XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Флексагоны: магия превращений
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Учиться надо только весело.
Чтобы переварить знания,
надо поглощать их с аппетитом.»
Анатоль Франс
Введение
ФЛЕКСАГОН-это увлекательная головоломка, которая заставит тебя отвлечься от повседневной суеты и погрузиться в мир спокойствия и релакса. В этом проекте мы хотим рассказать, как сложен и одновременно увлекателен мир головоломок под названием флексагон.
Мы все ценим увлекательную математику. Она развивает внимательность, способность к логическому мышлению и уверенность в себе. Элементы игры, делающие её такой притягательной, могут проявляться в виде головоломок, соревнований, трюков, парадоксов и многого другого. Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот, и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений.
Интерес к головоломкам побудил нас заняться этой исследовательской работой. Когда мы впервые услышал слово «флексагон», нам захотелось узнать, что это такое, и тщательно изучить данную тему. Многие наши одноклассники считают, что математика — это исключительно «сухая» наука, состоящая лишь из цифр, формул и однообразных задач. Мы решили продемонстрировать через свою работу, что математика может быть интересной, захватывающей и даже красивой.
Флексагоны-многослойные многоугольники, которые можно по-разному перегибать. При этом какие-то слои, которые раньше были видны на поверхности, прячутся внутрь, а вместо них становятся видны другие, которые раньше были спрятаны. Получается такой бумажный калейдоскоп. Можно спросить, какое отношение эти бумажные игрушки имеют к математике? Во-первых, они были открыты математиками. И, конечно же, обнаружив флексагоны, математики тут же стали их изучать, и через некоторое время создали настоящую теорию, которая объясняет, как можно строить всё новые и новые флексагоны, и какие у них бывают свойства. Во-вторых, несмотря на то, что флексагоны-это всего лишь игрушки, их теория оказалась совсем не простой, в ней используются вполне серьёзные математические методы. [2]
В своей работе мы хотели показать наиболее знаменитые и занимательные флексагоны. Надеемся, они вам понравятся.
Цель проекта: изучение удивительного мира флексагонов, создание собственных моделей.
Задачи проекта:
-
изучить и проанализировать литературу, материалы в сети Интернет;
-
изучить историю открытия флексагонов;
-
ознакомиться с процессом их изготовления;
-
изготовить некоторые виды флексагонов;
-
проанализировать возможности использования флексагонов в образовательных целях
-
провести анкетирование среди учащихся 5-6 класса;
-
пробудить интерес школьников, продемонстрировав своей работой, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения;
-
провести мастер-класс по изготовлению флексагона;
-
изготовить буклет с развёртками флексагонов и инструкциями складывания;
-
выяснить применение флексагонов в жизни.
Объект исследования: различные виды флексагонов (треугольные, квадратные, шестиугольные), а также способы их конструирования и трансформации
Предмет исследования: флексагоны
Проектный продукт: сборник схем сборки некоторых флексагонов, флексагоны, видео рекомендации по изготовлению флексагонов
Гипотеза исследования: мы предполагаем, что изучение флексагонов поможет учащимся лучше понять принципы геометрии и развить навыки пространственного мышления, а также откроет новые интересные аспекты математики, которые могут стимулировать интерес к науке.
История возникновения флексагона
Флексагоны — это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу. [1.c.11]
рис. 1
Интересный факт: придумать флексагоны помогло одно случайное обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов. Флексагоны, не были бы открыты и по сей день, и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру. Если бы в конце 1939 года, Артур Х. Стоун, двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Пристоне, обрезая листы американского блокнота, не пожелал немного развлечься. Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник (рис.1). Взяв, этот шестиугольник, за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску.
Был открыт самый первый флексагон! Он был назван тригексафлексагоном, так как у него три поверхности, (гекса от греческого «гекс», что означает шесть), флексагонами - из-за их способности складываться. Вторая не менее изящная модель получила название гексагексафлексагона (первое «гекса» - шесть - означает число поверхностей этой модели). Но всё это было позже, а сначала Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского to flex – складываться, сгибаться, гнуться). Друзьями был создан «Флексагонный комитет», который обнаружил что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей.
К 1940 году они разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново.
Популярность в Америке флексагоны получили в 1956 году. Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения.
В Советском союзе, а в последствии и в России также занимались изучением флексологии, в периодическом издании «Наука и жизнь» публиковались серии статей про эти занимательные головоломки.
В России так же есть запатентованная полезная модель RU2196 «Книжка-игрушка», которая образовывает флексагон в форме правильного шестиугольника.
К сожалению, большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника.
Тетрафлексагоны
Тетрафлексагоны (тетра – четыре) – сложенные из бумаги (или другого материала) прямоугольники, в недрах которых скрывается несколько поверхностей. Их можно увидеть, вывернув четырёхугольник определённым образом. Здесь представлены несколько разновидностей тетрафлексагонов [3].
Тритетрафлексагон
Тритетрафлексагон ‒ флексагон с тремя поверхностями, который имеет форму квадрата.
Он делается из Z-образной полоски бумаги (Рис. 1а).
а
Рис. 1аОбратная сторона: Рис. 1б
Полоску перегибают и склеивают (Рис. 1с):
Рис. 1с.
Для того, чтобы увидеть третью его сторону, нужно перегнуть флексагон вдоль вертикальной оси, а затем раскрыть его с обратной стороны.
Тетратетрафлексагон
Тетратетрафлексагон‒ флексагон с четырьмя поверхностями, который имеет форму квадрата.
Существует, по крайней мере, шесть типов четырёхсторонних тетрафлексагонов. Один из таких тетратетрафлексагонов делается из прямоугольника, разделенного на 12 квадратов (Рис. 2а
Рис. 2а Рис. 2б
Для изготовления модели нужно вырезать по пунктирной линии и сложить квадраты. Для того, чтобы увидеть остальные его стороны, нужно последовательно открывать четырёхугольник аналогично тритетрафлексагону.
Гексатетрафлексагон
Гексатетрафлексагон‒ флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму квадрата.
Эта игрушка представляет собой совсем другой тип тетрафлексагона: его можно сгибать вдоль и поперек.
Для его изготовления требуется бумага, вырезанная в форме квадратной рамки (Рис. 3а). Перегибая его вдоль осей, можно увидеть стороны, помеченные цифрами от 3, 4 или 5. Если брать рамки большего размера, можно построить флексагоны с числом поверхностей.
Рис. 3а. Рис. 3б.
Сгибаем по схеме и склеиваем (Рис. 3б):
Тригексафлексагон
Тригексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с тремя поверхности, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая из трех поверхностей флексагона состоит из шести треугольников.
Для создания тригексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 10 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.
Рис. 4а Вторая сторона полоски рис 4б. Рис. 4б
П олоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников
Подогнуть последний треугольник вниз (треугольники со звездочками) и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник.
Гексагексафлексагон
Гексагексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.
Для создания гексагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 19 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.
Рис. 5а
Вторая сторона полоски: Рис. 5б
П олоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников:
Рис. 5в
П ерегнув полоску еще раз, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый. Подогнуть последний треугольник вниз и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник.
Рис. 5г
Тетрагексафлексагон
Тетрагексафлексагон ‒ флексагон с четырьмя поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.
Для создания тетрагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 13 треугольников с равными сторонами в виде зигзага. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры) [2].
Рис. 6а.
Обратная сторона: Рис. 6б.
Занимаясь изучением флексагонов, мы узнали, что это изгибаемые многоугольники. А существуют ли изгибаемые многогранники (флексоры)? Оказалось, что этот вопрос занимал умы многих математиков. Флексор (латин. flexor - сгибатель) – вращающиеся кольца тетраэдров.
Флексор (от латинского flexor – сгибатель) - изгибаемый многогранник. Из названия понятно, что эта фигура может ломаться и гнуться и они объемны.
Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.
Результаты диагностического исследования обучающихся
5-6 классов Лицея искусств
В исследовании приняли участие 27 человек из 5-6 классов. Было предложено следующее анкетирование (см. приложение 1)
По результатам исследования можно сделать вывод, что знакомы с флексагонами лишь 19 % опрошенных. Зато 100% хотели бы узнать о флексагонах больше и так же 100 % любят головоломки.
Благодаря анкетированию мы установили, что наши одноклассники хотели бы научиться делать флексагоны, а такжебыли бы рады получить в подарок открытку в виде флексагона.
Вывод: Результаты проведенного исследования показывают, что большинство учащихся не имели предварительного знакомства с флексагонами, что свидетельствует о недостаточной интеграции данного материала в учебный процесс. Однако, несмотря на это, интерес к флексагонам проявляется у всех участников опроса. Ученики выразили желание научиться создавать и исследовать эти геометрические фигуры, что открывает возможности для дальнейшего развития их математических и творческих навыков.
Данный интерес может быть использован для внедрения флексагонов в учебные программы как способ активизации познавательной деятельности учащихся. Обучение флексагонам не только способствует развитию пространственного мышления и навыков работы с геометрическими формами, но и может стать увлекательным практическим занятием, которое соединяет математику с искусством.
По результатам исследования было выявлено, что учащиеся проявляют значительный интерес к флексагонам, однако у них отсутствует достаточная информация и инструкции по их созданию. В связи с этим пришли к выводу о необходимости разработки сборника, который будет содержать подробные инструкции по складыванию флексагонов, а также готовые развертки. Такой сборник станет полезным ресурсом для учителей и учеников, способствуя более глубокому изучению данного материала и активизации творческого подхода к математике.
Практическая работа по изготовлению флексагонов
Для первоначального изготовления флексагонов мы пользовались выпуском № 23 Математического Кенгуру. Внутри этого сборника были развертки, из которых мы изготовляли свои первые в жизни флексагоны.
Потом мы находили готовые развертки в интернете. Работа над изготовлением флексагонов увлекала нас всё больше и больше и захотели сделать из них подарки на Новый год друзьям и учителям.
В от, что получилось.
Мастер-класс
Мы провели мастер-класс для своих одноклассников по изготовлению флексагонов. Распечатали заготовки, объяснили как складывать и помогали всем сделать свой первый в жизни флексагон. Ребята остались очень довольными и были нам благодарны.
Изготовление собственных моделей флексагонов и запись последовательности действий для их изготовления
Тритетрафлексагон
Отсканируй QR-код и сделай по примеру
Тригексафлексагон
Отсканируй QR-код и сделай по примеру
Ф лексор
Отсканируй QR-код и сделай по примеру
Применение флексагонов
В ходе выполнения проекта мы выяснили, что флексагоны и флексоры представляют собой необычные игрушки, флексагон – это математическая головоломка. Очень увлекательная, забавная игрушка, обладающая удивительными свойствами. Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Например, известно, что, когда изобретатель флексагонов Артур Х. Стоун и его друзья создали и исследовали игрушку, они попутно придумали историю об одном джентльмене, у которого в флексагон попал кончик галстука. Порвать, любовно сделанную игрушку было жаль, и он продолжал играть, напрасно надеясь, что при очередном перегибании удастся освободиться. Эта сочиненная история легла в сюжет любительского фильма «Осторожно, математика!»
Флексагоны, как средства математического моделирования имеют следующие отличительные черты:
-
экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм;
-
доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке;
-
многоплановый развивающий характер: флексагоны и флексоры способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизирует формирование представлений по всем разделам математик для школьников; хороши для освоения понятий «время», «величина», «пространство» и многое другое.
Они сумели привлечь внимание в различных отраслях. Вот несколько примеров:
-
Ш арнир двойного действия, соединение которого присутствует на всех тетрафлексагонах, повсеместно используется для петель дверей и окон, в креплениях на настенные телевизоры, в раскладных телефонах.
-
Ф лексагоны применяются на различных уроках для младших школьников. Например, можно показать жизнедеятельность лягушки, черепахи. Мы изготовили такие флексагоны и показали учителю биологии.
-
Ф лексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники одной поверхности приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.
-
Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается (Уважаемые учителя, будьте бдительны!).
-
Ф лексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ, в стиле флексагонов создаются интерьеры помещений и предметы меблировки.
-
Лампа и настенный светильник флексагон
-
Буклет в форме тритетрафлексагона о нашей проектной работе
З аключение
Подводя итоги проделанной работы, можно утверждать, что поставленные задачи решены и цель достигнута.
В процессе работы мы получили много новых знаний, навыков. Мы с большим интересом изучали новые для нас геометрические объекты – флексагоны. Еще мы смогли познакомить с ними наших одноклассников. Одноклассники заинтересовались этим удивительным объектом и попросили научить их изготавливать данные игрушки. После мастер-класса многие наши одноклассники загорелись желанием делать модели флексагонов самостоятельно дома.
В помощь всем, кого заинтересовали флексагоны, мы выпустили сборник с готовыми шаблонами флексагонов, а также добавили туда наши видеоинструкции. (Приложение 2) Надеемся сборник пригодится многим.
С одной стороны, наша работа завершена, все поставленные задачи выполнены. Мы изучили историю создания флексагонов, их классификацию, создали несколько моделей, выпустили сборник развёрток флексагонов с видеоинструкциями по складыванию. Однако, с другой стороны, нам предстоит еще долгое путешествие по удивительному миру изгибаемых многоугольников. Знакомство с флексагонами позволило нам по-другому посмотреть на мир математики и внести приятное разнообразие в окружающие нас предметы быта и интерьера. Создание геометрических игрушек на основе флексагонов способствует развитию пространственного воображения, развивает логическое мышление, позволяет заняться необычным хобби. Работа над проектом будет продолжаться. Нам предстоит узнать, что такое «флексман», изготовить их и узнать применение в жизни.
Наша работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Данная работа может быть использована на занятиях математического кружка. В окружающем нас мире очень много неоткрытых загадочных вещей, которые могут нас удивить своими замечательными свойствами.
Список литературы
-
Гарднер М.Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971, С. 11., с.235
-
Н. Я. Жарковская, Д. В. Максимов «Флексагоны» коллекция «Кенгуру», СПб, 2016, выпуск 23., 30
-
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. 2-е изд., испр. и доп. – Пер. с англ.– М.: Мир, 1999 - 447с.
-
Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики, М.: Просвещение, 1989
-
Математика: Школьная энциклопедия, М.: Дрофа, 2003
-
Энциклопедия для детей Аванта + Математика. 2003 – 621 стр.
-
Смирнова И. М. Геометрия 10-11, М.: Просвещение,1997 – 156 стр.
-
Шарыгин И. Ф. Наглядная геометрия, М.: МИРОС,1995 – 240 стр.
-
Википедия
Приложение 1 (анкетирование)
Анкета
-
Известно ли вам, что такое флексагон? Да. Нет
-
Хотели бы вы узнать о флексагонах больше? Да. Нет
-
Знаете ли вы, где применяются флексагоны? Да. Нет
-
Любите ли вы головоломки? Да. Нет
-
Как вы думаете, можно ли придумать головоломку, основанную на свойствах бумаг и её способности складываться? Да. Нет
-
Интересны ли вам новогодние открытки в виде флексагонов? Да. Нет
-
Хотели бы вы получить в подарок такую открытку? Да. Нет
-
Хотели бы вы научиться делать флексагоны? Да. Нет
Приложение 2
Сборник развёрток флексагонов
Санкт-Петербургское государственное бюджетное нетиповое образовательное учреждение «Лицей искусств «Санкт-Петербург»
Сборник развёрток флексагонов
В мире форм, где тайны ждут,
Флексагоны — чудный путь.
Складывай, верти и смотри,
Как меняются они внутри.
Дорогие читатели!
С радостью приветствуем вас на страницах этой книги, посвященной удивительному миру флексагонов! Если вы ищете увлекательное занятие, которое позволит вам не только развлечься, но и развить свои творческие способности, то вы попали по адресу.
Флексагоны — это не просто головоломки, это настоящие произведения искусства, которые можно создать своими руками. Их необычная форма и удивительная способность менять свою конфигурацию завораживают и вызывают желание экспериментировать. Вы сможете не только собрать флексагоны, но и понять принципы их работы, что подарит вам уникальный опыт и новые знания.
В этой книге вы найдете простые инструкции и советы, которые помогут вам шаг за шагом создать собственный флексагон. Не требуется никаких специальных навыков или инструментов — лишь немного терпения и желание творить. Погружаясь в процесс, вы откроете для себя мир геометрии и творчества, который непременно увлечет вас!
Приготовьтесь к увлекательному путешествию в мир флексагона. Давайте вместе создавать, исследовать и наслаждаться этой удивительной головоломкой!
С наилучшими пожеланиями, Яшенькина София и Журавель Всеволод,
5 класс
Тритетрафлексагон
Тритетрафлексагон ‒ флексагон с тремя поверхностями, который имеет форму квадрата.
Обратная сторона:
Полоску перегибают и склеивают.
Отсканируй QR-код и сделай по примеру
Тригексафлексагон
Т ригексафлексагон (гекса – шесть) ‒ флексагон с тремя поверхности, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая из трех поверхностей флексагона состоит из шести треугольников.
Подогнуть последний треугольник вниз (треугольники со звездочками) и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник.
Для создания тригексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 10 треугольников с равными сторонами.
Отсканируй QR-код и сделай по примеру
Флексор (от латинского flexor – сгибатель) - изгибаемый многогранник. Из названия понятно, что эта фигура может ломаться и гнуться и они объемны.
Отсканируй QR-код и сделай по примеру
Вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму.
2024-2025
Флексагоны