XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Раскраски в математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Дробязго А.И. 1

---

1МКОУ СОШ 8 с. Тугулук

Шеховцова Е.С. 1

---

1МКОУ СОШ 8 с. Тугулук

Работа в формате PDF

137.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Я раскрашу целый свет в самый мой любимый цвет!

Говорят, что в каждом из нас живет художник. Правда не все могут нарисовать настоящий шедевр самостоятельно, однако раскрасить уже готовые очертания не так уж и сложно. Раскрашивать рисунки любят не только дети, но и взрослые. Так, среди моих сверстников сейчас очень популярны раскраски - антистресс, раскраски-граффити и картины по номерам. И, казалось бы, какое отношение имеет это незатейливое увлечение к математике?

Актуальность темы заключается в том, что применение раскрасок позволяет оригинально, наглядно и просто решать олимпиадные задачи и задачи повышенного уровня сложности. Применение раскрасок для решения задач демонстрирует красоту и эстетику математики, способствует повышению общей культуры, расширяет математический кругозор и показывает прикладной характер и возможности практического применения математических знаний.

Задачи комбинаторной геометрии относятся к разнообразным оценкам, связанным с размещениями, покрытиями, упаковками и замощениями, различными комбинациями фигур. Здесь используются самые общие свойства, связанные с расположением фигур на плоскости и в пространстве.

Рассмотрим следующую задачу: сколькими способами можно раскрасить шесть граней одинаковых кубиков шестью красками по одной на грани так, чтобы никакие два из получившихся раскрашенных кубиков не были одинаковыми (не переходили один в другой при каком-то вращении)?

Цель исследования: определение количества правильных раскрасок куба шестью красками, подбор задач на применение комбинаторных правил для раскрасок.

Задачи исследования:

1. Изучить литературу, в которой отражаются возможности применения раскрасок к решению различных теоретических и практических задач.

2. Выделить те математические задачи, которые можно решить с применением раскрасок и рассмотреть способы их решения.

3. Представить все возможные раскраски куба, подходящие под условие задачи

4. Отобрать материал, посвященный раскраскам в математике, для оформления школьной математической газеты.

Гипотеза:подсчет количества различных вариантов раскрасок подчиняется геометрическим свойствам объекта и комбинаторным правилам.

Объект исследования: куб и другие геометрические объекты.

Предмет исследования: математические раскраски.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что проведенные исследования будут способствовать развитию умений решать нестандартные задачи и формированию интереса у учащихся к математике. Собранные материалы могут быть использованы учителями и учащимися на дополнительных занятиях по математике и географии.

Методы исследования: изучение специальной литературы; обобщение, анализ и систематизация материала, практическое применение раскрасок для решения математических задач.

1. Раскраски в науке и жизни

Раскраски широко применяются в различных областях науки и в повседневной жизни. Изучив литературу, мы нашли следующие примеры. Изобразите на бумаге карту: области, граничащие друг с другом. Раскрасьте ее таким образом, чтобы никакие две граничащие области не оказались раскрашенными в один цвет. Каким минимальным количеством цветов можно обойтись при этом? Несложно заметить, что всего четыре цвета позволят сделать такую раскраску. А вот доказать тот факт, что для раскраски любой карты достаточно всего четыре цвета, не так-то просто. Эта задача в математике известна как «проблема четырех красок» и является одной из самых известных раскрасок в географии и математике. Считается, что впервые проблему четырех красок сформулировал в 1852 году шотландский студент Фрэнсис Гутри. С 1878 года, когда английский математик Артур Кэли сообщил, что размышлял над этой задачей, но так и не смог найти решения, проблема четырех красок стала очень популярна среди ученых всех стран. [2] Многие математики тщетно пытались найти решение этой проблемы. Так, к примеру, основоположник кибернетики и теории искусственного интеллекта Норберт Виннер писал, что пытался найти решение задачи о четырех красках, но оно «каждый раз, как заколдованное золото в волшебной сказке, обращалось в груду глиняных черепков». [2] Англичане Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен доказали теорему о четырех красках в 1976 году с помощью созданной компьютерной программы (для карт с количеством стран не более 38). Позднее были представлены более простые доказательства с использованием специализированного программного обеспечения.

Раскраски применяют в организации сотовой связи. Общая зона покрытий делится на ячейки, напоминающие соты. Для того чтобы не возникали помехи, необходимо строго разделять диапазоны частот между соседствующими базовыми станциями. Максимальное количество 6 обслуживаемых базовой станцией абонентов в определенный момент времени тем больше, чем шире её канал. Получается, что с уменьшением количества различных частот диапазонов, увеличивается ширина канала связи. Пусть каждому диапазону частот соответствует свой цвет. На языке математики мы получаем задачу о раскраске плоскости, замощенной шестиугольниками, минимальным количеством цветов. [8] Немало применений нашли раскраски в теории графов и прикладных сферах. Так, раскраски помогают автоматически составлять расписание занятий. При этом рассматривается граф, вершины которого учебные занятия. В том случае, если занятия невозможно провести одновременно (задействованы один и тот же класс, аудитория или преподаватель), вершины соединяют ребрами. Далее раскрашивают этот граф таким образом, что каждая пара соседних вершин окрашена в разные цвета, общее количество вершин одного цвета не превышает количества аудиторий, при этом количество использованных цветов должно быть минимальным. Благодаря современным компьютерным технологиям такой перебор не представляется сложным и на выходе мы получаем готовое расписание. [4].

Даже при составлении таблиц для известной игры судоку можно использовать метод раскрасок. Для этого надо принять клетки таблицы за вершины графа, а ребрами соединить те вершины, которые расположены в одной горизонтали, вертикали и угловом боксе. Вершины графа красят таким образом, чтобы каждая пара соседних вершин оказалась окрашена в различные цвета. Таблицу судоку размером 4 на 4 клетки раскрашивают в 4 цвета, таблицу 9 на 9 клеток раскрашивают в 9 цветов. А затем расставляют необходимое для решения задачи количество цифр (в зависимости от уровня сложности игры). В Приложении 1 мы на примерах показали описанные выше возможности практического применения раскрасок.

2. Задачи, решаемые методом математических раскрасок

Википедия определяет раскраску, как изображение контуров, напечатанное или нарисованное на однотонном фоне. Математики говорят, что фигура раскрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определенный цвет.[5, с.53]

Идея метода раскраски состоит в том, что мы делим математические объекты на группы, наделяя их некоторыми свойствами. Каждой группе ставим в соответствие свой цвет, а затем составляем цветовую модель, которая нередко помогает найти правильное решение. Многие задачи повышенного уровня сложности и олимпиадные тем или иным способом связаны с раскрасками. В таблице приведена классификация по признаку «наличие раскраски»:

Таблица 1. Классификация задач с раскрасками

3. Раскраска куба – задача, в которой требуется найти раскраску

В процессе решения задачи раскраски куба в шесть цветов было определено, что задача имеет длинное «счетное» решение и короткое идейное. Чтобы изобрести второе, надо придумать такой способ раскрашивания, при котором разные последовательности действий приводят к разным раскраскам, а затем посчитать количество последовательностей. Например, можно зафиксировать порядок граней, а менять порядок цветов: в первый цвет закрасить любую грань, во второй – противоположную ей (5 вариантов), в третий – любую из боковых, в четвёртый – следующую за ней по часовой стрелке (3 варианта), в пятый – следующую (2 варианта), в шестой – последнюю (1 вариант). Придумать такой способ можно, формулируя алгоритм, как понять, одинаковые или разные раскраски у двух данных кубиков.

Решение. Приведены два способа.

Примечание. В задаче требуется найти количество кубиков с различной раскраской, где используются все шесть цветов.

  Первый способ.

Предположим, что процедура окраски куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое фиксированное положение, а затем последовательно красятся его грани в определённом порядке. Таких способов столько же, сколько перестановок 6 цветов, то есть 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырёх способов. Поэтому геометрически различных раскрасок в 24 раза меньше, то есть  6! : 24= =30.
  Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя грань. После этого у нас есть 5 способов выбрать цвет для противоположной грани. Из оставшихся четырёх цветов зафиксируем один и окрасим в него переднюю грань (другие варианты раскраски можно не рассматривать, поскольку всегда можно повернуть куб вокруг вертикальной оси в такое положение). Остаётся 3! вариантов для окраски трёх оставшихся граней. Всего получаем  5·3! = 30  способов.

В решении используются комбинаторные правила. Комбинаторика — это раздел математики, отвечающий на вопрос «сколько?» и первоначально ответственный, прежде всего, за подсчет количества способов и их перечисление. В ее основе лежат два фундаментальных правила, каждое из которых активно использовалось при решении задачи: правило суммы и правило произведения. Формулируются они следующим образом.

Правило суммы: если объект A можно выбрать m способами, а объект B можно выбрать n способами, то выбор «либо A, либо B» осуществляется (m + n) способами.

Правило произведения: если объект A можно выбрать m способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то выбор пары (A; B) в указанном порядке осуществляется mn способами.

4. Примеры олимпиадных задач на раскраску

1. Задачи с раскраской в условии

Задачи на шахматной доске можно решать, используя свойства этой доски и особенности «ходов» шахматных фигур. К свойствам шахматной доски относят общее количество клеток, количество черных и белых клеток в отдельности.

Задача 1. Можно ли шахматным конем обойти все клетки шахматной доски 5×5, побывав в каждой клетке по одному разу, и вернуться в исходную клетку? [6, с.27]

Идеи решения: 1) каждый ход коня изменяет цвет клетки, на которой он стоит; 2) должно быть равное количество клеток каждого цвета. Решение: На поле 13 черных клеток и 12 белых. 25-м ходом он попадет на последнюю черную клетку. К этому моменту конь посетил все клетки. Чтобы вернуться в исходное положение, нужно сначала попасть на белую клетку. Противоречие. Обход совершить нельзя.

Наблюдения и выводы: 1) в условии задачи можно изменить размеры поля. Тогда, если поле представляет собой квадрат со стороной из нечетного количества клеток, обход совершить нельзя. Если сторона квадрата состоит из четного количества клеток, то противоречия с количеством черных и белых клеток на поле не возникает. Однако, для ответа на поставленный вопрос нужно привести хотя бы один возможный вариант обхода. 2) Можно изменить в условии задачи фигуру, совершающую обход. Так, в задачах мы встречали фигуру «верблюд», которая, как и конь, перемещается буквой Г, но по большей стороне сдвигается на 4 клетки. Она вообще не сможет совершить такой обход, потому что с каждым ходом сохраняет цвет начальной клетки.

Задача 2. В левом нижнем углу доски 9×9 стоят 9 шашек, образуя квадрат 3×3. За один ход можно переставить шашку симметрично другой, не выходя за пределы доски. Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтобы они образовали квадрат а) в левом верхнем углу, б) в правом верхнем углу, в) в центральном квадрате? [6, с.27]

Идея решения: раскрасить клетки доски таким образом, чтобы в один цвет были окрашены клетки, на которые можно переместить шашки и сравнить раскраску исходного квадрата 3×3 и того, куда мы должны переместить шашки. Если раскраска различная, то сделать это невозможно. В данном случае раскраска является инвариантом.

Инвариант – величина, которая не изменяется в результате некоторых операций. Если инвариант различает несколько положений, то от одного нельзя перейти к другому. [5, с.29]

Решение: В красный цвет раскрасим те клетки, на которые может перейти левая нижняя шашка. Видим, что на эти же клетки могут перейти и все оставшиеся угловые шашки. Далее, раскрасим в синий цвет те клетки, на которые может переместиться нижняя средняя шашка. Видим, что на эти же клетки перемещается верхняя средняя шашка. Аналогично закрасим в желтый цвет клетки, на которые может переместиться центральная шашка. Оставшиеся поля закрасим зеленым цветом – на эти клетки могут переместиться две оставшиеся шашки.

Рис. 1. Переместить в углы можно Рис. 2. Переместить нельзя

Теперь сравним раскраски полей в квадратах 3×3. Все угловые квадраты раскрашены одинаково, значит, можно переместить шашки в левый и правый верхние углы. Экспериментальным путем мы сделали это. А вот в центральный квадрат переместить шашки не сможем, так как раскраска отличается от раскраски угловых квадратов.

Наблюдения и выводы: 4-хцветная раскраска помогает решить подобные задачи, независимо от того, квадраты мы рассматриваем или прямоугольники, а также не имеет значения их размер и четность количества клеток на стороне квадрата или прямоугольника.

2. Задачи, в которых раскраска помогает найти решение

Различные виды раскрасок и возможности их применения к решению задач разобраны в статье Кузнецова Дмитрия «О методе раскраски на примере одной задачи» в журнале «Квант». [6, с.25-27]

Мы же рассмотрим следующие задачи, которые, как нам кажется, позволяют продемонстрировать красоту и возможности применения метода раскрасок к решению нестандартных задач.

Задача 1. Заполните таблицу 6×6 числами так, чтобы сумма чисел во всей таблице была четной, а в каждом прямоугольнике 1×4 – нечетной. [1, с.33]

Идея решения: в каждый прямоугольник поместим одно нечетное и три четных числа; поставим в соответствие нечетным числам закрашенную клетку; раскрасим таблицу таким образом, чтобы в каждый прямоугольник 1×4 попала только одна закрашенная клетка.

Решение: нечетное число пишем в закрашенные клетки, четные числа расставляем в белые клетки.

Рис. 3. Раскраска с заданным условием Рис. 4. Таблица с решением

Наблюдения и выводы:

1) Данную таблицу можно построить и для квадрата с нечетным количеством клеток на стороне.

2) Можно раскрасить квадрат так, чтобы в каждый прямоугольник 1×4 попали 3 или 1 клетка. Тогда тоже будет выполнено условие нечетной суммы в прямоугольниках.

Задача 2. Можно ли квадрат клетчатой бумаги 4×4 разрезать на один пьедестал, один квадрат (2×2), один столбик (1×4) и один зигзаг? [3, с.28]

Идея решения: раскрасим фигуры и квадрат 4×4 шахматной раскраской. Если квадрат на эти фигуры разрезать можно, то количество черных клеток и белых клеток должно быть одинаковым.

Решение: Количество черных и белых клеток в квадрате 4×4 одинаковое – по 8 клеток. У фигурок черных клеток 9 или 7 в зависимости от того, как закрашена фигура пьедестал. В любом случае это не 8, поэтому квадрат 4×4 разрезать на эти фигуры нельзя.

Рис. 5. Шахматная раскраска фигур

Наблюдения и выводы: Чтобы доказать, что решение задачи на разрезание какой-нибудь фигуры на части, возможно, достаточно представить один из способов разрезания. Гораздо труднее доказать, что разрезать фигуру невозможно. И здесь часто помогает раскраска фигуры.

Поэтому сначала нужно проверить – а возможно ли разрезание? И если ответ утвердительный, тогда надо искать способ разрезания.

Задача 3. Для игры в классики на земле нарисован ряд клеток, в которые вписаны по порядку числа от 1 до 10. Маша прыгнула в клетку 1, затем попрыгала по остальным клеткам (каждый раз в соседнюю по стороне клетку) и выпрыгнула наружу из клетки 10. Известно, что на клетке 1 Маша была 1 раз, на клетке 2 – 2 раза и т.д. Сколько раз Маша была на клетке 10? [1, с.19]

Рис. 6. Игра в классики

Идея решения: раскрасить классики шахматной раскраской; с закрашенной клетки Маша прыгает на белую клетку и, наоборот. Поэтому количество прыжков на закрашенных клетках равно количеству прыжков на белых клетках.

Решение: Пусть на клетке с номером 10 было сделано x прыжков. Тогда, 1+3+5+7+9=2+4+6+8+x; 25=20+x; x=5. Ответ: 5 прыжков.

Наблюдения и выводы: эта задача одна из самых красивых. Простота итогового решения, в сравнении с прямым перебором ходов, демонстрирует то, как раскраски могут упростить задачу.

Заключение

В исследовательской работе мы сформулировали проблему – выяснить, каким образом можно использовать раскраски в решении задач.

В процессе исследования, мы решили следующие задачи:

1. Изучили литературу, в которой отражаются возможности применения раскрасок к решению различных теоретических и практических задач.

2. Выделили те математические задачи, которые можно решить с применением раскрасок и рассмотрели способы их решения.

3. Представили все возможные раскраски куба, подходящие под условие задачи

4. Отобрали материал, посвященный раскраскам в математике, для оформления школьной математической газеты.

Данное исследование будет полезным для школьников, принимающим участие в олимпиадах по математике, а также тем учащимся, кому интересна наука математика.

Материалы исследования можно использовать на дополнительных занятиях и кружках по математике.

Проведенные исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: подсчет количества различных вариантов раскрасок подчиняется геометрическим свойствам объекта и комбинаторным правилам.

В процессе решения задач на раскраску мы пришли к следующему выводу: чтобы придумать раскраску, которую можно применить к той или иной задаче, необходимо иметь развитое воображение, опыт решения подобных задач и знание основных математических фактов. И тогда раскраски помогут перевести нестандартную, творческую задачу в разряд технических: с понятным и несложным алгоритмом решения.

Список литературы

1. Баранов В.Н., Баранова О.В. Экстремальные задачи в дискретной математике. Метод раскраски: учебное пособие. – Ижевск: изд-во «Удмуртский университет». – 2015

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. М., "Мир", 1971, 511с.

3. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, 2002

4. Зимин С.Н. Составление учебного расписания, используя теорию графов // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 11. – С. 89-90. [Электронный ресурс URL: https://www.toptechnologies.ru/ru/article/view?id=25634 (дата обращения: 18.10.2017)].

5. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В.О.Бугаенко, М.: МЦНМО, 2008

6. Кузнецов Д. О методе раскраски на примере одной задачи /Квант №15 – 2003 с.25-27

7. Математический кружок 6 класс / Универсальная методическая разработка для элективного курса по решению нестандартных задач в средних общеобразовательных учреждениях г.Москвы // сост. Д.А.Коробицын, Г.К.Жуков. – М.: МГУ, 2017

8.Math4scool. Математика для школы. Комбинаторная геометрия. http://math4school.ru/kombinatornaja_geometrija.html

9. Раскраска // Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Раскраска (дата обращения: 20.10.2019)].