XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Как появились основные математические действия
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Уже несколько тысяч лет назад древние греки изучали математику, чтобы познать мир, а древние египтяне - чтобы измерять земельные участки.
В настоящее время математика окружает нас повсюду: на работе у родителей, у детей в школе, на экранах смартфонов и компьютеров.
Кстати, а что означает это слово - математика? Из древнегреческого языка ("мантенеин"), означает в переводе: "учиться, приобретать знания". Математика приглашает в свое королевство всех, кто настойчив, кто часто говорит "почему?", кто не боится цифр и вычислений, и чей девиз: Хочу все знать!».
1. Актуальность темы:
Тему для своей работы я выбрал не случайно. Она актуальна для всех школьников. Ведь всем нам предстоит пройти путь в математике от простого к сложному, от решения простых математических примеров до решения тригонометрических задач и нахождения логарифмов.
Меня заинтересовало – откуда появились самые простые математические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Ведь сейчас, благодаря им, человечество имеет возможность изменить окружающий мир и решить загадки Вселенной.
2. Цель и задачи работы:
Целью моего исследования было попытаться найти ответ на вопрос – откуда появились первые математические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Задачей моего исследования было ознакомиться с историей возникновения основ математики.
3. Объект и предмет работы:
Объектом моего исследования является математика.
Предмет исследования – простейшие математические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
4. Гипотеза:
В результате взаимодействия с окружающим миром, человек придумал математику и сделал ее своим помощником в познании окружающего мира.
5. Методы исследования:
Изучение и анализ различных источников по выбранной теме.
6. Практическая значимость:
Практическая значимость проекта заключается в том, что в результате проведенного исследования будет установлена способность человека описывать количественные характеристики окружающего мира.
Глава 1. История возникновения математики
История математики берет свое начало в древнейшие времена, когда человек активно осваивал окружающий мир, накапливал фактический материал и преумножал жизненный опыт.
Очень долго счет у древних людей был простым, и осуществлялся с помощью палочек, камней и пальцев. Постепенно к первобытному человеку пришло понимание того, что число можно отделить от его конкретного представителя. Древние люди сумели понять, что два яблока и два камня, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека. Так постепенно сформировалось понятие о натуральных числах, а к концу VII-V веков до нашей эры - и другие основные постулаты математики.
Еще в глубокой древности, задолго до наступления нашей эры, были сформулированы три основных понятия математики: число, величина и геометрическая фигура.
В процессе тщательного счета и упорядочивания убитых на охоте зверей, сделанных горшков в мастерской, собранного урожая, возникло понятие натурального числа, как количественного, так и порядкового. В результате сравнения масс и объемов разнообразных сосудов и предметов, человек пришел к пониманию понятия - величина.
Вследствие изучения форм изделий и предметов, зданий и земельных участков и т.д., люди сформировали понятие геометрической фигуры, являющейся частью геометрического (буквально означает — измерение земли) пространства, сформированные абстрактные понятия были введены в арифметические действия над натуральными числами.
Спустя некоторое время была установлена связь между натуральными числами и величинами, в результате чего появились дробные числа. Они получались в случае, когда результат измерений не выражался натуральным числом. Постепенно, путем наблюдений и простейших логических рассуждений, люди пришли к простым, но гениальным по своей сути формулам для вычисления геометрических величин — длин, площадей, объемов.
Цифры – условные знаки для обозначения чисел. Первые цифры появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита.
В средние века в Европе пользовались системой римских цифр (I, II, III, IV, V, VI и т. д.), основанной на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500.
Современные цифры (арабские) перенесены в Европу арабами в XIII веке (по-видимому, из Индии) и получили широкое распространение со второй половины 15 века. В узком смысле слова цифрами называются знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Наиболее ценный вклад в становление математики внесли ученые Древней Греции. Главным достижением математической мысли того времени является становление и развитие понятия о доказательстве. В данный период развития цивилизации ученые стремились к четкому, последовательному и логическому построению своих мыслей.
Древние греки строго выстраивали свои мысли и высказывания, в результате чего переход от одного смыслового звена к следующему не допускал места сомнениям, был неоспорим, и заставлял всех принимать его без спора. Такой метод логических рассуждений получил название дедуктивного.
Пифагор, живший более 2500 лет назад, первым описал связь между сторонами прямоугольного треугольника – формулу, которую знают даже те, кто не дружит с математикой. С тех пор человечество шаг за шагом погружалось в мир чисел.
Глава 2. Применение математики
Во-первых, она нужна нам при планировании своего времени, для распорядка дня. Во-вторых, нужно уметь строить бюджет своей семьи и знать, сколько нужно денег для оплаты ЖКХ, продуктов, проезда и пр. Интересно, останется ли детям на игры, игрушки и развлечения?
Математика необходима в любой профессии.
Вот строители строят дом. Надо уметь измерять высоту, ширину, длину предметов? Надо. Надо уметь вычислять размеры дверей, окон, комнат, квартир? Надо. Как подсчитать количество нужного строительного материала, если не знаешь математику? Никак! Математику применяли ещё задолго до нашей эры. В Древнем Вавилоне при помощи математических расчётов строили водопроводы и подавали в дома воду. В Древнем Египте по математическим расчётам строили пирамиды.
Математика в кулинарии имеет большое значение, так как для приготовления любого блюда должен соблюдаться рецепт.
В рецепте указывается точное соотношение продуктов, которое необходимо соблюдать в процессе приготовления. При взвешивании продуктов в кулинарии используются математические величины масса и объём. Ими тоже необходимо уметь пользоваться.
Математика в торговле важнее всего. Работники торговли должны хорошо знать числа, уметь их складывать и вычитать, умножать и делить. С помощью математических вычислений продавцы считают стоимость приобретённого покупателем товара, отсчитывают сдачу. Например, в парке развлечений продают билеты на аттракционы, без знаний математики можно остаться и без билетов, и без денег.
Прежде чем сшить одежду, необходимо снять все мерки с человека, и тут не обойтись без математики. Сантиметровой лентой нужно сделать замеры (длину рукавов, ширину, длину костюма или платья и другое), записывая их в тетрадь. Потом по журналу мод нужно выбрать фасон одежды, и по ранее замеренным цифрам мерки рассчитать и начертить выкройку.
Токарь изготавливает детали на станке. Ему обязательно нужно соблюдать размеры детали, строго выдерживать точность обработки, уметь производить измерения штангенциркулем и другими инструментами, более сложными и точными.
Плотник должен уметь измерять длину рулеткой или складным метром, измерять углы транспортиром или столярным угольником, проводить параллельные прямые и т. д.
Фармацевт готовит лекарства, а для этого он должен уметь рассчитывать дозы того или иного лекарственного компонента, точно производить взвешивания ингредиентов. Ведь от того, насколько правильно приготовлено лекарство, зависит жизнь человека.
Глава 3. Как появились основные математические действия
Сложение
Еще в древности люди научились считать предметы, называя число их по порядку: 1, 2, 3... Но сущность счета не только в том, чтобы называть по порядку числа, но и в присчитывании, т. е. в прибавлении единицы к первоначальному числу, затем еще одной единицы, затем еще одной и так далее.
Овладение счетом требует умения прибавлять единицу к любому числу и к полученному от этого сложения числу снова прибавлять единицу и так далее.
Итак, сложение числа с единицей возникло с появлением счета. В дальнейшем сложение двух чисел выразилось в присчитывании к данному числу по одному всех единиц второго слагаемого.
Сотни лет люди древнего мира выполняли сложение, присчитывая к первому данному множеству предметов по одному предмету, взятому из второго множества, до тех пор, пока все предметы второго множества не будут исчерпаны.
Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно, с помощью каких-либо предметов — пальцев, камешков, ракушек, бобов и пр., а позже на специальных приборах — счетной скамье, абаке, счетах.
Только после того как числа стали записывать цифрами, подобно тому, как это делаем мы, индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числа палочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную доску. Цифры, изображенные на песке, легко было стирать, а на их месте записывать другие.
В Древней Индии было принято записывать слагаемые в столбик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сложение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее записанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.
Индийский прием сложения позаимствовали математики Среднего и Ближнего Востока, а от них в начале IX века он перекочевал в Европу.
В начале XV века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова «плюс»(в латинском алфавите — Р), которое означало «сложить». К концу того же века отдельные математики стали обозначать сложение знаком «+», который вскоре получил всеобщее признание. Это быстрое признание нового знака произошло, видимо, потому, что его начертание напоминает сложение двух палочек.
Однако изобретение особых знаков для обозначения арифметических действий нельзя полностью приписывать только европейским математикам. Еще древние египтяне обозначали сложение особым знаком — рисунком шагающих ног.
Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII века, а понятие «сумма» получило современное толкование только в XV веке До этого времени оно имело более широкий смысл — суммойназывали результат любого из четырех арифметических действий.
Вычитание
В Древней Индии вычитание чисел выполняли способом отсчитывания от уменьшаемого по одному, пока не получится вычитаемое. Например, вычитая от девяти пять, считали: «Девять без одного — восемь, девять без двух — семь, девять без трех — шесть, девять без четырех — пять, девять без пяти — четыре. Все единицы вычитаемого (пять) исчерпаны, следовательно, 9-5 = 4».
Индийские математики выполняли вычитание больших чисел способом, похожим на сложение. Они начинали вычитание с наивысших разрядов, причем те цифры, от которых приходилось «занимать» единицу, чтобы раздробить ее в десяток низших разрядных единиц, они стирали и записывали на место стертой новую, на единицу меньшую цифру. Для них это было удобно, так как в Индии черновые вычисления выполняли на доске, посыпанной песком.
Индийский способ вычитания переняли арабы. Но они не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. Это было очень неудобно. Тогда арабские математики, используя тот же прием вычитания, стали начинать действие с низших разрядов, т. е. разработали новый способ вычитания, сходный с современным.
Для обозначения вычитания в III веке до нашей эры в Греции использовали перевернутую греческую букву «ф». Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой «м», начальной в слове «минус».В XVI веке для обозначения вычитания стали применять знак « - ». Вероятно, этот знак перешел в математику из торговли. Торговцы, отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного из бочки вина.
Знак равенства « = » впервые введен английским учителем математики Р. Рикоррдом в XVI веке Он пояснял: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Но еще в египетских папирусах встречается знак, который обозначал равенство двух чисел, хотя этот знак совершенно не похож на знак « = ». Названия уменьшаемоеи вычитаемоепоявились в Европе только в XVIII веке.
Умножение
Умножение — это особый (частный) случай сложения нескольких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять 20 не только как 10+10, но и как два десятка, т. е. 2 х 10, 30 — как три десятка, т. е. три раза повторить слагаемым десяток—3- 10 — и так далее.
Умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения.
Этот прием применялся на практике продолжительное время.
В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения — «предками» современных.
В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении.
Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме.
Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой.
В Европу индийский способ умножения пришел через арабов. Только в XV веке европейские математики отказались от перечеркивания неточных цифр и стали начинать умножение с низших разрядов. Европейскими математиками было разработано около десятка различных вариантов приема умножения, например умножение «решеткой» и другие.
В Европе продолжительное время произведение называли «сумма умножения».
Для обозначения действия умножения одни из европейских математиков XVI веке употребляли букву «М», которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение, умножение, — «мультипликация». В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком — «х», а иные употребляли для этого точку. В XVI—XVII веках для обозначения действий применяли различные символы — единообразия в их употреблении не было. Только в конце XVIII века большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения «х» и знак равенства «=» стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646— 1716).
Деление
Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить. Вычитание из натурального числа можно выполнить лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Деление же без остатка выполнимо только для некоторых чисел, причем узнать, делится ли одно число на другое, трудно. Помимо того, есть числа, которые вообще нельзя разделить ни на какое число, кроме единицы. Делить на нуль нельзя. Эти особенности действия значительно усложнили путь к уяснению приемов деления.
В Древнем Египте деление чисел выполняли способом удвоения и медиации, т. е. делением на два с последующим сложением отобранных чисел. Например, чтобы разделить 60 на 12, египетские математики поступали так: 60:12
1—12*
2 — 24
4 — 48*
8 — 96
(т. е. составляли табличку, в которой делитель (12) сначала удваивали, затем учетверяли и т. д.). Из второго столбика отбирали числа, которые в сумме составляли делимое. Строки с этими числами — первую и третью (1 — 12 и 4 — 48, так как 12 + 48 = 60) отмечали особым значком (здесь они отмечены звездочкой). Отмеченные числа складывали и получали ответ: 1 + 4 = 5, так как 12 + 48 = 60. Следовательно, 60 : 12 = 5.
Математики Индии изобрели способ «деление вверх». Они записывали делитель под делимым, а все промежуточные вычисления — вверху над делимым. Причем те цифры, которые при промежуточных вычислениях подвергались изменению, индийцы стирали и на их место писали новые.
Позаимствовав этот способ, арабы в промежуточных вычислениях стали цифры перечеркивать и надписывать над ними другие. Такое нововведение значительно усложнило «деление вверх». Запись деления получалась очень громоздкой и для многих непонятной (поэтому мы его здесь не приводим). Даже знающие люди допускали при таком способе деления ошибки.
Способ деления, близкий к современному, впервые появился в итальянской рукописи 1460 г. Этот способ отличался от современного лишь тем, что остаток при вычитании частичного произведения делителя на отдельные разряды частного записывался дважды. Вот, например, как делили числа в XV—XVII веках
6912:27
делимое 6912 256 частное
делитель 27 (27-2; 69-54= 15,
сносим 1, будет 151)
151
Делитель 27 (27-5; 151-135=16
и снесли 2)
162
делитель 27 (27-6=162.
Остатка нет)
Потребовалось около трех веков, чтобы указанный способ деления был окончательно усовершенствован и в современном виде принят всеми математиками мира.
Попыток усовершенствовать деление было сделано немало, и поэтому приемов деления существовало около десятка.
На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком — его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление начальной буквой из названия этого действия. Арабы ввели для обозначения деления черту. Черту для обозначения деления от арабов перенял в XIII в. итальянский математик Фибоначчи. Он же впервые употребил термин «частное».
Знак двоеточия «:» для обозначения деления вошел в употребление в конце XVII века.
Вывод
В результате своей научно-исследовательской работы я узнал, как появились основные математические действия.
Сама жизнь заставила людей научиться заниматься счетом и вычислением. Со временем накопленные знания были приведены в четкую систему, благодаря чему человек смог вычленить особые понятия, методы и способы решения трудных задач, которые впоследствии легли в основу современной математической науки.
Математика нужна всем людям на земле. Без математики невозможно построить дом, сосчитать деньги в кармане, измерить расстояние. Если бы человек не знал математику, он бы не смог изобрести самолёт, автомобиль, стиральную машину, холодильник, телевизор. Математика позволяет человеку думать. Математика нужна в каждой профессии, она нужна в повседневной жизни.
А основные математические действия математики стали тем фундаментом, на котором сейчас развивается современная наука. Науки, которая сегодня отправляет космические миссии на Луну и Марс, создает искусственный интеллект и роботов.
Список использованных источников и литературы
1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Математика
2. . https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Архимед
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Знак_умножения
5. https://ru.portal/shkola/matematika
6. https://ru.multiurok.ru/blog/istoriia-razvitiia-matematiki