XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Демонстрационный прибор для изучения характеристик эллиптических орбит космических аппаратов
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Тема работы появилась из практики. Преподаватели математики и физики в ВУЗах часто отмечают, что студенты первого курса затрудняются с решением задач об эллиптических орбитах искусственных спутников Земли (ИСЗ). Затруднения связаны не столько с физической сущностью орбитального движения, сколько с не усвоенными математическими особенностями плоских кривых второго порядка. Орбитальное движение спутников происходит по замкнутым эллиптическим орбитам, отлётные от Земли траектории используются редко, поэтому особое внимание надо уделить изучению свойств эллипса. При этом появилось противоречие. С одной стороны, надо знать физическую сущность движения спутника по эллиптической орбите, например, надо владеть законами Кеплера. С другой стороны, надо формально, математически изучать эллипс и его математические характеристики. В учебных пособиях и на занятиях часто отмечается, что эксцентриситет эллипса характеризует удлинение фигуры, но при этом отсутствуют какие-либо демонстрационные установки, позволяющие наглядно усвоить такое утверждение. В школьном курсе физики эллипс вообще не изучается, только кратко упоминается на факультативных занятиях. Получается, что на первом курсе технического ВУЗа появляется большой объём абстрактного материала, не подкреплённый наглядными учебными пособиями.
Ситуацию пытался исправить профессор Физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета Е.И.Бутиков. Он разработал комплекс компьютерных программ по механике орбитального движения [1]. Многие компьютерные программы ориентированы на школьников, имеют игровую форму. Но любая программа выдаёт результат на экране компьютера в лучшем случае в виде движущейся картинки, не позволяет прикоснуться к изучаемому объекту, повернуть его рассмотреть с различных ракурсов. Реальная лабораторная установка всегда более наглядна, чем компьютерная программа, но перечень лабораторного оборудования намного уже, чем количество созданных к настоящему времени обучающих программ. Значит, есть смысл не заменять традиционное лабораторное оборудование компьютерной техникой, а взаимно дополнять эти два обучающих направления. Цель работы заключается в создании лабораторной установки, которая наглядно представляет эллипсы различной формы и одновременно показывает характеристики этих эллипсов. Содержательная формулировка задачи сводится к простому, наглядному и доступному для понимания представлению взаимосвязи между формой эллипса и его характеристиками.
Идея и основная часть работы
Идея создания новой лабораторной установки появилась при ознакомлении с компьютерной учебной моделью «Косые колёса», разработанной Н.Н.Андреевым в Математическом институте им. В.А.Стеклова Российской академии наук [2]. Я.Е.Сычева реализовала эту модель для движителя по рыхлому грунту [3]. Под косым колесом понимается деталь, которая изготовлена из плоского листового материала в форме наклонного сечения плоскостью прямого кругового цилиндра. Вытянутость эллипса характеризуется его эксцентриситетом e. Для окружности эксцентриситет равен нулю, то есть e=0. Чем больше вытянут эллипс, тем больше становится величина его эксцентриситета e, но при этом не превосходит значения 1. Значения эксцентриситета e=1 и e>1 в предлагаемом учебном приборе не рассматриваются, потому что выходят за рамки цели работы – наглядной демонстрации формы характеристик эллипса. При значении эксцентриситета e=1 получается парабола, а при значениях эксцентриситета e>1 получаются гиперболы, то есть совершенно другие геометрические линии, которые не являются предметом демонстрации в предлагаемой учебной установке. Следовательно, в предлагаемом новом учебном приборе реализуются значения эксцентриситета от 0 до 1 исключительно, то есть выполняется строгое двойное неравенство 0<e<1. Способ наглядного представления эллипса и его характеристик был определён после ознакомления с традиционным оборудованием школьного физического кабинета. Прибор для изучения наклонной плоскости стал прототипом создаваемой лабораторной установки. Основу этого прибора составляет плоская наклонная пластина, как говорят обычно, наклонная плоскость [4]. Наклонная пластина соединена с горизонтальным основанием шарниром, угол наклона фиксируется специальным зажимом. Этот прибор позволяет изучать движение тел по наклонной плоскости, но вполне может быть приспособлен для демонстрации эллипса и его характеристик. Однако для достижения сформулированной цели надо выполнить существенную доработку стандартного школьного прибора.
Создание лабораторной установки
В предлагаемой новой лабораторной установке сохранено основание, пластина наклонной плоскости, шарнир, который присоединяет нижнюю часть пластины наклонной плоскости к основанию, фиксатор, транспортир, измерительная линейка на основании, измерительная линейка на пластине наклонной плоскости. Для того чтобы измерить характеристики эллипса, эту геометрическую линию сначала надо получить и наглядно представить обучающимся посредством нового демонстрационного прибора. В предлагаемом учебном приборе изображение линии эллипса получается на пластине наклонной плоскости, которая выполняет назначение проекционного экрана. Следовательно, надо получить изображение эллипса от внешнего устройства. Принцип действия и структура демонстрационного прибора показан на рис.1.
Рис. 1. Схема учебного прибора для демонстрации свойств эллипса
На рис.1 представлен вид сбоку предлагаемого нового учебного прибора. Учебный прибор для демонстрации характеристик эллипса своим основанием 1 располагается на рабочем столе, который изображён внизу наклонной штриховкой. Со стороны шарнира 3 напротив пластины наклонной плоскости 2 устанавливается электродвигатель 8, приподнятый над основанием 1 на заданную высоту, о которой будет сказано далее. Подъём электродвигателя 8 над основанием 1 может быть выполнен специальной подставкой или посредством лабораторного штатива со специальным винтовым зажимом. Крепление штанги 9 к валу электродвигателя 8 выполняется специально предусмотренным для этого образом, например, гайкой в случае резьбы на валу электродвигателя 8, шлицевым соединением или посадкой штанги 9 с натягом на вал. На одном конце штанги устанавливается включённая лазерная указка 10. В реальной установке применена лазерная указка 10 с красным лучом с длиной волны 650 нм, который обеспечивает яркое, хорошо видное издалека, с последнего ряда поточной аудитории ВУЗа или школьного кабинета, изображение в виде небольшого круга, почти точки, на пластине наклонной плоскости 2. На противоположном конце штанги 9 закреплён противовес 11, который балансирует динамическую систему во время достаточно быстрого вращения, реальная линейная частота вращения штанги 9 на валу электродвигателя 8 в созданной установке приблизительно равна 10 Гц, то есть около 10 оборотов в секунду. Длина штанги 9 выбрана такой, чтобы в нижнем положении лазерная указка 10 проецировала лазерный луч 12 на пластину наклонной плоскости 2 в её нижней точке почти у шарнира 3. Верхнее положение лазерной указки 10 над основанием 1 ограничено длиной пластины наклонной плоскости 2 и демонстрацией эллипса желаемого удлинения, то есть желаемым для демонстрации эксцентриситетом эллипса.
Принцип действия прибора
При включении электродвигателя штанга начинает вращаться вместе с заранее включённой лазерной указкой и противовесом. При вращении лазерного луча с линейной частотой около десяти оборотов в секунду проекция небольшого лазерного пятна, почти точки, на пластине наклонной плоскости воспринимается глазом человека как единая, непрерывная линия. Пластина наклонной плоскости является экраном и одновременно секущей плоскостью кругового цилиндра всех вращающихся лазерных лучей от вращающейся лазерной указки. Если пластину наклонной плоскости поднять и разместить перпендикулярно основанию, то получится изображение окружности как сечения кругового цилиндра плоскостью, перпендикулярной его центральной оси. Линейка на пластине наклонной плоскости и линейка на основании имеют общее начало, то есть нулевую отметку, на шарнире, что важно для последующих вычислений. Эллипс будет вытянут тем больше, чем сильнее будет отличаться от прямого угол наклона пластины наклонной плоскости к основанию. Первый демонстрационный эксперимент с учебным прибором можно проводить качественно, без измерений, показывая обучающимся многообразие эллипсов по их эксцентриситету, то есть вытянутости.
Математическая модель явления
В новой учебной установке удобно вести отсчёт угла отклонения пластины наклонной плоскости не от основания, то есть не от горизонтали, а от перпендикуляра к основанию, то есть от вертикали. Согласно поставленной цели создания нового учебного прибора требуется не только показывать формы различных эллипсов, но дополнительно демонстрировать взаимосвязь форм эллипсов с численными характеристиками этих линий. На рис.2 введены традиционные обозначения общепринятых характеристик эллипса:
O – геометрический центр эллипса;
F1; F2 – фокусы эллипса;
OX – координатная ось, проходящая через фокусы F1и F2 эллипса;
OY- координатная ось, перпендикулярная координатной оси OX;
a – большая полуось эллипса;
2a – большая ось эллипса;
b – малая полуось эллипса;
2b – малая ось эллипса;
– половина межфокусного расстояния эллипса;
2c – межфокусное расстояние эллипса;
– эксцентриситет эллипса;
– параметр эллипса;
– уравнение эллипса в прямоугольных координатах ;
– уравнение эллипса в полярных координатах , но в этом учебном приборе оно не применяется, поэтому обозначение r будет иметь другой смысл без путаницы в обозначениях, но учебный прибор позволяет демонстрировать параметр p эллипса и эксцентриситет e эллипса, присутствующие в полярном уравнении эллипса;
r – удаление текущей точки эллипса от фокуса F1 в формуле уравнения эллипса в полярных координатах, но в этом учебном приборе оно не применяется, поэтому под r будет пониматься радиус вращения лазерной указки и лазерного луча вокруг оси вала электродвигателя, то есть геометрическая характеристика учебного прибора, а не эллипса;
– полярный угол текущей точки эллипса с отсчётом от перицентра, как в астрономии.
Рис. 2. Характеристики эллипса для демонстрации на приборе
Первая характеристика эллипса, то есть малая полуось b, или, что то же самое, малая ось 2b, демонстрируется очень наглядно неизменной характеристикой эллипса, при этом .
Демонстрация и определение других характеристик эллипса с помощью нового учебного прибора требует выполнить вычисления по формулам – свойствам эллипса. Результат этих вычислений показан на рис.3 рядом с изображением, на котором обозначены характеристики эллипса.
Рис. 3. Наглядное представление характеристик эллипса
На рис.3 учебный прибор представлен при виде сбоку, но изображение эллипса на пластине наклонной плоскости развёрнуто и показано ниже.
Следующая задача заключается в демонстрации и определении большой полуоси a эллипса. На рис.3 большая полуось a эллипса равна длине отрезка OB, то есть a=OB. Большая полуось эллипса демонстрируется на предлагаемой учебной установке максимальным удалением точки эллипса от его геометрического центра O и вычисляется по формуле . Большая ось эллипса 2а демонстрируется на учебной установке отрезком AB, она в два раза больше большой полуоси a эллипса, то есть .
Следующая задача заключается в наглядной демонстрации на учебной установке, определении и вычислении половины межфокусного расстояния c и самого межфокусного расстояния 2c. На рис.3 обозначен только один фокус F эллипса. Половина межфокусного расстояния c равна длине отрезка OF, то есть c=OF. Для определения и вычисления половины межфокусного расстояния c применяем соотношение между величинами для эллипса и подставляем в него определённые ранее выражения для малой полуоси b и большой полуоси a эллипса: .
Межфокусное расстояние будет в два раза больше, то есть .
Новый необычный практический результат
Самый необычный новый результат получился для демонстрации эксцентриситета e эллипса. Эту характеристику эллипса важно знать, например, для выполнения манёвра Гомана при переходе космического аппарата с одной круговой орбиты на другую [5]. Для определения и вычисления эксцентриситета e эллипса надо воспользоваться следующей формулой и подставить в неё уже определённые ранее выражения для половины межфокусного расстояния c и большой полуоси a эллипса: . Таким образом, для эксцентриситета e эллипса получилась очень простая и удобная для практической реализации в учебной установке формула . Во-первых, оказалось, что эксцентриситет e эллипса не зависит от радиуса r вращения лазерного луча, то есть от радиуса r кругового цилиндра, который описывает лазерный луч. Во-вторых, оказалось, что эксцентриситет e эллипса равен синусу угла отклонения пластины наклонной плоскости от вертикали. Конечно, можно воспользоваться формулой приведения, чтобы перейти от синуса угла отклонения от вертикали к косинусу угла отклонения от горизонтали, чтобы воспользоваться уже имеющимся транспортиром 5, но на практике оказалось удобнее измерять именно угол отклонения от вертикали. Более того, далее будет показано, что угол отклонения от вертикали можно даже не измерять, потому что новая учебная установка сразу автоматически покажет величину эксцентриситета e эллипса, который высвечивает лазерный луч на пластине наклонной плоскости. Таким образом, эксцентриситет e эллипса определён и представлен иллюстративно, наглядно в предлагаемой новой учебной установке.
Наконец, ещё одной характеристикой эллипса, которую может наглядно представить предлагаемая учебная установка, является параметр p эллипса. Если в полярном уравнении эллипса предположить полярный угол , то величина параметра p эллипса будет равна удалению текущей точки эллипса от центра притяжения, то есть от фокуса F, как это показано на рис.3. Параметр p эллипса определяется и вычисляется с учётом ранее определённых характеристик по следующей формуле: . Радиус r вращения лазерного луча задан в качестве конструкционного элемента учебной установки. Далее будет показано, что косинус угла отклонения пластины наклонной плоскости 2 от вертикали можно не вычислять, потому что это значение сразу будет зафиксировано на предлагаемой учебной установке, но можно вычислить через синус этого же угла, значение которого уже определено при вычислении эксцентриситета e эллипса. Дополнительно параметр p эллипса можно непосредственно линейкой измерить на пластине наклонной плоскости, но для этого надо знать удаление L фокуса F эллипса от его ближайшей точки, то есть, как говорят астрономы, надо знать перигейное расстояние, которое показано на рис.3. Для перигейного расстояния формула получается более длинной, но простой для выполнения вычислений:
.
Можно даже воспользоваться первым выражением в полученном равенстве, то есть из уже известной величины a большой полуоси вычесть величину половины межфокусного расстояния c эллипса. Такое вычисление не вызывает затруднений. Другие выражения показывают, что перигейное расстояние L тоже определяется только характеристиками учебной установки. Таким образом, параметр p эллипса тоже определён и представлен наглядно на предлагаемой учебной установке.
Упрощение демонстрационного измерительного эксперимента
Значительное упрощение предлагаемой учебной установки связано с непосредственным показанием величины эксцентриситета e эллипса, который высвечивается на пластине наклонной плоскости вращающимся лазерным лучом. Но для такого упрощения требуется в принципе изменить ранее установленные измерительные приборы, а именно: измерительную линейку на пластине наклонной плоскости, измерительную линейку на основании, транспортир. Эти три существенных изменения иллюстрируются схемой с пояснениями, представленной на рис.4.
Во-первых, измерительная линейка на пластине наклонной плоскости видоизменена тремя существенными доработками.
1. Измерительная линейка на пластине наклонной плоскости обязательно имеет начало отсчёта, то есть нулевую отметку, в точке шарнира крепления пластины наклонной плоскости к основанию. Измерительная линейка на пластине наклонной плоскости расположена, как в традиционном школьном приборе, вдоль наклонной плоскости.
2. Измерительная линейка на пластине наклонной плоскости обязательно имеет длину ровно 1 метр, то есть 100 см, или, что то же самое, 1000 мм. Удобнее пользоваться измерительной линейкой с ценой деления 1 мм.
3. Измерительная линейка на пластине наклонной плоскости на конечной отметке 1000 мм имеет деталь для крепления ватерпаса, то есть вертикального отвеса, например, типа строительного вертикального отвеса.
Рис. 4. Упрощение и наглядное отображение эксцентриситета эллипса
Во-вторых, измерительная линейка на основании имеет длину не более 1000 мм. Ватерпас имеет достаточную длину для пересечения его нити вертикального отвеса со шкалой измерительной линейки на основании в любом необходимом положении деталей учебного прибора. При длине 1000 мм нити вертикального отвеса ватерпаса это требование будет всегда выполнено.
При выполнении этих условий вертикальная нить отвеса ватерпаса, закреплённая верхним концом на отметке 1000 мм измерительной линейки на пластине наклонной плоскости, автоматически покажет значение синуса угла отклонения пластины наклонной плоскости от вертикали, то есть эксцентриситет e эллипса, который высвечивается вращающимся лазерным лучом на учебном приборе. Никаких вычислений делать не требуется, нужно только посмотреть на показание ватерпаса на измерительной линейке на основании. Если измерительная линейка на основании имеет цену деления 1 мм, то значение эксцентриситета e напротив отвесной вертикальной нити ватерпаса будет наглядно представлено в промиллях, то есть в тысячных долях. Можно дополнить шкалу измерительной линейки на основании второй шкалой, на которой 1000 мм, то есть 1 метр, соответствует предельному и не достижимому значению эксцентриситета е, равному единице, как у параболы, которую предлагаемый учебный прибор показывать не может – такая задача не содержится в цели создания нового устройства.
Вертикальный отвес ватерпаса может быть выполнен не обязательно в виде нити, но и в виде вертикальной измерительной линейки, но с началом отсчёта от точки подвеса. Если вертикальный отвес ватерпаса выполнен в виде нити, то на эту нить могут быть нанесены деления, как на вертикальную линейку, с началом отсчёта от точки подвеса. При наличии вертикальной измерительной линейки на ней на уровне пересечения с основанием автоматически будет указано значение косинуса угла отклонения от вертикали пластины наклонной плоскости, которое требуется для расчёта, например, параметра p эллипса. Однако вертикальная измерительная линейка не является принципиальным элементом, потому что по ранее определённому значению синуса острого угла всегда однозначно рассчитывается косинус этого же острого угла. Принципиальным элементом нового прибора является вертикальный отвес ватерпаса, не обязательно измерительный, то есть не обязательно градуированный.
Наконец, транспортир тоже выполняет вспомогательную функцию, не является обязательным, потому что определяет угол отклонения пластины наклонной плоскости от горизонтали, по которому однозначно рассчитывается угол отклонения пластины наклонной плоскости от вертикали для выполнения указанных ранее расчётов и демонстраций характеристик эллипса.
Практическая реализуемость предлагаемой лабораторной установки доказана изготовлением действующей модели, четыре фотографии которой показаны на рис.5. Первая иллюстрация доказывает возможность визуальной регистрации эллипса, созданного вращающимся лазерным лучом на обычном фанерном листе. Неполный эллипс, приблизительно три четверти от замкнутой линии, обусловлен более короткой выдержкой фотоаппарата, чем период обращения вала двигателя с лазерной указкой. На второй иллюстрации выдержка фотоаппарата была уменьшена, поэтому зафиксирована половина дуги эллипса. В нижней части снимка виден электродвигатель с вращающейся штангой. На третьей фотографии выдержка фотоаппарата стала ещё меньше, чтобы более качественно зафиксировать момент самой удалённой от фокуса точки эллипса, как говорят астрономы, апогея. Наконец, на четвёртой фотографии показан учебный прибор с выключенным двигателем, но с включенной лазерной указкой. В правой части снимка виден электродвигатель на подставке и штанга, закреплённая на валу электродвигателя. К концам штанги прикреплены включённая лазерная указка и противовес. Применена распространённая лазерная указка с красным лучом с длиной волны 650 нм.
Рис. 5. Фотографии лабораторной установки
Основание и пластина наклонной плоскости выполнены из фанеры толщиной 4 мм. В левом верхнем углу четвёртой фотографии видно пятно от лазерного луча, которое имеет небольшой размер. Именно это пятно при вращении штанги с линейной частотой приблизительно 10 Гц, то есть 10 оборотов в секунду, создаёт изображение, воспринимаемое глазом человека как непрерывная линия эллипса. Форма эллипса зависит от угла отклонения пластины наклонной плоскости от вертикали, при этом характеристики эллипса, вычисляются по приведённым ранее формулам. Особый интерес вызывает простота определения величины эксцентриситета эллипса, которая сразу определяется по пересечению вертикального отвеса ватерпаса с измерительной линейкой на основании.
Выводы
1. Главным выводом является предложение о простом способе иллюстрации эксцентриситета эллипса с демонстрацией этой величины.
2. Предложенная лабораторная установка позволяет демонстрировать и измерять все геометрические характеристики эллипса: большую полуось, малую полуось, параметр, эксцентриситет, межфокусное расстояние.
3. Особенностью новой установки является непосредственная взаимосвязь характеристик эллипса с его формой, которая во время демонстрационного эксперимента измеряется количественно для различных форм фигуры.
4. Подана заявка на патент на полезную модель [6].
Таким образом, цель создания нового учебного прибора для демонстрации характеристик эллипса достигнута. Первая модель нового прибора апробирована во время учебных занятий в школе и в ВУЗе.
Работа выполнена в школьном кружке «Юный физик – умелые руки» при поддержке Благотворительного фонда «Образование+» при МБОУ «Гимназия №5» города Королёва (мкр. Юбилейный) Московской области.
Список литературы
1. Бутиков Е.И. Движение космических тел в компьютерных моделях / Санкт-Петербургский государственный университет. Физический факультет. – Санкт-Петербург, 2007. - https://butikov.itmo.ru/Lectures/Motion.pdf
2. Андреев Н.Н. и др. Косые колёса // Математические этюды. Модели. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://etudes.ru/models/skewed-wheels/
3. Сычева Я.Е. Наклонное эллиптическое колесо для рыхлых поверхностей / IX Колачёвские чтения. Материалы IX Всероссийской молодёжной научно-практической конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения Ю.А.Гагарина, 4 апреля 2024 г., г. Ступино, Московская область, Ступинский филиал МАИ – Москва, ИНФРА-М, 2024. – С.195-196.
4. Прибор для изучения наклонной плоскости. Китай. Артикул: 2236. Labbox. Главная. Физика. Механика. Сила. Работа. Энергия.
5. Екимовская А.А. Орбитальный манёвр разрывом вращающегося отрезка / Сборник научных трудов по материалам Фестиваля науки «Гении Подмосковья», г.о. Королёв, Московская область, Центр молодёжных инициатив, 17 сентября – 20 ноября 2022 г. – С.331-345.
6. Мерзликин Т.А. Учебный прибор для демонстрации характеристик эллипса. – Заявка на патент на полезную модель №2025123875 от 29.08.2025.