Решение уравнений с параметрами

XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Решение уравнений с параметрами

Хасанова С.Р. 1
1МБОУ СОШ 6
Меньшаева В.М. 1
1МБОУ СОШ 6
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

 Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч. parametron – отмеривающий). В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.).

В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. При математическом моделировании различных процессов часто возникают задачи с параметрами (уравнения или неравенства, системы уравнений и неравенств, построение семейства кривых). В курсе элементарной математики уравнения и неравенства с параметрами являются, пожалуй, самыми сложными задачами. Мне захотелось более подробно изучить данный вопрос, узнать, какими методами решаются уравнения с параметрами. В кодификаторе ЕГЭ по профильной математике заданиям с параметром отведено 18 задание и оценивается оно в 4 первичных балла. Данная тема актуальна, потому что мне может пригодится умение решать уравнения второй степени с параметрами при сдаче экзамена ЕГЭ по математике.

Поскольку тема очень обширна, и охватить ее в одной работе сложно, я решила более подробно остановиться на решении уравнений второй степени с параметрами графическим и аналитическим методом.

Цель: сравнить графический и аналитический способы решения уравнения с параметром и выбрать оптимальный на экзамене.

Гипотеза: выбор наиболее оптимального варианта решения на экзамене в условиях ограниченности времени.                                                                                         

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) дать определение понятию «уравнение с параметром»;

2) изучить алгоритм решения уравнений второй степени с параметром, используя графический способ;

3) изучит алгоритм решения уравнений второй степени с параметрами, используя аналитический метод;

4) выбрать и обосновать наиболее оптимальный вариант решения в условиях ограниченности времени.

Объектом исследовательской работы было решение уравнений второй степени с параметрами.

Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы:

        использование литературы разного типа;

        работа на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике;

        индивидуальное консультирование.

 

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

1.1  История возникновения уравнений с параметрами

Уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.  Другой индийский учёный, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений. 

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений с параметром «а». 

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е.  αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx2 + bx = c.

В Европе формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Здесь была заложена основа аналитического метода решения уравнений с параметром. 

Понятие «параметр» было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596–1650). Именно Декарт пришёл к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, ввёл фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему — основа графического метода решения уравнений с параметром.

1.2 Понятие параметра: определение, его свойства и его характеристики

Параметр — это заданный буквой коэффициент в уравнении или неравенстве, который может принимать некоторые числовые значения. В зависимости от определённых значений параметра могут изменяться решения уравнения или неравенства, а также их количество.

Параметр второй степени — это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи.

Общий вид квадратного уравнения с параметром: αx2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа.

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Выражение D = b2 – 4 αc называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

2. Если D <0 — уравнение не имеет корней.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня [5, с.292].

Рассмотрим решение квадратного  уравнения αx2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы (см. Рис. 1):

Рисунок 1. Решение квадратного уравнения

 

Таблица 1. Решение квадратного уравнения

Количество решений

Значение коэффициентов

( - ∞; +∞)

При А=0, В=0, С=0

Нет решений

При А=0, В=0, С≠0 или А≠0 и В2-4АС<0

Единственный корень х= -

При А=0, В≠0

Два различных действительных корня х1,2=

При А≠0 и В2-4АС>0

Два совпадающих корня х1,2=

При А≠0 и В2-4АС=0

 

Если в выражении с двумя неизвестными x и a, переменной a придавать какое-либо фиксированное значение, то это уравнение (или неравенство) можно рассматривать как задачу с одной переменной x.

Множеством решения такой задачи является множество пар чисел x и a, при подстановке которых в исходное выражение получается верное равенство (или верное неравенство). Аргументы x и a считаются неравноправными, так как при решении задач обычно стараются найти x, выраженное через a.

Далее необходимо выяснить зависимость решений от значений параметра a, что является важной частью решения задачи. Иногда ее называют исследованием и отделяют от непосредственного решения.

Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.  

1.3. Основные методы решения уравнений с параметрами

Алгебраический способ:  

Алгебраический способ решения уравнений с параметрами заключается в непосредственном решении уравнения и анализе полученных корней относительно параметра.

1.Оценить область допустимых значений (ОДЗ) (если необходимо).

2.Преобразовать уравнение таким образом, чтобы выразить неизвестную x. При этом на параметр не обращать внимания, считать его второстепенным коэффициентом и поступать с ним так же, как с другими свободными членами уравнения. 

3.Проанализировать полученное выражение и ответить на вопрос по заданию.

 Уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а0 называется квадратным. Корни квадратных уравнений х1; х2 причем х1 х2. Дискриминант квадратного уравнения  D = b2–4ac Теорема Виета: х1+ х2 = -b, х1х2 = c.    

При решении уравнений с параметрами важно следить за полным перебором различных способов нахождения корней уравнения в зависимости от значений параметров. 

 

   Графический способ:

Графический способ решения уравнений с параметрами основан на использовании графических иллюстраций и свойств функций и зависимостей. Этот метод применяют, когда в задаче нужно определить количество решений в зависимости от значения параметра или найти значения параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

 

1.Найти область определения уравнения.

2.Выразить параметр как функцию от х.

3.В системе координат построить график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

4.Найти точки пересечения прямой α =с с графиком функции α (х).

5.Если прямая α =с пересекает график α(х), то определить абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = α(х) относительно х.

 

Я рассмотрела оба способа для нахождения более оптимального. Я решила три разных уравнения для анализа наиболее удобного метода.

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ ВИДА ax² + bx + c = 0

2.1. Аналитический способ решения уравнения с параметром

 

Задание №1.Найти все значения параметра, для которых квадратное уравнение  имеет хотя бы один общий корень с уравнением .

Решение. В первом уравнении старший коэффициент – это выражение, содержащее параметр с. Поэтому первым контрольным значением параметра с будет то, при котором старший коэффициент уравнения равен нулю.

КЗП: .

Возможны два случая.

1)        Если , то получим уравнение , которое не имеет решений.

2)        Если , уравнение является квадратным и найдём его дискриминант :

Дискриминант представляет собой выражение первой степени. Найдем второе контрольное значение параметра, приравняв  к нулю.

КЗП: .

Определим знак .

                                                            а)                           б)     + 

                                                             –           –1                            с

Итак, возможны два подслучая.

а) Если , то  и уравнение корней не имеет.

б) Если , то  уравнение имеет два различных корня

.

Рассмотрим второе уравнение . Его корнями являются числа  и .

По условию задачи хотя бы один из найденных корней должен быть также корнем уравнения , то есть при подстановке найденного корня в это уравнение должно получиться тождество.

Если , то получаем равенство:

,

,

откуда . Аналогично найдём значение с, при котором корнем уравнения  является .

Имеем

,

,

=0,

.

Значит, при  и  уравнение  имеет, по крайней мере, один общий корень с уравнением .

Ответ:   и   .

Задание №2 Решить относительно х уравнение .

Решение. Раскрыв скобки, получим уравнение вида:

.

Приравняв старший коэффициент к нулю, найдем контрольное значение параметра.

КЗП:

                                                   –        2)          0            3)    +  а

                                                                          1)

Возможны три случая:

1)        Если , то уравнение примет вид . Это уравнение решений не имеет.

2)        Если , то разделив обе части исходного уравнения на а, получим уравнение вида:

.

Преобразуем его, выделив в левой части уравнения полный квадрат:

,

,

корнями этого уравнения являются  и .

3)        Если , то  и уравнение  корней не имеет.

Ответ: при    ,   ,

при   корней нет.

Задание №3. При каких значениях параметра m корни уравнения

 равны по модулю и противоположны по знаку?

Решение. 1 способ – найти все значения параметра т, при которых уравнение имеет два корня, найти эти корни, а затем определить при каких значениях параметра m корни уравнения противоположные числа.

2 способ. Сначала найти при каких значениях параметра т уравнение имеет два корня, затем по теореме Виета найти их сумму

.

Так как корни уравнения противоположные числа, то их сумма равна нулю, следовательно, , откуда .

Ответ: .

 

2.2. Графический способ решения уравнения с параметром

Задание №1. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения  действительные, различные и оба больше а.

Решение. Графическая интерпретация задачи показана на рисунке. Обозначим через

.

Уравнение  будет иметь два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

   

Решая полученную систему методом интервалов, найдем .

Ответ: .

Задание №2. Найдите все значения параметра а, при которых корни квадратного уравнения  неположительные.

Решение. Так как уравнение квадратное, то . Обозначим через .

Рассмотрим два случая.

1)  Пусть . Для того чтобы уравнение

имело неположительные корни, необходимо и

достаточно выполнение следующих условий:

   

Применив к системе метод интервалов, получим .

2)        Пусть . Тогда положение параболы определяется условиями:

   

Решением этой системы является пустое множество.

Ответ: .

Задание №3. При каких значениях а уравнение

имеет корни разных знаков?

Решение. Для того чтобы парабола – график

функции ,

пересекала ось Ox, в точках, между которыми

лежит начало координат, необходимо и достаточно,

чтобы квадратный трехчлен  принимал в точке  отрицательное значение, поэтому искомое условие имеет вид:

 или .

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение уравнений с параметрами — это важный раздел алгебры, который развивает аналитическое мышление, умение разбирать сложные задачи на частные случаи и находить закономерности в зависимости от изменяющихся условий. В данной проектной работе были рассмотрены ключевые аспекты этой темы:

  1. Методика решения

    • Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения требуют разного подхода.

    • Важно проверять, как параметр влияет на степень уравнения (например, обращает коэффициент в ноль).

    • Обязательный этап — анализ ОДЗ и исключение посторонних корней.

  2. Особенности задач с параметрами

    • Они часто имеют не одно решение, а целое множество в зависимости от значений параметра.

    • Иногда уравнение может вырождаться (например, квадратное становится линейным).

    • Графическая интерпретация помогает визуализировать решения.

  3. Практическая значимость

    • Такие задачи встречаются в ЕГЭ (особенно задание высокого уровня сложности), олимпиадах и вступительных экзаменах в вузы.

    • Умение работать с параметрами полезно не только в математике, но и в физике, экономике и программировании, где многие величины зависят от внешних условий.

  4. Перспективы изучения

    • Дальнейшее углубление в тему может включать:

      • системы уравнений с параметрами,

      • неравенства с параметрами,

      • применение методов математического анализа (исследование функций).

    • Полезно изучать графические методы (построение графиков при разных значениях параметра).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

  1. Мерзляк А.Г. Алгебра 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций/Вентана-Граф 2016 270 страниц.

  2. А.Н.Колмогоров  “Алгебра и начало анализа, 10-11 класс”

  3. Н.И.Зильберберг  “Алгебра для углублённого изучения математики.

  4. А.Я.Симонов  “Система тренировочных задач и упражнений по математике”.

  5. http://www.algebraclass.ru/chto-takoe-linejnoe-uravnenie/

  6. http://www.5egena5.ru/grafiki-funkzii.html

Приложение 1

Работа выполнена учеником 10А класса

Просмотров работы: 10