XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Мы нашли задачу, в которой, нужно было определить соотношение площадей треугольников, при условии, что во внешний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами треугольника будут вершинами углов вписанного в окружность треугольника. Потом мы нашли подобную задачу про соотношение площадей вписанной и описанной трапеций. Заинтересовались теоретическим и практическим аспектами её решения.
Попытались поискать в справочниках или интернете готовые формулы или алгоритмы, по которым рассчитываются искомые значения. Готовых формул ни в справочниках, ни в интернете найти не удалось. Там можно найти только одну, но очень изящную формулу, по которой рассчитывается радиус вписанной в треугольник окружности в зависимости от его площади (S) и полупериметра (p) или в зависимости от длин сторон треугольника (a, b, c) и полупериметра (формулу Герона , которую изучают в школе) [4].
Поэтому мы решили попробовать свои силы в разработке нужных для решения наших задач формул.
Объектом исследования являются соотношения площадей треугольников и трапеции с определенными сторонами, в которые вписаны окружности, касающиеся их сторон, и точки касания которых образуют вершины новых треугольников и четырех угольников. Предмет исследования – отношения площадей треугольников, трапеций и других четырехугольников, взаимосвязанных между собой определенными условиями.
Методы исследования: сравнение, метод индукции, анализ.
Цель исследования: нахождение формулы подсчета соотношения площадей треугольников, трапеций и других четырехугольников, взаимосвязанных между собой определенными условиями.
Задачи исследования:
-
изучить некоторые теоретические положения, касающиеся треугольников, трапеций и других четырехугольников, вписанных и описанных в окружность, их свойств, нахождения площадей;
2) исследовать задачу, в которой, нужно было определить соотношение площадей треугольников, при условии, что во внешний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами треугольника будут вершинами углов вписанного в окружность треугольника, и подобную задачу про соотношение площадей вписанной и описанной трапеций;
3) рассмотреть возможности практического применения как теоретического материала про соотношения площадей фигур, так и найденных нами формул подсчета соотношения площадей треугольников, трапеций и других четырехугольников, взаимосвязанных между собой определенными условиями.
ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ-ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ
«ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ»
1.1. Решение-исследование задачи
«Отношение площадей треугольников»
Рассмотрим условие задачи: «Дан треугольник АБС, у которого АВ= 5, ВС = 6, СА = 9. В треугольник вписана окружность. Пусть М, К, Т – точки касания этой окружности со сторонами АВ, ВС, СА соответственно. Как связаны площади треугольников МКТ и АВС?»
Сделаем чертежи (см. Рис. 1, 1а, 2):
рисунок 1а
рисунок 1
Рассмотрим четырёхугольник BMOK М = К = 90 (касательная, проведённая к радиусу).
В + МОК = 180 ; = МОК
Аналогично
Используя теорему косинусов найдём
=
=
cosr =
=
рис 2
Пусть треугольник имеет произвольные стороны a, b, c, образующие его.
Используем решение предыдущей задачи:
.
Если пошагово использовать все формулы предыдущей задачи, то для вычисления SMKT получается очень громоздкая формула:
Преобразовать эту формулу нет возможности.Поэтому будем использовать другие формулы для нахождения
.
где
.
Найдём отношение площадей: .
Проверим нашу формулу на первоначальной задаче, где стороны треугольника a=5, b = 6, c = 9:
.
1.2. Решение-исследование задачи
«Отношение площадей трапеций»
Сделаем рисунки (см. Рис. 3, 4).
рис 3
Пусть дана трапеция со сторонами AB=5, BC=4, CD=7, AD=8, т.к. AB+CD=BC+AD, то в такую трапецию можно вписать окружность. Окружность касается трапеции в точках М, К, N, L, Найти отношение .
Проведём BF || CD.
В четырёхугольнике MBKO значит
Аналогично .
Учитывая соотношения всех углов
ABF; AB=5см; ВF=7см, AF= AD-BC = 8-4 = 4см
По формуле Герона
,
,
,
,
,
,
ABH; AB=5; BH = ,
,
CDH; CD= 7; ,
,
.
.
.
рис 4
Попробуем обобщить эту задачу.
В трапецию ABCD (AD || BC) вписана окружность, точки касания которой со сторонами AB, BC, CD, DA – соответственно M, N, K, L. Как связаны площади трапеции и четырёхугольника MNKL, если известны стороны трапеции AB = a, BC=b, CD = c, AD=d?
Из предыдущей задачи мы уже знаем Будем использовать эту формулу. ПроведёмBF || CD.
ABF: AB=a; BF=CD=c; AF = AD-BC = d – b
,
.
,
,
,
,
,
ABH: AB=a; ;
CDH: CD = c,
,
но т.к. в ABCD вписана в окружность, то с+a=b+d, тогда
.
Берём трапецию, где a=5, b=4, c=7 и d = 8. Подставляем эти данные в нашу формулу и получаем .
Неоднократно проверив на других параметрах трапеций, в которые можно вписать окружность, приходим к выводу, что формула работает.
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
«ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ»
Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.
А.Н.Крылов
Где же на практике можно применить «отношения площадей»? Обратимся к литературным источникам.
Отношение площадей в архитектурной и инженерной практике используется для оценки проектов на стадии проектирования и сравнения вариантов. Для этого применяют различные технико-экономические показатели, например:
1) планировочный коэффициент. Он равен отношению жилой площади дома к его общей площади. По этому коэффициенту оценивают планировку дома с точки зрения доли подсобных помещений: если она значительна, то экономическая эффективность планировки снижается;
2) объёмный коэффициент. Он равен отношению строительного объёма здания к его общей площади. Планировочное решение жилого здания оценивают с точки зрения расхода затрат на отопление: чем больше объёмный коэффициент, тем больше будут затраты на отопление и, следовательно, ниже экономичность;
3) коэффициент наружных стен. Его считают как отношение площади наружных ограждающих конструкций к общей площади здания. Чем меньше коэффициент, тем меньше расходы материалов и эксплуатационные затраты, и тем экономичнее проект;
4) коэффициент застройки. Это отношение площади застройки к площади всего участка;
5) коэффициент плотности застройки. Он определяется как частное от соотношения общей площади здания к площади участка строительства (квартала) [3].
Отношение площадей в определении площади земельного участка:
1) если участок состоит из нескольких частей, то его площадь складывается из площадей этих частей;
2) для сравнения размеров участков земли. Например, если участок А в 3 раза больше участка Б, значит отношение их площадей равно 3. Это позволяет быстро сравнивать участки [2].
В геометрии отношение площадей применяют для
1) вычисления площади сложной геометрической фигуры. Её находят как сумму площадей простых фигур, из которых можно сложить исходную фигуру.
2) решения задач с подобными треугольниками. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия;
3) нахождение площади треугольника, который отсекает средняя линия от другого треугольника. Для этого нужно применить теорему об отношении площадей подобных треугольников, так как треугольники подобны из-за равных углов и пропорциональных сторон [4].
Отношение площадей применяется в картографии при масштабировании. Известно, что при уменьшении масштаба карты в 2 раза, площади объектов уменьшаются в 4 раза. Зная отношение площадей, можно рассчитать реальные размеры [1].
В физике отношение площадей применяется при вычислении давления – оно равно отношению силы к площади. А в химии позволяет рассчитать концентрацию вещества.
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе исследования мы узнали о применении «соотношения площадей», изучили необходимые нам понятия и термины. Выяснилось, что формула «соотношения площадей» еще находится на стадии поиска.
Новизна работы в собственной творческой работе по выводу формулы подсчета соотношения площадей треугольников, трапеций и других четырехугольников, взаимосвязанных между собой определенными условиями.
Практическое применение исследования заключается в возможности использования полученных формул на практике.
В работе 1) отражены некоторые теоретические положения, касающиеся нашего исследования; 2) представлена работа над формулой подсчета соотношения площадей треугольников, трапеций и других четырехугольников, взаимосвязанных между собой определенными условиями; 3) рассмотрены возможности практического применения «отношения площадей».
Конечно, нельзя утверждать, что представленное решение задачи действительно верно, оно должно быть подвергнуто проверке.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Масштабы карт и свойства масштабов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://pro.arcgis.com/ru/pro-app/latest/help/mapping/navigation/map-scales-and-scale-properties.htm. – Дата доступа: 30.03.2025.
2. Определение площади участков местности [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://lu.belstu.by/wp-content/uchebnaya-rabota/dnevnoe/lh/inzhenernaya-geodeziya/lekciya-15-ing-geod.pdf – Дата доступа: 30.03.2025.
3. Отношение площадей в архитектурной и инженерной практике [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ya.ru/neurum/c/drugoe/q/kak_ispolzuetsya_otnoshenie_ploschadey_v_arhitekturnoy_6494a89a – Дата доступа: 30.03.2025.
4. Формула Герона: что это такое и как её применять [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://mathema.me/ru/blog/formula-gerona/#:~:text=%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%– Дата доступа: 15.02.2025.