XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Лист Мёбиуса

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Носкова А.А. 1

---

1МАОУ "Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны" ЭМР саратовской области

Шатова О.Р. 1

---

1МАОУ «Образовательный центр имени Героя Советского Союза Расковой Марины Михайловны» Энгельсского муниципального района Саратовской области

Работа в формате PDF

341.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В наше время актуально изучение различных свойств предметов и их нестандартных применений. Я рассмотрела применение листа Мебиуса в науке и технике. Уже сейчас лента Мебиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты и т.д.

Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия[2].

Исходя из вышесказанного, я ставлю перед собой следующие цели:

1. Показать, что лист Мебиуса – модель односторонней поверхности.

2. Сформулировать свойства листа Мебиуса.

3. Рассмотреть применение листа Мебиуса на практике.

Новизна работы заключается в том, что студенты нашего техникума выявлением свойств листа Мёбиуса ранее не занимались. Я провела анкетирование и заметил, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают о его свойствах.

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования: свойства листа Мебиуса.

Поверхность стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может[4].

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

• постановка проблемы;

• анкетирование;

• изучение литературы с целью получения информации о листе Мёбиуса;

• сбор собственного материала;

• проведение экспериментов;

• разработка нового электронного продукта.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.

Для достижения данной цели я поставил перед собой следующие задачи:

• Познакомиться с биографией Мебиуса и с историей его замечательного открытия.

• Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления.

• Изучить и исследовать свойства листа Мебиуса • Установить области применения листа Мебиуса.

• Создать презентацию в Microsoft Power Point.

Гипотеза исследования: Я предполагаю, что лист Мёбиуса действительно обладает неожиданными свойствами.

Для того чтобы решить эту проблему, я должна изучить нужную информацию в математической литературе и на различных сайтах Интернета, затем изготовить лист Мебиуса и с помощью опытов выявить его необыкновенные свойства.

Вид проекта – информационно-исследовательский.

Методы исследования:

• поисковый;

• аналитический;

• экспериментальный;

• описательный

Готовый продукт – мультимедийная презентация.

1.2

А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий геометр, ученик «короля математиков». Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейципгского университета (Мёбиусу было всего тогда 26 лет). Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени[3].

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

1.2. Представление о листе Мёбиуса

Лист Мебиуса положил начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

Лист Мёбиуса - бумажная лента, повернутая одним концом на

полоборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом. ( рис. 1)

Рисунок 1

Поверхность листа Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш, и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели, потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Что же из этого свойства следует? А следует удивительное превращение ленты.

Если разрезать ее вдоль, точно посередине - получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получится два кольца - но!- одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма «затейливое» переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. [1]

1.3. Применение листа Мёбиуса

Удивительные свойства листа Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.( рис. 2)

Рисунок 2

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. В 1969 году изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: срок работы ленты увеличились вдвое.

В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, ремень передачи, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы, ремень передачи.( рис. 3)

Рисунок 3

Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с

“двух сторон” не меняя их местами.( рис. 4)

Рисунок 4

В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса. Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса.

Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.( рис. 5)

Рисунок 5

Международный символ переработки представляет собой Лист

Мёбиуса.( рис. 6)

Рисунок 6

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Например, на значке механико-математического факультета

Московского университета.( рис. 7)

Рисунок 7

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

2. 2 Практическая часть

2.2.1. Изготовление листа Мёбиуса

Берём бумажную ленту АВВ₁А₁. Прикладываем её концы АВ и А₁В₁ друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой В₁, а точка В с точкой А₁. (склеим концы ленты, предварительно повернув один из них на 180 градусов). Получим перекрученное кольцо. Лист Мёбиуса готов.

2.2.2. Проведение опытов с листом Мёбиуса

Для проведения опытов я изготовила бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводила опыты с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

Таблица 1

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной.

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная.

Таблица 2

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя.

Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край.

Заключение

Выполняя работу по изучению удивительного листа Мёбиуса, я узнала о жизни самого учёного, об истории уникального открытия. Не зря говорят: «Всё гениальное рядом». Открытие положило начало новому направлению в математике. Мною была изучена большая разнообразная информация. Она анализировалась и перерабатывалась.

Я получила удовольствие, когда выполняла опыты. Результаты были очевидны, поскольку эксперименты проводились с обычным кольцом и листом Мёбиуса. Так я узнала об удивительных свойствах листа Мёбиуса.

Для меня это были маленькие открытия.

Я сумела получить интересный математический материал. В ходе работы я создала мультимедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса. Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими друзьями. Думаю, что это их заинтересовало. Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на занятиях, так и во внеклассной и кружковой работе.

С листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов и убедиться в открытых свойствах. Количество опытов зависит от собственного интереса и терпения.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом Мебиуса.

Список литературы

1. Гарднер М.О.. Математические чудеса и тайны. – М.:Наука,1978.-185 с.;

2. Лэнгдон Н., Снейт Ч.. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987.-113 с.;

3. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение,

1988. .-167 с.;

4. Смирнова Е.С. Курс наглядной геометрии: Методическая разработка для 6 кл.: Кн.для учителя. – М.:Просвещение, 2002.-198 с.;

5. Шарыгин И.Ф., Еранжиева Л.Н. Наглядная геометрия: 5-6 кл. – М.: Дрофа,

2000. .-204 с.;

Приложение А

Рисунок 18

Мауриц Эшер.

Гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

Приложение Б

Эксперименты с бумагой

Эксперимент 1.Перед склеиванием концов бумажной полосы прорежем щель в полосе, проденем сквозь нее один из ее концов, а затем продолжим разрез вдоль всей ленты.

Рисунок 19

Результат: два листа Мебиуса.

Эксперимент 2. Приготовим два кольца: одно обычное и одно Мебиусово.

Склеим их под прямым углом, а затем оба разрежем вдоль.

Рисунок 20 Результат: прямоугольная плоская рамка.

Эксперимент 3. Возьмем бумажную полоску. Ее концы перед склеиванием разрежем и перекрутим так, как это показано на рисунке.

Рисунок 21

Каждая половинка концов перекручивается по-разному, и после склеивания концов выполняются два разреза по средней линии каждой половины бумажной полосы.

Результат: бумажное кольцо распадется на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посредине превращается в два отдельных кольца, а другое — в одно большое.

Эксперимент 4. Трижды перекрученную бумажную ленту проденем сквозь перстень, склеим концы, а затем разрежем по средней линии.

Результат: одно большое бумажное кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня.