XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Виды уравнений и способы их решений

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Дильмухаметова Р.М. 1

---

1ГКОУ "Саткинская школа-интернат"

Морозова Л.Н. 1

---

1ГКОУ "Саткинская школа-интернат"

Работа в формате PDF

324.5 KB

Введение

Математика в наши дни проникает во все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Математика является профилирующим предметом при поступлении в вузы по широкому спектру специальностей.

Актуальность темы заключается в том, что, овладевая способами решения уравнений, мы находим ответы на различные практические вопросы из науки и техники. Уравнения и неравенства составляют большую часть материалов ОГЭ и ЕГЭ.В школьном курсе математики они занимают ведущее место. Большинство задач сводится к решению различных видов уравнений.

Объектом исследования я выбрала разные виды уравнений и способы решения квадратных уравнений.

Цель работы: углубить математические знания, найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений.

Задачи.

1. Собрать и проанализировать данные на основе широкого круга источников.
2. Выработать навыки поисково-исследовательской работы.
3. Эффективно использовать полученные знания в реальной жизни.

Методы исследования: изучение учебной и справочной литературы, систематизация изученного материала, классификация уравнений по способам их решения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: можно ли при изучении различных способов решения квадратных уравнений, найти такие способы, которые помогут, не прибегая к традиционному решению по формулам, найти корни рациональнее и быстрее.

Основная часть
2.1 Виды уравнений

Решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с какой-то тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященных в эту тайну. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными.

Уравнения у ал – Хорезми (787 – ок. 850 г.)

Первым руководством по решению уравнений, получившим широкую известность, стал труд арабского учёного IX века Мухаммеда Бен Мусса аль -Хорезми. Он написал сочинение, которое оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра.

Виды уравнений: линейные, квадратные, уравнения высших степеней, дробно-рациональные, иррациональные, уравнения с модулем, уравнения с параметром, показательные, логарифмические, тригонометрические и т.д.

Трансцендентные уравнения - это уравнения, в которых для нахождения корня используются неалгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и показательные и т.д.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят большое применение при решении трансцендентных уравнений. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения этих уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Практическая часть

3.1 Способы решения квадратных уравнений

1способ: решение квадратных уравнений по формуле.

1) Уравнение вида ах² +bх+с = 0, где х- переменная, а,в,с –числа, причем а≠0 называется квадратным. D = b²–4ac – дискриминант квадратного уравнения.
Если D> 0, уравнение имеет два разных корня;
если D=0, уравнение имеет один корень; если D<0, уравнение не имеет корней
- формула корней квадратного уравнения.

2) Если второй коэффициент b=2k – четное число ах²+2kх+с=0, то формулу корней .

Пример. Решим уравнение 9х²–14х+5=0, k= 7
D = k²–ac=49–45=4 , D> 0, два различных корня; .Ответ: 1;

2 способ: решение уравнений с использованием теоремы Виета.

По теореме Виета: x_1*x₂=с; x₁+x₂ = –b.

По коэффициентам b и c можно предсказать знаки корней.

а) Если c>0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от коэффициента b. Если b<0, то оба корня отрицательны, если b> 0, то оба корня положительны.

б) Если с <0, то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если b<0, или отрицателен, если b> 0.

Пример: х²+3х–40=0 Ответ: –8; 5.

3 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х²+2х–80=0.

Разложим левую часть на множители:

х²+2х–80=х²+10х–8х–80=х(х+10)–8(х+10) =(х+10) (х–8).

Следовательно, уравнение имеет вид: (х + 10) (х - 8)=0 Ответ: -10; 8

4 способ: метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение 10х²+5х–5=0. Выделим в левой части полный квадрат:
10(х²+0,5х–0,5)=10(х²+2*х*0,25+0,0625–0,0625–0,5)=10((х+0,25)²–0,0625–0,5)

10((х+0,25)²–0,0625–0,5) =10((х+0,25)²–0,5625) =10(х+0,25)²–5,625

(х+0,25)²=0,5625

Имеем: х+0,25=0,75 и х+0,25= –0,75 Ответ: –1; 0,5

5 способ: графическое решение квадратного уравнения.

а) Графиком квадратичной функции у=ах²+bх+с является парабола. Решениями квадратного уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ. Если a>0, ветви параболы направлены вверх, если а <0, то ветви параболы направлены вниз. Если b>0, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если b<0, то в правой полуплоскости.

П ример: х²–1=0

Ответ: –1; 1

Рисунок, к графику y=х²–1

б) ах²+bх+с=0 перенесём второй и третий члены в правую часть, то получим ах² = - bx–c

Построим графики зависимости у = aх² и у = - bx - c.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая. Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут: пересекаться в двух точках, касаться (только одна общая точка), не иметь общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1. (рис.1)

y = y=x+6 Ответ: –2; 3

y= y= –4x-4 Ответ: –2
3) (рис.3)

y= y=x–18 Ответ: нет корней

6 способ: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Квадратное уравнение ах²+bх+с=0, где, а≠0.

1) Если, а + b + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = .

Пример: Решим уравнение 9х²–14х+5=0. Решение. Так как а+b+с=0, то х₁ =1, х₂ = Ответ: 1; .

2) Если a–b+c=0, то х₁ = –1, х₂ = –

Пример: Решим уравнение 3х²+11х+8=0.

Решение. Так как а–b+с=0, то х₁=–1, х₂ =– Ответ:–1; –

7 способ: решение уравнений способом «переброски».

Квадратное уравнение ах²+bх+с=0, где а≠0.

Умножим обе его части на а, будет а²х²+аbх+ас=0.

Сделаем замену ах=у, тогда у²+by+ас=0,

найдем его корни у₁ и у_2.

Сделаем обратную замену х₁ = и х₂ = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Пример: Решим уравнение 10х²+5х–5=0.

Умножим обе его части на 10, 100х²+50х–50=0.

Заменим 10х=у, то у²+5х–50=0, у₁= –10 и у₁=5. Ответ: –1; 0,5.

8 способ: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Способ нахождения корней квадратного уравнения ах²+bх+с=0 с помощью циркуля и линейки, где А – центр окружности, А( ).

Окружность проходит через точку В(0; 1). При этом возможны три случая.

1) Окружность пересекает ось Ох в двух точках (уравнение имеет 2 корня).

2) Окружность касается оси Ох (1 корень уравнения).

3) Окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (уравнение не имеет решения).

–2x+5=0(нет решения) –3x–4=0(2 решения) –2x+1=0(1 решение)

9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Способ решения квадратных уравнений с помощью номограммы, помещенной на стр. 83 (Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М.: Дрофа, 2005.)

Номограмма дает значения положительных корней уравнениях²+bх+c=0.

П ример 1: х²–7х+6=0 Ответ:1; 6.

Пример 2: х²+5х+4=0
х=–у, у²–5у+4=0, то у₁=1; у₂=4 и х₁= –1; х₂= –4.

П ример 3: х²–6х+9=0 Ответ: 3

Если уравнение имеет корни разных знаков,

то найдя по номограмме положительный

корень, отрицательный находят, вычитая

из -b положительный корень.

Пример 4: х²–2х–8=0, х₁=4, х₂= –b–4=2–4= –2

Ответ: 4; 2.

В случае если оба корня отрицательны, берут х= –у и находят по номограмме у₁и у₂ уравнения у²–bу+с=0,затемх₁= –у₁; х₂= –у_2.

Если b и с выходят за пределы шкал, выполняют подстановку х=kу,у² +

10 способ: геометрический способ решения квадратных уравнений.

    Арабский учёный аль – Хорезми , который в 825 г. написал книгу «Краткаякнига об исчислении алгебры и алмукабалы», где он показывает геометрический способ решения квадратных уравнений. Пример ставший знаменитым из «Алгебры» ал - Хорезми.

Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, чтобы другая сторона прямоугольника была равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют до нового квадрата, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого

из них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь всего квадрата можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4*2,5х=10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25*4 = 25), т.е.

S = х²+10х+25 т.е
х²+10х+25=39+25
х²+10х+25=64, откуда следует, что сторона квадрата равна 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим: х = 8–2,5–2,5=3 (ал - Хорезми избегал употребления отрицательных чисел).

11 способ: решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Пусть F(х)=ах²+bх+с

Теорема: Остаток при делении многочлена F(х) на многочлен х–а равен значению этого многочлена при х=а. Разложение на множители с помощью угадывания корней: Из теоремы Безу следует, что многочлен F(х) делится без остатка на многочлен х – а тогда и только тогда, когда F(а) = 0. Поэтому для разложения многочлена F(x) на множители достаточно угадать какой-нибудь корень уравнения F(x)=0 и разделить F(x) на x−a, тем самым разложив его на два множителя.

Итак, что дает нам Теорема Безу?

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена и искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если F(а) = 0, то

 F(а)= (x - а) Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0.

Для этого надо:

1. Найти делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а.

2. Найти делители трехчлена : ±с, ±с/а

3. Подставить их в левую часть уравнения и проверить будет ли F(а) = 0, если да, то х- корень уравненияax² + bx + c = 0

4. Разделим ax² + bx +c на (х -а)

5. Остается решить уравнение: Q(x) = 0.

Пример: 5х²+8х–13=0.Найдем делители коэффициента с нашего трехчлена и делители коэффициента а:делители числа –13:  ±1, ±13; делители числа 5:  ±1, ±5; делители трехчлена: ±1, ±13, ± ,± ;Подставим х = -  в левую часть уравнения, получим, что 5• (- )² + 8 • (-  ) – 13 = 0, значит х = -   корень уравнения 5х² + 8х – 13 = 0. Разделим 5х² + 8х – 13на (х +  ). Остается решить уравнение:5х – 5=0, х = 1 Ответ: -  ; 1.

Исследовательская часть

4.1 Практическая часть исследования

Я провела исследование и в ходе последующего анализа, оказалось, что в учебниках по математике достаточно много заданий, связанных с решением уравнений. В таблице представлены результаты подсчёта количества номеров, содержащих уравнения.

Графически изображена статика подсчёта количества номеров, содержащих уравнения. Теперь можно сделать вывод, что каждое 4-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение».

В ходе исследовательской работы я взяла 3 разных квадратных уравнения с целью выявить, какие способы рациональны, трудоемкие, красивые и сложные при решении уравнений. После решения всех уравнений всеми способами я составила таблицу:

По результатам практической работы я определила, что наиболее сложными являются следующие способы:
- решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата;
- решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки;
- решение квадратных уравнений, используя теорему Безу.
Самые рациональные способы решения:
- решение квадратных уравнений по формуле.
Самые трудоемкие способы решения:
- решение квадратных уравнений с помощью разложения левой части;
- решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата;
- решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента;
- решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки;
- решение квадратных уравнений, используя теорему Безу;
- решение квадратных уравнений геометрическим способом.
Самые красивые способы решения уравнений:
- решение квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.
На следующем этапе я решила найти «плюсы и минусы» различных способов решения квадратных уравнений.

4.2 Графический способ решения квадратных уравнений в программе Excel

Заключение

Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Методы решения квадратных уравнений безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

В ходе данной исследовательской работы удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме, изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения различными способами. Нужно отметить, что не все способы решения квадратного уравнения удобны для решения, но каждый по-своему интересен. С помощью уравнений в задачах мы находим связь между величинами, получаем опыт применения математики к решению практических задач. Решение уравнений применяется в строительстве, архитектуре, при составлении прогноза погоды, геологии и т.д. Банально в физике, которая, как известно, применяется повсеместно.  Решение уравнений применяется в куче более специализированных дисциплин, которые уже применяются на практике. 
К примеру - в сопромате, который применяется и в машиностроении, и в архитектуре.В программах для обработки звука, видео, векторной и растровой графики.В различных экономических дисциплинах.

Великий математик У.У. Сойер говорил: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

Список информационных источников

1.Краткий очерк истории математики. Д.Я. Стройк – Москва «Наука». Главная редакция физико– математической литературы, 1984 г.

2. Алгебра. 8 класс: базовый уровень: учебник / Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2024 г.

3. Алгебра. 9 класс: базовый уровень: учебник / Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2024 г.

4.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы.– 8-е изд. стереотип.– М.: Дрофа, 2005 .

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4, 1972 г.

6. http://mat.lseptember.ru/- издательство «Первое сентября. Математика»

7. http://www.proshkolu.ru