Математическое ожидание случайной величины: лотереи

XXVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Математическое ожидание случайной величины: лотереи

Петряков Р.С. 1
1ФГКОУ "Читинское суворовское военное училище МВД России"
Журавлева Н.А. 1
1ФГКОУ "Читинское суворовское военное училище МВД России"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Аннотация

Лотерея - это налог с людей за плохое изучение математики.

Как часто мы слышим фразы: «Русское лото. Исполняет желания! «У нас выигрывают!» «Поздравляем! Вы выиграли миллион!», «Станьте обладателем загородного дома», «Играйте там, где реально выиграть», «Все начинается с билета…». Организаторы лотереи громко рекламируют джекпоты победителей, люди постоянно слышат о тех, кто много выиграл. Даже интуитивно понимая, что шансы минимальны, многие покупают лотерейные билеты. Каждый человек желает, как можно больше заработать и как можно меньше потратить сил и времени. Мы же все родом из детства и воспитаны на сказках, а там все богатеют внезапно. Что может быть проще? Всего 100 рублей и ты - миллионер! Все лотереи используют некоторые простые ошибки человеческого разума. Одна из них - это тенденция судить о вероятности события на основе примеров, которые легко приходят на ум.[1]

Цель работы: математическое обоснование вероятности выигрыша в лотереях.

Задачи:

  1. Изучить аспекты математического ожидания случайной величины

  2. Рассмотреть применение формул математического ожидания в лотереях

  3. Провести лотерею (без условия получения дохода от нее) среди преподавательского состава училища.

  4. Проанализировать самые популярные лотерее на территории РФ, провести расчёты математического ожидания каждой из них

  5. Сделать выводы по заявленной теме исследования, оформить в виде научной статьи.

Гипотеза: возможно рассчитать успех выигрыша в лотерею с помощью формул комбинаторики и теории вероятности.

Выводы:

  1. Чем больше математическое ожидание выигрыша, тем больше билетов требуется, чтобы устроитель лотереи получил ощутимый доход. Чем меньше математическое ожидание, тем меньше людей привлекает такая игра.

  2. В лотерею выигрывают, и даже крупные суммы, но в конечном итоге основной доход всегда имеет организатор лотереи.

  3. При подсчете вероятности выигрыша в лотерею необходимо использовать формулу гипергеометрической вероятности, в основе которой лежит формула сочетаний.

  4. В результате исследования гипотеза исследования подтвердилась частично. На основе знаний математики, вы можете рассчитать (при условии того, что условия лотереи будут вам известны) математическое ожидание случайной величины, сравнить ее со стоимостью одного билета.

  5. Один билет — один шанс на победу, два билета уже два шанса, три — три и так далее. Чем больше билетов участвует в лотерее в одном тираже, тем больше шансов выиграть в лотерею. Самостоятельно выкупить 100 или более билетов сложно, поэтому многие создают лотерейные синдикаты.

  6. По статистике, наибольшее количество обладателей главных выигрышей появляется в распределительных тиражах. Каждая лотерея проводит распределительный розыгрыш не реже одного раза в год. Необходимо дождаться формирования большого джекпота или распределительного тиража и купить несколько билетов, чем покупать по одному, но на каждый розыгрыш.

  7. Лотерея может стать хобби, которое помогает весело провести время с друзьями или в кругу семьи, но не способом зарабатывания денег и решение материальных проблем.

  8. Математическое обоснование вероятности выигрыша в лотерею позволяет участнику лотереи быть грамотным в данном вопросе и считаем, увеличивает возможность выиграть в лотерею.

Научная статья

Актуальность исследования заключается в том, что интерес к лотереям всегда высокий.

Лотереи нужно рассмотреть с двух позиций: с позиции организатора лотереи и с стороны участника лотереи. Выясним, какие риска существуют у каждой стороны.

С позиции организатора лотереи.

Лотерея должна приносить доход организаторам лотереи, то есть суммарный выигрыш должен быть меньше общей выручки. Добиться этого наверняка невозможно, поскольку неизвестно, сколько билетов будет распродано. Значит, этого нужно добиться с большой вероятностью. Здесь на помощь приходит теория вероятностей. Она помогает установить цену билета, при которой лотерея практически наверняка принесет прибыль. [1]

В лотерее должны быть большие выигрыши, поэтому определим, что на 1% билетов выпадает выигрыш 2000р. Выигрышных билетов должно быть немало. Пусть 10% билетов дают выигрыш 200р.

Участник лотереи случайным образом выбирает один билет. Найдем математическое ожидание случайной величины Х (выигрыш участника). Запишем распределение в виде таблицы.

Таблица 1. Распределение выигрыша в лотерее

Выигрыш, р.

0

200

2000

Вероятность выигрыша

0,89

0,1

0,01

Математическое ожидание выигрыша равно

ЕХ=0*0,89+200*0,1+2000*0,01= 40 (р.)

Чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш. Если назначить цену билета 50 р., то средний доход от билета будет равен 50–40=10 (р.).

Разумеется, может случиться так, что на свой билет участник лотереи получит большой выигрыш. Но если бы некто решил купить все билеты, то ему достались бы все выигрыши, но в среднем он потерял бы по 10 р. на каждый купленный билет.

Так устроены все лотереи: математическое ожидание выигрыша на один билет меньше цены билета.

Это условие является непременным, оно обеспечивает доход организаторам лотереи. Человек, который решил сыграть в лотерею, должен понимать это. Можно рассматривать лотерею как развлечение, не так как способ получить много денег. Никакие стратегии, которые якобы позволяют выиграть в лотерею, на самом деле не работают – математическое ожидание выигрыша меньше цены билета.

Чем больше математическое ожидание выигрыша, тем больше билетов требуется, чтобы устроитель лотереи получил ощутимый доход. Чем меньше математическое ожидание, тем меньше людей привлекает такая игра. Поэтому организаторы экспериментальным путем определяют наиболее выгодные условия лотереи, придумывают разнообразную рекламу и часто стараются сделать так, чтобы оценить ожидание выигрыша было невозможно. Это не значит, что в лотерею нельзя выиграть. Иногда люди выигрывают, и даже крупные суммы, но в конечном итоге основной доход всегда имеет организатор лотереи. [2]

Практическая (исследовательская) часть работы была направлена на проведение бездоходной лотереи. Для этого была проведена лотерея среди преподавателей училища.

Было раскуплено 30 билетов, из которых 2 билета выигрышные, 28 билета без выигрыша.

Для расчета вероятности выигрыша каждого из участников лотереи, мы использовали формулу гипергеометрической вероятности.

Обозначим N=30 всего билетов в лотереи

k = 2 билета выигрышные

N- k =28 билетов без выигрышные

n- куплено билетов

  1. Найдем общее число исходов – это число всех различных способов выбрать любые n- билетов из общего числа N продающихся билетов (без учёта порядка), необходимо воспользоваться формулой сочетаний.

СNn= С30n

Найдем число всех способов выбрать k выигрышных билетов из K возможных – это сочетание СKk и одновременно число всех способов выбрать n-k невыигрышных билетов из N-K возможных СN-Kn-k. Применяя правило произведения, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию СKk * СN-Kn-k[3]

  1. Применяя классическое определение вероятности, то есть, поделив число благоприятствующих событию исходов на общее число исходов испытания (покупки билетов), придём к искомой формуле: [5]

Рассмотрим конкретные задачи.

1 задача. Куплено 4 билета. Рассчитать вероятность выигрыша двух билетов.

Вероятность того, что из 4 билетов будет ровно 2 выигрышных, равна:

Р= = = 0,0138

= =1

= = = 378

= = 27405

Ответ: 0,0138

Задача 2. Рассчитать, что один билет из четырех будет выигрышный.

Р= = = = 0,239

= =2

= =

= = 27405

Ответ: 0,239

Задача 3. Рассчитать, что при покупке двух билетов, оба выигрышные.

Р= = = = 0,0023

= =2

=

= 435

Ответ: 0,0023

Задача 4. Рассчитать, что при покупке двух билетов, один выигрышный.

Р= = = = 0,1287

= =2

=

= 435

Ответ: 0,1287

Задача 5. Рассчитать, что при покупке одного билета, один выигрышный.

Р= = = = 0,067

= =2

=

= 30

0,067

Следующим этапом исследования мы проанализировали самые популярные лотереи в нашей стране и проанализировали статистику выигрышей граждан Забайкальского края.

В России все лотереи контролирует государство, что вселяет в игроков большую уверенность в честности. Организатором лотерей выступает Министерство спорта и Министерство финансов Российской Федерации. Само правительство не может заниматься распространением билетов и выплатой выигрышей. Этим занимается подрядчик. «Столото» проводит двадцать различных лотерей. Они отличаются стоимостью билетов, выигрышными комбинациями, призовым фондом, правилами, шансами на выигрыш. Прежде, чем покупать билеты той или иной игры, необходимо изучить правила и знать все выигрышные комбинации. [6]

Официальным оператором всех лотерей выступает «Столото»:

  1. «Русское лото»

Среди всех лотерей «Русское лото» можно назвать лидером по количеству разыгранных крупных призов. В Новый год традиционно проводится розыгрыш под названием «Новогодний миллиард». 1 января один из участников забирает суперприз – 1 млрд. рублей.

Вероятность самого главного выигрыша составляет

  1. «Спортлото 5 из 36»

Лотерея «Спортлото 5 из 36» предлагает участникам возможность испытать свою удачу, выбирая пять чисел из 36. Розыгрыши проходят дважды в неделю, а билеты можно приобрести по цене от 40 рублей.[4]

Р = СkK * Сn - kN  - K / СnN,

где N — кол-во чисел в "Спортлото" (N = 36),

К — кол-во верно угаданных чисел (К = 5,4,3,2,1),

n — кол-во чисел, которые участвуют в тираже (n = 5).

Р= * / =

Р= * / = = 0,0152

Р= * / = = 0,00297

Р= * / = = 0,1587

  1. «Золотая подкова»

«Золотая подкова» — популярная российская лотерея, проводимая каждую неделю. Билеты включают 30 чисел, разделенных на два игровых поля по 15 чисел. В розыгрыше участвуют шары с номерами от 1 до 90. Цель игры — зачеркнуть числа, совпадающие с выпавшими в тиражах, и достичь определенных комбинаций для выигрыша.[4]

В таблице 2 представлены данные граждан Забайкальского края по крупным выигрышам.

Таблица 2. Крупные выигрыши граждан Забайкальского края

Человек

Выигрыш

Количество проданных билетов

Призовой фонд тиража

Название лотереи

Александр Смекалкин

5 миллионов рублей

2 310 906

248 273 834 ₽

СТОЛОТО

Федор Михайлов

2 миллиона рублей

953 233

47 661 650 ₽

СТОЛОТО

Наталья Богомягкова

1 миллион рублей

2 916 892

145 844 600 ₽

СТОЛОТО

В средствах массовой информации довольно долгое время шло обсуждение случайны ли выигрыши в лотерею 14 раз ученого математика Стефана Мандель. [7]

Математик разработал формулу, по которой вычислял вероятность выигрыша в лотерею, тем самым ему удалось выиграть 14 раз главный приз в лотерею.

Приведем пример его расчетов.

Играл он в лотерею «5 из 36», где необходимо угадать пять чисел из 36.

  1. Он вычислял по формулам комбинаторики. Сколько всего возможных исходов составления пять чисел из 36 без повторений.

Р (А) = = 376.992

  1. Необходимо играть в лотерею, где джекпот больше данного числа в три и более раз.

  2. Приобрести, как можно большее количества билетов.

После проведения анализа информации данных о лотереях, можно дать несколько советов для тех, кто играет в лотереи:

  • Прежде, чем покупать билеты той или иной игры, необходимо изучить правила и знать все выигрышные комбинации.

  • Один билет — один шанс на победу, два билета уже два шанса, три — три и так далее. Чем больше билетов участвует в лотерее в одном тираже, тем больше шансов выиграть в лотерею. Самостоятельно выкупить 100 или более билетов сложно, поэтому многие создают лотерейные синдикаты.

Синдикаты - это покупка билетов командой. Выигранные деньги в синдикате делятся на всех его участников в зависимости от количества купленных билетов в выигрышном тираже.

  • Распределительный тираж проводится периодически по мере наполнения суперприза. В лотерею«Русское лото»распределительные тиражи обычно проводят в новогодние праздники. Суть такого розыгрыша в том, что весь призовой фонд, включая суперприз, будут разыграны в тираже. Призовой фонд формируется исходя из затрат игроков на билеты. Организатор игры забирает себе 33-50% в зависимости от правил лотереи. Остальные деньги идут на формирование призового фонда, включая джекпот. Если в распределительном розыгрыше нет обладателя джекпота, то вся сумма делится между игроками, чьи билеты оказались выигрышными. Выгода игрока в том, что за те же самые деньги он получает возможность выиграть больше. По статистике, наибольшее количество выигрышей появляется в распределительных тиражах. [8]

В результате исследования гипотеза исследования подтвердилась частично. На основе знаний математики, вы можете рассчитать (при условии того, что условия лотереи будут вам известны) математическое ожидание случайной величины, сравнить ее со стоимостью одного билета.

Список используемой литературы:

  1. И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко «Математика. Вероятность и статистика», 2024 г

  2. Сайт «Математическое бюро», электронный ресурс https://www.matburo.ru/tvart_sub.php?p=calc_gg_ticket , дата входа 25.03.2025

  3. Сайт «Лотереи» электронный ресурс https://vc.ru/money/1719493-vyigryshnye-loterei-2025-top-luchshih-loterei-rossii-i-kakova-veroyatnost-vyigrat-v-rozygryshe , дата входа 20.01.2025

  4. Сайт «Спортс» электронный ресурс https://www.sports.ru/others/1109219233-pyat-proverennyx-metodov-uvelichit-shansy-na-pobedu-v-loteree-z1.html , дата входа 25.03.2025

  5. Научная статья «Оценка выигрыша в лотерею», электронный ресурс «банки.ру» https://www.banki.ru/news/lenta/?id=11010045, дата входа 15.03.2025

  6. Научная статья «Анализ статистики выигрыша в лотереи», электронный ресурс https://habr.com/ru/companies/vdsina/articles/540264/ , дата входа 25.03.2025

  7. Сайт «Комбинаторика в помощь участнику лотереи» https://vc.ru/money/1719493-vyigryshnye-loterei-2025-top-luchshih-loterei-rossii-i-kakova-veroyatnost-vyigrat-v-rozygryshe, дата входа 04.04.2025

  8. Научная статья «Анализ победителей крупных лотерейных выигрышей» https://vc.ru/money/1719493-vyigryshnye-loterei-2025-top-luchshih-loterei-rossii-i-kakova-veroyatnost-vyigrat-v-rozygryshe, дата входа 04.04.2025

Просмотров работы: 126