XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Развертка фигур

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гоголев Ю.О. 1Иванов А.А. 1

---

1МБОУ "Вилюйская СОШ N1 им.Г.И.Чиряева"

Ефремова Е.С. 1

---

1МБОУ "Вилюйская СОШ N1 им.Г.И.Чиряева"

Работа в формате PDF

0.9 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

На уроках математики мы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и знаем, что такое точка, прямая, луч, круг, треугольник и другие. При знакомстве с такими фигурами, как куб и шар, Евдокия Семеновна показала и назвала нам ещё несколько фигур. И сказала, что их мы будем изучать в старших классах. Эти фигуры со сложными названиями нас заинтересовали. И мы решили узнать о них побольше и научиться создавать их развёртки.

Цель: Рассмотреть всевозможные варианты разверток правильной треугольной пирамиды (тетраэдра)

Задачи:

• Изучить и проанализировать научную литературу по теме исследования

• Рассмотреть развертки геометрических фигур

• Изготовить объемные геометрические фигуры

• Создать необычную развертку тетраэдра

Гипотеза: Существует множество необычных разверток тетраэдра

Актуальность: Развертки фигур востребованы в науке, промышленности и цифровых технологиях благодаря своей практической значимости.

Объект исследования: Развертки фигур

Предмет исследования: Необычные развертки тетраэдра

Глава I. Теоретическая часть.

Что изучает геометрия?

Геометрия – одна из древнейших наук. Она зародилась в Древнем Египте. В этом государстве плодородные земли были расположены на очень узком участке земли – в долине реки Нил. Каждую весну Нил разливался и удобрял землю плодородным илом. Но при разливе реки смывались границы участков, менялись их площади. Тогда пострадавшие обращались к фараону, он посылал землемеров, чтобы восстановить границы участков, выяснить, как изменилась их площадь и установить размер налога.

Занимались измерениями особые специалисты, их называли "натягивателями верёвки" - гарпетонаптами.

Ремесленникам необходимо было изготавливать посуду, строителям - подбирать камни различной формы для строительства храмов и пирамид, астрономам – измерять углы для определения положения звезд.

Знания постепенно накапливались и систематизировались. Так около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объемов, о свойствах различных фигур – геометрия. Название произошло от двух слов «гео» - земля и «метриа» - измерение, то есть землемерие.

В геометрии изучаются формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Если взять во внимание только форму и размеры предметов, мы приходим к понятию геометрической фигуры.

Геометрия не только даёт представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.

Где применяются геометрические знания?

Название «фигура» происходит от латинского слова «figura», означающего «внешний вид», «образ». Почти все названия геометрических фигур греческого происхождения.

Из квадратов можно получить фигуру – куб. Происходит от греческого слова "кубос" — "игральная кость". Кубом называется правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Куб можно назвать объёмным, трёхмерным или даже 3D квадратом.

Если взять 4 треугольника, то можно создать объёмную фигуру – пирамиду. Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете. Некоторые учёные считают, что слово «пирамида» произошло от греческого «пирос» - рожь, греки выпекали хлебцы,имевшие форму пирамиды.

Конус — это латинская форма греческого слова «конос», означающего сосновую шишку. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом называется конусом.

Цилиндр происходит от латинского слова «цилиндрус» , являющегося латинской формой греческого слова «кюлиндрос» , означающего «валик» , «каток».

Греческое слово "призма" означает "отпиленный кусок", "отпиленная часть". Призма — это многогранник. Призма может быть наклонной и прямой.

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм. Этот геометрический термин заимствован из латинского языка, в котором слово представляет собой сложение греческих слов parallelos – "параллельный" и epipedon – "поверхность".

Октаэдр – ( от греч. oktáedron, от októ — восемь и héra — грань) 8 правильных треугольников, 12 рёбер, 6 вершин.

Додекаэдр — (от греч. dodeka - двенадцать и hedra - грань)12граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.

Глава 2. Практическая часть.

Развёртки объёмных тел.

Развёртка — это плоская фигура, полученная путём "разрезания" поверхности трёхмерного тела и её разворачивания на плоскость.

Условия существования развёртки. Для того чтобы поверхность имела точную развёртку (т. е. могла быть развёрнута на плоскость без растяжений и разрывов), она должна быть развёртывающейся.

Критерий развёртываемости поверхности. Поверхность является развёртывающейся тогда и только тогда, когда её гауссова кривизна K равна нулю во всех точках:

K=0

Гауссова кривизна вычисляется как произведение главных кривизн:

,

где и – максимальная и минимальная кривизны нормальных сечений поверхности в данной точке.

Если K=0, то хотя бы одна из главных кривизн равна нулю, и поверхность локально изометрична плоскости.

Математически развертка возможна только для поверхностей с нулевой гауссовой кривизной. Для остальных случаев применяются приближенные методы построения разверток.

Сравнительный анализ методов построения развёрток

Рассмотрим основные методы:

Точные развёртки (для поверхностей с нулевой гауссовой кривизной)

• Аналитическое развёртывание (по формулам)

• Геометрическое построение (чертежи)

Приближённые развёртки (для поверхностей с K ≠ 0)

• Триангуляция + плоская укладка (разбиение на треугольники)

• Параметрическое отображение (UV-развёртка)

• Оптимизационные алгоритмы (минимизация деформаций)

Примеры развёртывающихся поверхностей:

• Цилиндр (K=0, так как одно из главных направлений — прямая)

• Конус (K=0, кроме вершины)

• Любая касательная поверхность (образованная касательными к пространственной кривой)

Поверхности, не имеющие точной развёртки:

• Сфера (K>0)

• Тор (K меняет знак)

• Произвольные скрученные поверхности

Построение развёртки. Алгоритм для цилиндра

1. 1. 1. 1. Боковая поверхность цилиндра высоты h и радиуса r разворачивается в прямоугольник:

Длина=2πr, Высота=h

1. 1. 1. 2. Основания — два круга радиусом r.

Алгоритм для конуса

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Боковая поверхность конуса с образующей l и радиусом основания r разворачивается в сектор круга:

Радиус сектора = l, Угол = (в радианах) = ⋅

4. 1. 1. 2. Основание — круг радиусом r.

Развёртка призмы

Призма разворачивается в прямоугольник (если прямая) или в параллелограммы (если наклонная) с боковыми гранями и два основания.

Рассмотрим всевозможные развёртки куба. Существует всего 11 различных развёрток куба. А вот у тетраэдра существует только 2 топологические развёртки.

Если развёртки куба и тетраэдра положить встык, то они заполнят всю плоскость.

Точные развертки идеальны для простых форм, но для сложных поверхностей требуется компромиссы между точностью и скоростью.

Точную развертку имеют трехмерные многогранники, цилиндры, конусы и касательные поверхности. А сфера, тор и произвольно скрученные поверхности не имеют точных разверток.

Необычные развертки тетраэдра.

Математическое обоснование развёртки тетраэдра. Формальное описание развёртки.

Развёртка тетраэдра — это плоский граф, удовлетворяющий условиям:

1. Состоит из 4 треугольников.

2. Сумма углов вокруг каждой вершины ≤ 360° (условие склеиваемости).

3. Соответствует рёберной структуре тетраэдра.

Критерии уникальности:

1. Топологическая эквивалентность: Две развёртки считаются одинаковыми, если их графы изоморфны.

2. Геометрическая реализация: Разные тетраэдры (правильный, неправильный, вытянутый) дают различные формы развёрток даже при одинаковой топологии.

Необычные развёртки тетраэдра. Мы решили создать необычные развёртки тетраэдра.

Из тетраэдра вырезаем необычную развёртку, используя для этого следующее правило: из вершины тетраэдра рисуем по граням линии пересекая каждую вершину только один раз и не проходя через ребра. Вырезаем по этим линиям и получаем множество различных развёрток. Этими необычными развёртками можно замостить плоскость.

Рассмотрим математическое обоснование наших необычных развёрток. Для этого на узлах полученной развёртки поставим точки и обозначим их. И покажем, что наши развёртки изоморфны с двумя топологическими развёртками тетраэдра.

Теперь попробуем замостить плоскость развёртками других фигур. Мы видим, что это не возможно, остаются открытые части плоскости. Применение таких разверток практически не рационально.

Заключение

1. Изучили теоретические сведения о геометрии.

2. Узнали происхождение названий объёмных фигур.

3. Развертка возможна только для поверхностей с нулевой гауссовой кривизной.

4. Не все поверхности имеют точные развертки.

5. Научились делать развёртки объёмных геометрических фигур и необычные развёртки тетраэдра.

6. Математически обосновали существование необычных разверток тетраэдра.

Этими моделями объёмных фигур можно пользоваться на уроках математики.

Поставленные задачи выполнены, цель достигнута. В результате проведённого исследования гипотеза подтвердилась: существует множество необычных развёрток тетраэдра.

Использованная литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Математика. Геометрия: 7-9-е классы: базовый уровень: М34 учебник/ 14-е изд., перераб. – Москва: Просвещение, 2023. – 416с.

2. Перельман Я.И. Геометрия. Книга о том, что геометрия не скучная наука/ изд. Издательский Дом Мещерякова, 2019. – 232с.

3. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7-9 общеобразовательных учрежденийю – 9е изд. – М.: Просвещение, 2009г

4. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия 5-6 классы/ И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. – М.: Дрофа, 1998. – 192с.

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1

Приложение.

Рис.2 Развертки куба

Рис.3 Развертки тэтраэдра

Рис.4 Заполнение плоскости развертками куба и тэтраэдра

Рис.5 Необычные развертки тетраэдра

Рис.6 Заполнение плоскости необычными развертками тетраэдра

Касательная

поверхность

Конус

Цилиндр

Рис.7. Развёртывающиеся поверхности

Сфера

Тор

Произвольно скрученные поверхности

Рис.8.Поверхности не имеющие точной развертки.

Рис.9. Математическое обоснование необычных разверток тетраэдра

Рис.10. Покрытие плоскости разными развертками