №2

Рисование фигур одним росчерком

Приложение №3

Тест по теме:

«Проверка умения учащихся определять эйлерова фигура или нет»

4. Список литературы.

1. Витебский Государственный Университет им. П.М. Маширова. Генцелева, Шлупаков. Факультативное занятие для 5 класса. Задачи Васи Задачки на вычерчивание фигур без отрыва карандаша от бумаги.

2. Задачи для внеклассной работы по математике в 5-6 классах. Составитель В.Ю. Сафонова М.; МИРОС, 1993.-72с. стр19-20, №15-19 .

3. Математика: 2 класс: Учебник для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч.1 /Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова, Т.Б. Бука/ – 2изд – М.: Просвещение,

2024. - 122с., стр.32, №9.

4. Перельман Яков Исидорович. Одним росчерком: Вычерчивание фигур одной

непрерывной линией. /Сост. Я.И.Перельман; Дом занимательной науки.

-Ленинград:1940.

5. Рисунок линией – без lift Puzzle.

Draw Single line - простая игра – головоломка, в которой нужно полностью нарисовать рисунок одним непрерывным движением.

6. И. Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. - 95с.: стр.23-25, №83 -№86.