XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Влияние начальной скорости полёта на подъёмную силу бумажного самолётика
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Бумажный самолётик – это простейшая модель самолёта, для которой справедливы те же законы физики, что и для реальных самолётов. Основное отличие от настоящих самолётов заключается в том, что у них отсутствует двигатель. Самолёты, у которых отсутствуют двигатель, называют планерами. Основной недостаток бумажных самолётиков в том, что у них небольшая продолжительность полёта. Основные силы, определяющие полёт бумажного самолётика – это подъёмная сила, сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Соотношение этих сил определяет продолжительность и дальность полёта бумажного самолётика.
Все известные исследования бумажных самолётиков, например, [1-3] связаны с изучением конструктивных особенностей различных моделей на предмет дальности и продолжительности полёта. Эти исследования [1-3] проводились без учёта начальной скорости запуска бумажных самолётиков и её влияния на дальность и продолжительность полёта. Лишь в работах [4, 5] при изучении влияния расположения центра масс на стабилизацию полёта бумажного самолётика и в работе [6] при измерении подъёмной силы бумажного самолётика учитывалось влияние начальной скорости полёта бумажного самолётика.
Цель работы: изучить влияние начальной скорости полёта на величину подъёмной силы бумажного самолётика.
Результаты работы заключается:
- в проведении экспериментальных исследований, связанных с определением влияния начальной скорости полёта на подъёмную силу бумажного самолётика;
- в использовании математической модели, позволяющей определять подъёмную силу бумажного самолётика при косвенных измерениях.
1. Выбор модели бумажного самолётика для
проведения исследований
Для изучения влияния начальной скорости запуска на величину подъёмной силы бумажного самолётика была выбрана самая распространённая и общеизвестная модель бумажного самолётика – планер с острым носом [2, 4 - 6], которую ещё называют – традиционная конструкция с дельтовидными крыльями [2]. Для этой модели бумажного самолётика центр масс незначительно смещён относительно геометрического центра крыла к носу бумажного самолётика. Это обеспечивает модели прямолинейное устойчивое планирование. Традиционная конструкция бумажного самолётика с дельтовидными крыльями, сложенными из нескольких слоёв бумаги, хорошо сохраняет форму при скоростном запуске. Прочность крыльев соответствует длине бумажного самолётика, балансировка оптимальна. Поэтому правильно сложенный бумажный самолётик этой конструкции хорошо выравнивается после запуска и плавно летит. Именно сочетание этих качеств определило выбор модели для проведения исследований.
В работах Моисеева Г.А. [4, 5], изучалось влияние расположения центра масс на стабилизацию полёта планера с острым носом. Для изменения положения центра масс в нижней части киля бумажного самолётика крепилась с помощью клея «Момент» тонкая проволочка. Перемещение этой проволочки вдоль киля бумажного самолётика и закрепление её позволяло смещать центр масс бумажного самолётика. Проведённые экспериментальные исследования [4, 5] бумажных самолётиков с различным расположением центра масс показали, что модель бумажного самолётика с расположением центра масс lцм = 57 мм (0,43) наиболее удовлетворяет сохранению стабильности планирования на протяжении всего полёта. При этом масса бумажного самолётика была увеличена на Δm= 0,4 г и составляла m= 2,4 г. Следует отметить, что центр тяжести бумажного самолётика без проволочки составлял lцт = 59 мм (0,44), то есть практически такое же значение, как и у бумажного самолётика с прикреплённой проволочкой lцт = 57 мм (0,43). Сопоставление результатов измерений дальности полёта Lс и средней скорости полёта υс бумажных самолётиков с приклеенной проволочкой и без проволочки [4, 5] показало, что лучшими характеристиками, удовлетворяющими условию сохранения стабильности планирования на протяжении всего полёта, обладает бумажный самолётик с приклеенной проволочкой.
Модель бумажного самолётика – планер с острым носом, выбранная для исследования в данной работе, изготавливалась из тетрадного листа школьной тетради и имела следующие характеристики:
1) масса бумажного самолётика m= 2,0 г;
2) масса тонкой проволочки m1= 0,5 г;
3) длина самолётика l= 133 мм (1,0);
4) геометрический центр l /2 = 66,5 мм (0,50);
5) центр тяжести бумажного самолётика lцт = 59 мм (0,44).
Примечание. В скобках приведены значения в относительных единицах длины. Отсчёт производится от носовой части бумажного самолётика.
2. Устройство для запуска бумажных самолётиков
Установка для запуска бумажных самолётиков показана на рис. 1. Основная часть установки состоит из двух пар деревянных пластин. Первая пара пластин располагается в горизонтальной плоскости и предназначена для установки на них бумажного самолётика. При установке бумажного самолётика киль самолётика располагается в щелевом канале между этими пластинами. Эти две пластины задают стабилизацию полёта бумажного самолётика в горизонтальной плоскости после запуска бумажного самолётика. Вторая пара деревянных пластин установлена вертикально. Эти две пластины формируют узкий вертикальный канал, в котором перемещается киль бумажного самолётика при его запуске. Этот вертикальный канал задаёт стабилизацию полёта бумажного самолётика в вертикальной плоскости после его запуска.
Рис. 1. Фотография устройства для запуска бумажных самолётиков
с заданной начальной скоростью полёта.
К основным элементам запускающего устройства относится эластичный резиновый жгут, соединённый с выталкивающей пластиной. При растяжении резинового жгута в нём возникает сила упругости, которая действует на выталкивающую пластину. Силу упругости можно изменять, изменяя длину растяжения резинового жгута. Удлинение резинового жгутаl измерялось помощью миллиметровой линейки с абсолютной погрешностью измерения Δl = 1 мм, приклеенной к одной из деревянных пластин, на которых устанавливается бумажный самолётик.
Для определения начальной скорости полёта бумажного самолётика с помощью запускающего устройства так же как и в работах [4 - 6] было изготовлено цилиндрическое модельное тело с передней полусферической частью массой 2,5 г, равной массе бумажного самолётика. Диаметр тела составлял 18 мм его длина – 27 мм. Площадь поперечного сечения тела примерно соответствует площади поперечного сечения бумажного самолётика. У изготовленного модельного тела, моделирующего условия запуска бумажного самолётика, после его запуска не возникает подъёмная сила. Модельное тело после горизонтального запуска летит подобно горизонтально брошенному телу [7]. Использование модельного тела позволило установить зависимость начальной скорости запуска υо бумажного самолётика от длины натяженияl резинового жгута.
В процессе полёта модельного тела, брошенного горизонтально, проекция скорости движения вдоль горизонтальной оси Ох практически не изменяется. Влиянием сопротивления воздуха можно пренебречь. Вдоль вертикально оси Оу тело движется с ускорением свободного падения по закону [7]. Отсюда можно определить время падения тела:
.
Высота, с которой запускалось тело и бумажный самолётик, составляла h = 1,34 м, ускорение свободного падения тела g = 9,82 м/с2.
Рис. 2. Принципиальная схема измерения начальной скорости запуска
модельного тела.
В таблице 1 приведены измеренные значения начальной скорости запуска υо модельного тела в зависимости от длины натяжения резинового жгута l.
Таблица 1
|
l, см |
LТ, м |
υ0, м/с |
|
3 |
0,48 |
0,92 |
|
4 |
0,60 |
1,15 |
|
5 |
0,76 |
0,88 |
|
6 |
0,97 |
1,55 |
|
8 |
1,20 |
2,31 |
|
10 |
1,51 |
2,88 |
|
12 |
1,55 |
3,17 |
При определении начальной скорости запуска использовалось значение времени полёта тела, равное времени падения тела t = 0,52 c.
При одинаковых натяжениях резинового жгута при запуске модельного тела и бумажного самолётика их начальные скорости запуска совпадают. При полёте бумажного самолётика после запуска на его полёт оказывает влияние подъёмная сила. Величина подъёмной силы зависит от начальной скорости запуска бумажного самолётика. Поэтому во всех таблицах и графиках, в которых приведены результаты измерений дальности и средней скорости полёта бумажного самолётика, необходимые для измерения подъёмной силы, они представлены в виде зависимости от начальной скорости запуска бумажного самолётика.
3. Исследование зависимости продолжительности и дальности полёта
бумажного самолётика от его начальной скорости
Использование описанного устройства для запуска бумажных самолётиков позволяет:
- заранее задавать начальную скорость запуска бумажного самолётика;
- многократно повторять заданные условия запуска бумажного самолётика;
- изменять начальную скорость запуска в широком диапазоне.
При выполнении измерений максимальное значение начальной скорости запуска составляло υо = 3,17 м/с. При дальнейшем увеличении начальной скорости запуска выталкивающая пластина незначительно деформирует хвост бумажного самолётика. Это приводит к нарушению прямолинейности и устойчивости планирования бумажного самолётика.
В процессе проведения исследований на начальном этапе необходимо было установить влияние начальной скорости полёта бумажного самолётика на основные характеристики полёта – продолжительность и дальность полёта. В таблице 2 приведены результаты измерений дальности Lc и продолжительности tc полёта бумажного самолётика. Средняя скорость полёта самолётика υс определялась косвенным методом по измеренным значениям дальности Lси продолжительности tc полёта бумажного самолётика: . В этой же таблице 2 представлены измеренные значения дальности полёта модельного тела LТ, необходимые для сопоставления результатов измерений.
Результаты измерений дальности Lс и продолжительности tc полёта
бумажного самолётика
Таблица 2
|
υо, м/с |
LТ, м |
Lc , м |
tc, с |
υ, с |
|
0,92 |
0,48 |
0,48 |
0,52 |
0,92 |
|
1,15 |
0,60 |
0,60 |
0,52 |
1,15 |
|
1,46 |
0,76 |
0,88 |
0,61 |
1,45 |
|
1,87 |
0,97 |
1,55 |
0,83 |
1,90 |
|
2,31 |
1,20 |
2,30 |
1,00 |
2,30 |
|
2,88 |
1,51 |
3,38 |
1,20 |
2,82 |
|
3,17 |
1,65 |
4,13 |
1,30 |
3,21 |
Обработка результатов измерений
Обработка результатов измерения стандартная [7] представлена для начальной скорости запуска υо = 2,31 м/с, при которой дальность полёта бумажного самолётика составляет Lc = 2,30 м, а время полёта - tc = 1 с.
Абсолютная погрешность измерения дальности полёта бумажного самолётика: ΔLс= 0,1 м.
Относительная погрешность измерения дальности полёта бумажного самолётика равна:
Абсолютная погрешность измерения времени полёта бумажного самолётика составляет:Δtс= 0,01 c.
Относительная погрешность измерения средней скорости полёта бумажного самолётика равна:
ε (υс ) = 5 %.
Из определения относительной погрешности измерения средней скорости полёта бумажного самолётика выразим абсолютную погрешность измерения средней скорости полёта:
Результат измерения средней скорости полёта бумажного самолётика равен:
Результаты измерений, приведённые в таблице 2, представлены в графическом виде на рис. 3. На этом же рис. 3 приведены данные измерений дальности полёта модельного тела LТ, необходимые для сопоставления результатов измерений. Из рис. 3 следует, что в рассмотренном диапазоне изменения начальной скорости запуска υо измеренное значение средней скорости полёта бумажного самолётика υс соответствует значениям начальной скорости запуска υо. Сопоставление дальности полёта бумажного самолётика Lс, и дальности полёта модельного тела LТ указывает на их существенное различие. Для первых двух значений начальной скорости запуска, приведённых в таблице 2, υо = 0,92 м/с и υо = 1,15 м/с, дальности полёта бумажного самолётика и модельного тела совпадают. Это означает, что бумажный самолётик при этих начальных скоростях запуска летит как обычное тело, брошенное горизонтально. Начиная с начальной
Рис. 3. Результаты измерений дальностей Lc ( ▲ ), LТ ( ○ ) и средней
скорости полёта υс (●) от начальной скорости полёта υо.
скорости υо = 1,46 м/с наблюдается незначительное увеличение дальности полёта самолётика от дальности полёта модельного тела. При дальнейшем увеличении начальной скорости полёта υо дальность полёта самолётика LС резко увеличивается (смотри рис. 3) по сравнению с дальностью полёта модельного тела LТ. Такое поведение в изменении дальности полёта самолётика LС от величины начальной скорости запуска υо свидетельствует о том, что при начальной скорости υо ~ 1,46 м/с начинает проявляться влияние подъёмной силы. Наблюдения за траекториями полёта бумажного самолётика показало, что с увеличением начальной скорости запуска бумажного самолётика траектория полёта стремится к горизонтальной линии запуска бумажного самолётика. При значениях υо > 2,5 м/с бумажный самолётик поднимается выше горизонтальной линии запуска. При запуске бумажного самолётика с начальной скоростью υо > 2,5 м/с, он хорошо выравнивается, достигает максимальной высоты подъёма и плавно планирует с постоянной скоростью на протяжении всего полёта.
4. Изучение влияния начальной скорости полёта на подъёмную
силу бумажного самолётика
Стабильность и прямолинейность полёта бумажных самолётиков сохраняется за счёт наличия стабилизаторов: горизонтальной плоскости крыла и вертикальной плоскости – киля бумажного самолётика. Во время полёта при определённых конструктивных особенностях бумажного самолётика или при запуске бумажного самолётика под некоторым углом к горизонтальной плоскости образуется угол атаки это угол между направлением главной оси бумажного самолётика и направлением вектора скорости набегающего потока (рис. 4).
Рис. 4. Действие сил при полёте бумажного самолётика.
Основные силы, определяющие полёт бумажного самолётика: сила тяжести; подъёмная сила; сила сопротивления воздуха, препятствующая движению бумажного самолётика вперед. Совокупность этих сил определяет балансировку бумажного самолётика на протяжении всего полёта и основные характеристики полёта: стабильность, продолжительность и дальность.
В работах [4, 5] изучалось влияние начальной скорости полёта на стабилизацию полёта бумажного самолётика. В этих работах указывалось на то, что после запуска происходит балансировка бумажного самолётика, то есть в результате взаимодействия набегающего потока при определённом расположении цента масс, устанавливается определённый угол атаки и возникает подъёмная сила . Причём, величина подъёмной силы зависит от скорости набегающего потока, то есть скорости, с которой запускают бумажный самолётик. В работе [6] предложено определять величину подъёмной силы, действующей на бумажный самолётик, в зависимости от соотношения величин подъёмной силы и силы тяжести .
4.1. Определение величины подъёмной силы при
условии
Начальное проявление подъёмной силы происходит при значениях начальной скорости υ0 > 1,15 м/с. Это подтверждается измерениями, приведёнными в таблице 2 и на рисунке 3. В случаях, когда бумажный самолётик не поднимается выше горизонтальной линии его запуска υ0 < 2,3 м/с, результирующая сила направлена вниз. Модуль результирующей силы равен (рис. 4):
.
В результате модуль подъёмной силы будет равен:
.
Закон движения бумажного самолётика вдоль вертикальной оси Оу: . Измерять значения t < 1c секундомером сложно, большая погрешность измерения. Поэтому исключим t из формулы. Вдоль оси Ох бумажный самолётик движется по формуле: . Отсюда . Подставим это значение t в закон движения бумажного самолётика вдоль оси Оу:
.
Пример расчёта величины подъёмной силы при начальной скорости запуска υ0 = 1,46 м/с, которому соответствуют: высота запуска h = 1,34 м; дальность полёта бумажного самолётика Lс= 0,88 м;
Определим величину результирующего ускорения:
.
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
Результаты расчёта величины подъёмной силы при условии приведены в таблице 3 и на рисунке 5.
Результаты расчёта величины подъёмной силы бумажного
самолётика при условии
(траектория полёта бумажного самолётика не превышает горизонтальной
линии его запуска)
Таблица 3
|
υо, м/с |
Lс, м |
а , м/с2 |
Fп х10 -2, Н |
|
1,46 |
0,88 |
7,37 |
0,61 |
|
1,87 |
1,55 |
3,91 |
1,48 |
|
2,10 |
1,92 |
3,21 |
1,65 |
4.2. Определение величины подъёмной силы при
условии
В случае, когда бумажный самолётик после горизонтального запуска поднимается выше горизонтальной линии запуска, результирующая сила , действующая на бумажный самолётик, направлена вертикально вверх. Модуль этой результирующей силы равен:
.
Модуль подъёмной силы в этом случае будет равен:
.
Этому условию удовлетворяют значения начальной скорости запуска υ0 > 2,3 м/с.
Закон движения бумажного самолётика выше горизонтальной линии запуска вдоль оси Оу имеет вид: , где h1 - максимальное значение высоты подъёма бумажного самолётика над горизонтальной линией его запуска; t1 - время подъёма на максимальную высоту полёта; L1– значение дальности полёта, при которой бумажный самолётик достигает максимальной высоты. Из формулы пути для движения вдоль оси Ох: выразим величину и подставим это значение в закон движения самолётика вдоль оси Оу:
.
Пример расчёта величины подъёмной силы при начальной скорости запуска υ0 = 2,70 м/с, которому соответствуют: максимальное значение высоты подъёма h1 = 0,02 м; значение дальности, при которой достигается максимальная высота подъёма бумажного самолётика L1= 1,0 м;
Определим величину результирующего ускорения:
.
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
Результаты расчёта величины подъёмной силы при условии приведены в таблице 4 и на рисунке 5.
Результаты расчёта величины подъёмной силы бумажного
самолётика при условии
(траектория полёта бумажного самолётика превышает горизонтальную
линии его запуска)
Таблица 4
|
υо, м/с |
h1, м |
L1 , м |
а, м/с2 |
Fп,x10 -2, Н |
|
2,70 |
0,02 |
1,00 |
0,29 |
2,53 |
|
2,88 |
0,15 |
1,10 |
2,06 |
2,97 |
|
3,17 |
0,24 |
1,40 |
2,46 |
3,07 |
Приведённые результаты косвенных измерений подъёмной силы Fп представлены в графическом виде на рис. 5.
Обработка результатов измерений
Оценим погрешность измерения величины подъёмной силы бумажного самолётика
. Относительная погрешность измерения величины подъёмной силы равна:
.
Относительная погрешность измерения массы самолётика равна:
εm = 4 %.
Ускорение, с которым движется самолётик вдоль оси Оу, определяется по формуле:
.
Погрешность υо определялась ранее: ; ε (υ0 ) = 5 %.
Относительная погрешность измерения ускорения самолётика составляет:
Данные взяты из таблицы 4 для расчёта подъёмной силы при υо = 3,17 м/с.
Относительная погрешность измерения величины подъёмной силы составляет:
Из определения относительной погрешности измерения величины подъёмной силы выразим величину абсолютной погрешности:
.
Результат измерения подъёмной силы для υо = 3,17 м/с составляет:
.
Рис. 5. Зависимость величины подъёмной силы Fп ( □ ) и средней скорости
полёта υс ( ○ ) от начальной скорости запуска υо.
Экспериментальные результаты измерений: дальности полёта Lс(υо), средней скорости полёта υс(υо) и величины подъёмной силы Fп(υо) бумажного самолётика представлены в виде зависимостей от начальной скорости горизонтального запуска υо бумажного самолётика. Согласно этим результатам в рассмотренном диапазоне изменения начальной скорости запуска υо измеренные значения средней скорости полёта бумажного самолётика υо = υс.
При значениях υо < 1,46 м/с бумажный самолётик летит как обычное тело, брошенное горизонтально. На это указывает то, что дальность полёта самолётика Lс равна дальности полёта модельного тела LТ (таблица 2 и рис. 3). При значениях υо > 1,46 м/с наблюдается увеличение дальности полёта самолётика Lс > LТ. Такое поведение в изменение дальности полёта бумажного самолётика Lс от величины начальной скорости запуска υо свидетельствует, о том, что при υо ~ 1,46 м/с начинает проявлять влияние подъёмная сила. При дальнейшем увеличении начальной скорости запуска υо наблюдается пропорциональный рост величины подъёмной силы Fп ( рис. 5).
Наблюдения за траекториями полёта бумажного самолётика показали, что с увеличением начальной скорости запуска бумажного самолётика траектория его полёта стремится к горизонтальной линии запуска бумажного самолётика. При значениях υо > 2,5 м/с бумажный самолётик поднимается выше горизонтальной линии запуска. Значению υо ~ 2,5 м/с соответствует условие . При таком значении начальной скорости запуска υо ~ 2,5 м/с бумажный самолётик должен лететь горизонтально очень долго. Согласно полученной экспериментальной зависимости Fп(υо), представленной на рис. 5, этому условию соответствует значение υо ~ 2,7 м/с. Значение υо ~ 2,7 м/с с учётом погрешности измерений удовлетворяет проведённым измерениям.
Выводы
При проведении работы было экспериментально изучено влияние начальной скорости полёта на величину подъёмной силы бумажного самолётика. Результаты проведённых исследований показали:
1) при значениях υо < 1,46 м/с бумажный самолётик летит как обычное тело, брошенное горизонтально;
2) при значениях υо ~ 1,46 м/с начинает проявлять влияние подъёмная сила;
3) при значениях υо < 2,5 м/с величина подъёмной силы меньше силы тяжести бумажного самолётика ;
4) при значениях υо > 2,5 м/с величина подъёмной силы тяжести .
Согласно экспериментально полученной зависимости Fп(υо) условию соответствует значению начальной скорости запуска υо = 2,7 м/с.
Литература
1. Микостин П. Исследование аэродинамики бумажного самолёта //Открытые Ломоносовские чтения.- г. Самара: 2017.-8 с.
2. Поддубная И.Е. Особенности конструкции бумажного самолётика, влияющие на дальность и длительность полёта //Исследовательская работа. Руководитель Соломатова М.В.
3. Прохоров В.А. Идеальный бумажный самолётик.//ІІ Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке». 7 – 10 ноября 2021 г.
4. Моисеев Г.А. Планер с острым носом. Руководитель Иванов В.А.//XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке». 7 февраля 2024 г.
5. Моисеев Г.А. Планер с острым носом. Руководитель Иванов В.А.//Материалы научно-практической конференции школьников 7-11 классов с Международным участием «Наука настоящего и будущего» - Санкт-Петербург: СПб ГЭТУ (ЛЭТИ), 2025, с 129 – 131.
6. Агнихотри Г.А. Подъёмная сила бумажного самолётика. Руководитель Иванов В.А.//XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке». 7 февраля 2024 г.
7. Мякишев Г.Я. Физика 10 класс: учебник /Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский.-М.: Просвещение, 2019.-432 с.