XXV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Большие числа

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Тонн Ф.Д. 1

---

1МБОУ СОШ №48

Максименко В.Н. 1

---

1МБОУ СОШ №48

Работа в формате PDF

174.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Если спросить: «Какая самая большая цифра?», то умный человек скажет: «9», и это будет правильно.

А можно ли ответить на вопрос: «Какое число самое большое?». Мы уже знаем, что множество натуральных чисел бесконечно. И при этом в современном мире мы ежедневно сталкиваемся с огромными числами.

В информационных технологиях объёмы информации поражают воображение, в космосе расстояния кажутся бесконечными, а в квантовой физике частицы невероятно малы. Но как понять и работать с такими величинами? Многие из нас не могут интуитивно оценить их масштаб, что затрудняет применение в науке, экономике и повседневности.

Как же эффективно обращаться с этими числами, систематизировать их и сделать более понятными? Этот вопрос становится всё более актуальным в эпоху стремительного развития технологий и науки. В мире больших данных, криптографии, сложных систем и космических исследований умение оперировать огромными числами приобретает ключевое значение. Кроме того, понимание этих величин важно для финансовой грамотности, оценки глобальных рисков, таких как климатические изменения, и осознания масштабов времени в истории и эволюции.

Проведя опрос в своём классе на тему больших чисел, мы выяснили, что данная тема интересна 30% моих одноклассников.

Изучение больших чисел расширяет наше математическое мышление и помогает лучше понять мир вокруг, поэтому я считаю эту тему актуальной и интересной для исследования.

Объект исследования: большие числа в математике.

Предмет исследования: свойства, применение и методы работы с большими числами, включая их представление, сравнение и использование в различных областях математики и науки (например, в теории чисел, комбинаторике, астрономии и информатике).

Методы исследования:

1) теоретический анализ научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет, систематизация полученной информации, обобщение выводов;

2) опрос.

Основная часть

1. Знаки сравнения

Но чтобы перейти к большим числам, нужно разобраться со знаками, все мы знаем знаки > (больше), < (меньше), но есть знаки >> (гораздо больше) << (гораздо меньше), это достаточно условное обозначение, но их удобно использовать.

Например:

а) 1000 000 >> 10;

б) 0,0001 << 10;

в) 5 ∙ 10⁸ >> 5 ∙ 10².

А сейчас приготовьтесь, есть знаки >>> (несравнимо больше) <<< (несравнимо меньше), мы используем эти знаки, чтобы указать, что в рамках этих чисел не хватит никаких знаков и чисел, чтобы достичь другого, которое несравнимо больше. 

2. Не очень большие числа

Какие числа самые большие? Все знают миллион (10⁶) и миллиард (10⁹), возможно, кто-то знает триллион (10¹²). А что дальше?

Квадриллион (10¹⁵) -1 000 000 000 000 000

Квинтиллион(10¹⁸) -1 000 000 000 000 000 000

Секстиллион (10²¹) -1 000 000 000 000 000 000 000

Септиллион (10²⁴) -1 000 000 000 000 000 000 000 000

Октиллион (10²⁷) -1 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Нониллион (10³⁰) -1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

И так далее до дуотригинтиллион (10⁹⁹), а дальше идёт число, которое было открыто в 1938 г. Достаточно известным на тот момент известным американским математиком Эдвардом Казнером [2].

3. Открытие Эдварда Казнера

3.1. Предыстория

Знаете ли вы, что за невероятно большими числами стоят не только математические законы, но и детское любопытство? В 1938 году Эдвард Казнер гулял по парку со своими племянниками и задался вопросом: «Как назвать число настолько огромное, что его невозможно даже представить?» Один из мальчиков, девятилетний Милтон Сиротта, предложил слово googol — так появилось обозначение для единицы со ста нулями (10¹⁰⁰).

3.2. Связь числа googol с компанией Google

В голову сразу приходит созвучие с браузером «Google». В печати слово «гугол» впервые появилось в 1938 г [2]. А в 1998 году Ларри Пейдж, один из основателей интернет-поисковика Google, интересовавшийся математикой назвал свою компанию в честь числа «гугол» после того, как случайно написал это слово неправильно. И да, когда основатели GoogleЛарри Пейдж и Сергей Брин, думали над названием компании, их целью было зарегистрировать googol ссылок.

Большинство ученых согласны, что, если бы мы могли сосчитать все атомы всех звезд в видимой Вселенной, мы имели бы гораздо меньшее число, чем гугол атомов. Гугол лет потребуется для того, чтобы испарились все черные дыры во Вселенной

3.3. Googolplex

На числе googol история больших чисел не закончилась. Казнер пошёл дальше и придумал ещё более грандиозное число — googolplex, которое равно 10 в степени гугол (10^googol, или ₁₀10¹⁰⁰). Это число настолько большое, что если писать в каждом панковском кубике (кубик со сторонами 10^-35), то можно заполнить всю вселенную, а это на минуточку 93 000 000 000 световых лет. Другое сравнение: если каждый символ весит 8 байт, и заполнить текстовыми документами на жёсткий диск (8 терабайт), то если сложить эти диски в стопочку, эта стопка дойдёт от земли до марса 273 раза.

Можно сказать что googol<<<googolplex, но есть число которое несравнимо больше googolplex и это число 3↑↑↑3.

4. Стрелочная нотация Кнута

4.1. Предыстория

Что обозначает запись 3↑↑↑3? Представьте, что вам нужно записать число настолько огромное, что даже googolplex покажется крошечным. Как математики справляются с такими гигантскими величинами?

В 1976 году Дональд Кнут, известный учёный и автор «Искусства программирования», предложил новый метод — стрелочную нотацию. Эта система позволяет компактно записывать невероятно большие числа, которые невозможно представить стандартными способами. Вдохновлённый трудами других математиков, Кнут создал изящную систему с помощью стрелок, упрощающую работу с огромными числами.

Как несколько стрелок заменяют горы нулей?

Стрелочная нотация Кнута - это метод для записи больших чисел в математике. Она строится на основе операции возведения в степень, но с дополнительными стрелками, которые означают повторение этой операции.

Такая запись была предложена Дональдом Кнутом в 1976 году. Идея нотации основывается на том, что умножение — множественное сложение, возведение в степень — множественное умножение. 

Давайте начнём с самого начала 3↑3 или же 3³ (или же просто возведение одного числа в степень другого) что равняется 27. Далее 3↑↑3, это 3²⁷(то есть возведения числа в число результат прошлого звена последовательности), что равняется 7625597484987. А вот уже с 3↑↑↑3 сложно, это 3 в степени 3, со степенной башенкой 7625597484987 раз. Это число несравнимо больше даже googolplex, но что будет если мы добавим ещё одну стрелочку (3↑↑↑↑3) и это число уже несравнимо больше 3↑↑↑3, и 3↑↑↑↑3 является первым числом в прогрессии Грэма (G1).

4.2. Прогрессия Грэма

Но как получить G2? добавить ещё одну стрелочку? Нет, нужно взять количество стрелочек G1

И так далее 64 раза

В итоге мы получаем число Грэма (G64). Многие считают, что это самое большое число. «Истина в том, что вы не можете задумать число Грэма, - по крайней мере во всей его гигантской красе. Оно просто слишком велико, чтобы с ним можно было иметь дело – вам или кому угодно» [1]. Но это лишь верхушка айсберга.

5. Невообразимо большие числа

   1. Функция TREE

Есть число которое несравнимо больше G64, это число TREE(3) (от Английского tree-дерево). Число TREE столь велико, что стрелочная нотация Кнута не способна его записать. Сейчас мы отойдём от стрелочек и гипероператоров, к простому черчению отрезков. Функция TREE (англ. TREE sequence) — быстрорастущая функция TREE(n), возникшая из теории графов, разработанная математическим логиком Харви Фридманом [3].Индекс в скобках означает количество цветов, а главная задача функции сделать как можно больше деревьев, не содержащих себе подобных. Ну смотрите TREE(1) будет ровняться 1, ведь используя один цвет мы можем нарисовать лишь одну точку, а любые другие последующие деревья будут содержать эту точку.

TREE(2) уже равняется 3. Вы подумаете функция очень медленно растёт, как TREE(3) может быть несравнимо больше G64. Но вы сами посмотрите, из одного цвета мы можем сделать одно дерево, из двух цветов уже три дерева. Но из трёх, их настолько много, вот некоторые из них:

Есть доказательство что они когда-то закончатся, но это число настолько большое что повторюсь несравнимо больше G64.

1. 2. Busy beaver и машина Тьюринга

Но я не удивлю вас если скажу, что есть число гораздо больше, а точнее функция - busy beaver. Функция занятого бобра (она же функция BB или сигма-функция Радо, обозначаемая  Σ(n) или  BB(n)) — отличительная быстрорастущая функция из теории вычислимости [5]. Это наиболее известная из невычислимых функций.  Во многом эта функция связана с машиной Тьюринга, так что давайте разберёмся с ней.

Машина Тьюринга состоит из ленты с ячейками, которые могут хранить 0 и 1. Также есть некая головка, которая может считывать и записывать 0 и 1. Что общего у обычной ленты, разделенной на клетки, и нашей функции? В 1936 году британский математик Алан Тьюринг предложил революционную концепцию — «машину Тьюринга», которая стала основой теории вычислений.  

Это удивительно, но любую алгоритмическую задачу — от сложения чисел до работы нейросетей — можно выполнить на этой гипотетической машине. У Тьюринга не было ни процессоров, ни оперативной памяти: только бесконечная лента, головка для записи и простые правила. И этого оказалось достаточно, чтобы заложить фундамент компьютерной науки!

Ну так вот, к нашей функции, у нас есть некая линяя с клеточкками (пока они все белые), а также есть бобёр, и его задача покрасить как можно больше клеточек в чёрный за как можно меньшее количество команд. Бобёр может: покрасить клеточку в чёрный или белый цвет, посмотреть на соседние клеточки, пойти либо в право либо в лево.

И вы скажете: «пусть бобёр просто идёт в одну сторону и бесконечно красит клеточки», но тут мы скажим, что если бобёр сделает хотябы два одинаковых хода подрят. И тут всё становится гораздо интересние.

С 1 командой, бобёр сможет покрасить, лишь одну клетку

С 2 командами, бобёр сможет покрасить 4 клетки.

С 3 командами, бобёр сможет покрасить 6 клеток

С 4 командами, можно закрасить 13 клеток

С 5 командами, бобёр сможет закрасить уже 4086

Как видете тут функция резко взрывается, и очень резко возростает. Ну вы сделаете вывод, что далее функция будет ростить примерно в током темпе, но смотрите:

8 элемент последовательности=число с 18 тыс.нулей

10 элемент=болше 3↑↑↑3

18 элемент=больше G64

А 1919 элемент последовательности, настолько большой, что мы не можем недосказать ниспровергнуть его существование.

1. 3. Число Райо

Далее идёт число Райо, и вот его определение из интернета: Самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, которое может быть определено выражением на языке первого порядка теории множеств с использованием менее, чем googol (10¹⁰⁰) символов. То есть число, записанное более googol символов, давайте посмотрим на это под другим углом.

Возвращаясь к самому началу, используя один знак, максимальное число, которое можно записать, это 9. А используя 2 знака мы можем записать огромное число, ну самое простое это поставить степень, то есть 9⁹= 387420489. Но есть, вариант больше, а именно тетрация [3] (например, ²2), что равняется ₂2²=2⁴=16. При вычислении тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

⁴2 = .

Но и это не предел, ещё есть обозначение пентация (₂2), что равняется ²2₂=¹⁶2, и это двойка и 16 двоек в степенной башне, при вычислении это число будет: 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096^{18446744073709551616}, и это только с двойкой, а представьте пентацию 9 из 9, но вы не забыли что это только 2 символа, а мы можем использовать более гугола.

Заключение

Мы расширили понимание множества натуральных чисел. Увидели, что величины кажутся огромными, почти нереальными. И пришли к выводу: даже самые большие из них ничто перед бесконечностью.

Математика помогает нам понять масштабы, но бесконечность остается за гранью. Это не просто огромное число, это нечто большее — она выходит за рамки вычислений. Даже если представить число, которое заняло бы всю Вселенную, оно останется конечным. А бесконечность — нет.

Стоит ли изучать такие числа? Да, они расширяют наше мышление, помогают понять природу вычислений, информатики и философии. Они показывают, что наш разум способен оперировать идеями, которые нельзя «увидеть» или «ощутить». В этом магия математики.

Когда вам скажут, что «бесконечность — это все», вы сможете ответить: «Но есть числа, которые помогают нам приблизиться к ее пониманию». 

Список литературы

1. Антонио Падилья. Удивительные числа Вселенной. Путешествие за грань воображения. –М.: МИФ, 2025. - 400 с.

2. Пиковер Клиффорд. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2021. – 539 с.

3. Тетрация [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://clck.ru/3MLynb

4. Функция TREE [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://clck.ru/3MLyRx

5. Функция занятого бобра [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://clck.ru/3MLyaX

6. Чарльз Петцольд. Читаем Тьюринга. Путешествие по исторической статье Тьюринга о вычислимости и машинах Тьюринга. – М.: ДМК Пресс, 2014. – 440 с.