«Классические» схемы для решения планиметрических задач на ЕГЭ по математике

XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

«Классические» схемы для решения планиметрических задач на ЕГЭ по математике

Ушаков Я.В. 1
1Муниципальное общеобразовательное учреждение «Архангельская СШ», МОУ «Архангельская СШ»
Ушакова Л.В. 1
1Муниципальное общеобразовательное учреждение «Архангельская СШ», МОУ «Архангельская СШ»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

І. Введение

Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры. В алгебре есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждых, свои алгоритмы решений.

При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из большого количества теорем не просто. А ещё это связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории, доказательства тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур.

Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач? Эти вопросы послужили основой для исследовательской работы.

Тема исследования «Классические» схемы решения планиметрических задач актуальна всем тем, кому предстоит сдавать профильный экзамен по математике.

Согласно статистике, у большинства сдающих ЕГЭ по математике возникают трудности при решении планиметрической задачи под №16. Выполнение на полный балл – на уровне 5 %. Планиметрические задачи традиционно входили в состав вступительных испытаний технических и математических специальностей вузов [3, с.14].

Материалом исследования послужили лекции Анны Малковой, репетитора по ЕГЭ. Она выделила пять основных схем для решения планиметрических задач.

Объект исследования:планиметрические задачи из профильного экзамена по математике (№16).

Предмет исследования: «Классические» схемы планиметрических задач.

Гипотеза: «Классические» схемы решения планиметрических задач могут быть полезны при решении задачи № 16 из профильного ЕГЭ по математике, расширят возможности в нахождении способов решения планиметрических задач.

Цель работы: изучение «классических» схем планиметрии.

Задачи:

  1. Проанализировать различные аспекты изучения данной темы. (Осуществить поиск и отбор информации о решении задачи № 16 из ЕГЭ по математике профильного уровня, изучить и доказать теоремы, позволяющие применять данные схемы при решении планиметрических задач).

  2. Проанализировать и выявить факты, подтверждающие возможность применения «классических» схем решения планиметрических задач по математике на ЕГЭ.

  3. Организовать сбор задач, из вариантов ЕГЭ по математике, в решении которых использовались «классические» схемы решения.

  4. Научиться выделять и применять «классические» схемы при решении задач №16 из ЕГЭ

  5. Оформить результаты исследования.

Результатом исследования должна стать презентация по теме, которая поможет выпускникам познакомиться с «классическими» схемами и покажет возможность применения этих схем для решения заданий №16 на ЕГЭ по математике и подборка задач из ЕГЭ по математике, при решении которых применялись «классические» схемы. Подборка задач может быть применена и преподавателями математики в качестве раздаточного материала при подготовке к ЕГЭ.

ΙΙ. Основная часть

  1. Планиметрические задачи на ЕГЭ по математике

При изучении литературы по теме «Решения планиметрических задач» можно встретить различные подборки основных теорем, которые необходимо знать для успешного решения задачи №16.

Задание № 16 – это планиметрическая задача. В пункте, а) нужно доказать геометрический факт, в пункте б) – найти (вычислить) геометрическую величину.

Для успешного решения заданий 16 необходимо знать и правильно использовать:

  • признаки равенства и подобия треугольников;

  • свойства медианы и высоты прямоугольного треугольника;

  • формулы вычисления площади треугольника;

  • свойство биссектрисы угла в треугольнике;

  • теорему синусов и теорему косинусов для треугольника;

  • теоремы: - об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки; - о касательной и секущей; - о секущих, проведенных из одной точки; о хордах;

  • теоремы о нахождении углов, связанных с окружностью: о нахождении вписанного угла; угла с вершиной внутри круга и вне круга; угла между касательной и хордой;

  • утверждения об отношении площадей двух треугольников: - имеющих общее основание: имеющих равный угол; - на которые разбивает исходный треугольник биссектриса угла;

  • теорему об отношении площадей подобных фигур;
    теоремы и факты, связанные с трапецией.

Можно выделить следующие рекомендации для подготовки к решению планиметрических задач: сначала – теория. Лучшая тренировка на этом этапе — задания из первой части. Многие задачи по планиметрии строятся по одной из так называемых классических схем. Учите их наизусть! Необходимо выучить теоремы, которые входят в школьную программу, но не в явном виде, а как вспомогательные задачи.

Чем больше практики, тем лучше будет результат. В приложении 2 указаны ссылки на сайты, где можно тренироваться в решении задачи № 16 из профильного ЕГЭ по математике.

  1. «Классические» схемы решений планиметрических задач

С хема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.

H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК (рис. 1).

 

Рис. 1

1 . Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия k = cos B,

1.Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.

2.Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.

3.Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.

4 . BH = 2R|cos B|, где R – радиус описанной окружности.

С

Рис. 2

хема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD – в точках С и D, причем МА> МВ, МD> МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны (рис. 2).

С

Рис. 3

хема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности (рис. 3).

С хема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС (рис. 4).

 

Рис. 4

Схема 5. Лемма о трезубце (трилистнике), (рис. 5)

П

Рис. 5

усть P – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
Точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек B, C, Р, Q. Эта схема называется также теоремой о трилистнике.

  1. Решение планиметрических задач из ЕГЭ по математике с выделение «классических» схем решения.

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность проверить усвоение курсов математики 5—6-го классов, алгебры 7—9-го классов, алгебры и начал анализа 10-11-го классов и геометрии 7—11-го классов. При этом, в частности, проверяются умения использовать полученные знания в практической деятельности и в повседневной жизни, а также умения строить и исследовать математические модели.

Задача №16 Профильного ЕГЭ по математике оценивается в 3 первичных балла и состоит из двух пунктов. Первый пункт — доказательство. Второй - нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) [5, с.17].

Пример 1 (Математика. 11 класс. Вариант МА2210212):

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠ BB1C1 = ∠ BAH. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны B C, если В1С1 = 4 и ∠ВАС =30 °

Р

Рис. 6

ешение. а) в четырёхугольнике AC1HB1 углы С1 и B1 прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы HB1C1 и HAC1 опираются на одну дугу, следовательно, они равны, а значит, ∠ BB1C1 = ∠ BAH (рис. 6).

В данном решении применили схему 1.

П ример 2: B остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA (рис. 7).

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б

Рис. 7

) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что KN = 8  и угол KMN = 450.

а) Докажем, что угол ABK равен углу ANK.

Треугольник МВК подобен треугольнику MAN (по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон: NA/MB = MN/MK.

Но это значит, что треугольник АВМ подобен треугольнику NKM (по углу и двум сторонам), причем k = MA/MN = cos ∠KMN.

∠MAB=∠MNK, ∠BAK— смежный с углом ∠MAB,

∠BAK = 1800 - ∠MAB = 1800- ∠BNK,

∠BAK + ∠BNK = 1800, четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.

∠ABK = ∠ ANK (опираются на одну дугу).

б) Найдем R треугольника АВМ, если KN =8 и угол KMN = 450.

Треугольник ABM подобен треугольнику NKM, k = cos ∠KMN = , AB/KN = k, AB = · KN = 8 · = 8. По теореме синусов, R треугольника АВМ = 4 .

В данном примере работает схема 1.

ΙΙΙ. Заключение

При решении планиметрических задач из тренировочных вариантов чаще всего использовалась схема 1. Подобие треугольников и др. теоремы о которых было сказано выше.

Следует отметить, что количество геометрических конфигураций, возникающих даже в несложных задачах с двумя-тремя объектами, огромно. Для решения задач № 16 из ЕГЭ необходима серьезная подготовка по геометрии, с хорошим теоретическим багажом и большой практикой в решении задач. В ходе исследования был сделан вывод: «классические» схемы решения планиметрических задач можно применять при решении задачи № 16 из профильного ЕГЭ по математике, но они лишь могут быть «ключиками» только к некоторым задачам из ЕГЭ.

Таким образом, гипотеза подтвердилась.

В заключение следует отметить, что отобранные и изученные, в ходе исследования схемы, помогут обучающимся 11 класса расширить возможности в нахождении способов решения планиметрических задач.

Задачи по планиметрии — прекрасные упражнения, способствующие развитию геометрических представлений, умения логически мыслить, способствующие развитию творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.

ΙV. Библиографический список

  1. Гордин Р. К. Г68 ЕГЭ 2020. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. —272 с

  2. Демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов для проведения в 2023 году единого государственного экзамена по математике [Электронный ресурс]. – Москва: ФИПИ, 2023 Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.

  3. ЕГЭ студия [Электронный ресурс] https://ege-study.ru/

  4. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, А.В. Семенов. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по МАТЕМАТИКЕ. - Москва, 2022

  5. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, О.Н. Косухин, А.В. Семенов, А.С. Трепалин, М.А. Черняева. Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2022 года. - Москва: ФИПИ, 2022

  6. Интернет - ресурсы: http://coko29.info/; http://alexlarin.net/; http://www.ege.edu.ru/.

  7. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2023 году единого государственного экзамена по математике [Электронный ресурс]. – Москва: ФИПИ, 2023 Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.

V . Приложения

Приложение 1. Доказательство классических схем

Схема 1. (рис. 1).

 

Рис. 1

В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.

H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия k = cosB, если

и

Доказательство:

Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам.

М ы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что

2.Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.

Доказательство:

Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны 1800.

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
 – как смежный с углом ВКМ.

Получили, что ,и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3.Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН - прямые, их сумма равна 1800, и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4. BH = 2R|cosB|, где R – радиус описанной окружности.

Доказательство:

П о теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,


Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС, 

Мы помним, что значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

Д окажем, ,где R – радиус описанной окружности треугольника АВС. Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, 

Д иаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен 

П оскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров, описанных вокруг них окружностей равно 

 

Рис. 2

Получили, что 

Доказательство схемы 2. (рис. 2).

 Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD – в точках С и D, причем МА> МВ, МD> МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.

П усть угол ВАD равен α. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, поэтому угол ВСD равен 180° - α. Угол ВСМ – смежный с углом ВСD, и значит, ∠ВСМ= ∠BAD = α, треугольники ВМС и DMA подобны по двум углам.

Доказательство схемы 5 называется «Лемма о трезубце» (рис.3).

Пусть P – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
Точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек B, C, Р, Q. Эта схема называется также теоремой о трилистнике.

Дан треугольник АВС, АМ – биссектриса угла А, Р – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности (которая касается стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС), М – точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажем, что МР = МВ = МС. На рисунке «трезубец» (или «трилистник»), состоящий из отрезков МР, МВ, МС, МQ?

Докажем сначала, что МВ = МС = МР.

В

Рис. 3

писанные углы ВАМ и ВСМ опираются на дугу ВМ, следовательно, они равны.

Аналогично, вписанные углы САМ и СВМ опираются на дугу СМ, и они тоже равны.

поскольку АМ – биссектриса угла ВАС.

Следовательно, и треугольник ВМС – равнобедренный, ВМ = СМ.

Точка Р – центр вписанной окружности треугольника АВС. Значит, Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, и тогда ВР и СР – биссектрисы его углов АВС и АСВ соответственно.

В треугольнике ВМР:

Тогда

 треугольник ВМР равнобедренный, ВМ = РМ. Значит, точка М равноудалена от точек В, С и P. Аналогично доказывается, что МQ = ВМ = СМ = РМ.

Приложение 2. Сайты для подготовки к решению задания № 16 из профильного ЕГЭ по математике:

https://ege-study.ru/materialy-ege/svojstva-vysot-treugolnika-ortocentr/

htthttps://4ege.ru/video-matematika/58958-zadacha-16-profilnogo-ege-po-matematike-podhody-k-resheniyu-i-poleznye-priemy.htmlps://100ballnik.com/

https://matp00.ru/ege-profil2022/

Приложение 3. Буклет «Классические схемы решения планиметрических задач»

Просмотров работы: 38