XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Фракталы и геометрическая прогрессия
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение
Цель данной работы – принять участие в исследовательской деятельности по математике, рассмотрев вопросы достаточно молодой области её развития, а именно фрактальной геометрии, связав это самостоятельно с темой «Геометрическая прогрессия».
Задачи работы:
1. Изучить материал по выбранной теме, учитывая пока только уровень математики основной школы и уровень подготовки учеников шестого класса.
2. Дополнить этот материал (рассматривая рисунки фракталов) связью с различными геометрическими прогрессиями.
Объект исследования – фракталы. Предмет исследования – чертежи, позволяющие увидеть элементы, соответствующие геометрическим прогрессиям.
Гипотеза – в ряде случаев чётко видно, что число элементов фрактала нарастает в виде геометрической прогрессии.
Методы – после изучения теории по фрактальной геометрии и о геометрической прогрессии проведение анализа рассмотренного материала и поиск параметров геометрической прогрессии, способной описать количество элементов фрактала на любом шаге построения.
Новизной в работе был самостоятельный поиск математических закономерностей в новой и очень красочной области математики, фрактальной геометрии, с целью создания методической разработки, дополняющей в процессе изучения тему о геометрических прогрессиях яркими примерами фракталов и чертежей.
Практическая значимость работы: она может использоваться для элективных и факультативных занятий со школьниками, показывая им наглядно красоту математики, вызывая желание более увлечённо заниматься этой наукой, являющейся основой и фундаментом множества других наук и технологий. Источники информации по выбранной теме: учебники по математике и сведения из интернета.
2. Создатель фрактальной геометрии. Мандельброт – новый Евклид
Бенуа́ Мандельбро́т – французский и американский математик, который является создателем фрактальной геометрии. Он родился в Варшаве. Годы жизни: 20.11. 1924 – 14. 10. 2010. Мать – врач; отец – галантерейщик. В 1936 г. семья переехала в Париж, где жил дядя – известный парижский математик.
Мандельброт обладал необычным математическим даром: пространственным воображением высочайшего уровня. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом, что позволило ему поступить в университет в Париже. Затем он окончил Калифорнийский технологический институт в США. Вернувшись во Францию, Мандельброт получил в 1952 году в университете в Париже докторскую степень. А в 1958 году учёный начал работать в научно-исследовательском центре IBM в США. Здесь он ушёл в сторону от прикладных проблем компании. Ему нравилось переключаться с одной темы на другую. Интересы учёного: лингвистика, теория игр, экономика, аэронавтика, география, физиология, астрономия и физика.
Бенуа Мандельброт – Лауреат премии Вольфа по физике (1993 г.), второй по значимости после Нобелевской. Формулировка при награждении: «За осознание широкого распространения фракталов и развитие математических методов для их описания».То есть учёный изменил и дополнил математические представления об окружающем мире, о природных объектах [1].
В области экономики Бенуа Мандельброт установил, что, казалось бы, произвольные колебания цен явно придерживаются скрытого математического порядка, который не получится описать обычными стандартными кривыми. Например, колебания цен на хлопок. В течение дня они выглядят случайными, но учёному удалось проследить тенденцию их изменения, выявив симметрию в длительных колебаниях цены и кратковременных, что удивило экономистов.
В 1967 году учёный-новатор опубликовал работу «Какова длина побережья Великобритании?», где описано первое исследование по фрактальной геометрии. Так он получил (рис.1):
«Длина береговой линии Великобритании зависит от способа её измерения: если она измеряется отрезками по 100 км, то она составляет примерно 2 800 км; а если используются отрезки по 50 км — приблизительно 3400 км, что на 600 км больше».
Рис. 1. Получение длины береговой линии Великобритании
Используя компьютеры IBM, где работал учёный, он создал графические изображения, сформированные на основе множества Мандельброта (рис.2).
Рис. 2. Множество Мандельброта
Это множество – один из самых известных фракталов. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга.
3. Сведения из курса математики, необходимые в данной работе
3.1. Общие сведения о фрактальной геометрии
Слово «фрактал» (от латинского «fractus» – ломанный, разбитый или англ. «fraction» – доля) введено в 1975 году самим Бенуа Мандельбротом.
Сопоставляя классическую геометрию с новой – фрактальной геометрией Мандельброт увидел, что природа демонстрирует совсем другой уровень сложности: контуры гор, береговых линий, облака и т. д.
Как математик он в своё время отмечал: «Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не круги, кора – не гладкая, а молния не движется по прямой линии».
Для описания этих объектов нужна новая геометрия. Существующая более двух тысяч лет евклидова геометрия работает с искусственными, воображаемыми объектами. А какова размерность клубов дыма, облака, а точнее, их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха? Выяснилось, что она – дробная величина [2]. Фрактальны по своей структуре кровеносная система, нервная система, корневая система растений [3].В динамике функций мозга, сердца и электрически активных клеток, регистрируемых электрическими методами, обнаружены хаотические изменения – тоже фракталы. Фрактальная геометрия – это геометрия хаоса, а для изучения реальных процессов применяется именно теория хаоса.
Бенуа Мандельброт выделил интересное свойство фракталов – самоподобие – сколь угодно малая часть фрактала оказывается просто уменьшенной копией целого.
Фракталами называют множества, обладающие свойством самоподобия (то есть объект в точности или приближённо совпадает с частью себя самого: целое имеет ту же форму, что и одна или более его части). Они имеют дробную метрическую размерность и отличаются от обычных геометрических фигур, которые ограничены конечным числом звеньев.
Примеры фракталов
1.Кривая Коха
Чтобы получить кривую Коха надо взять какой-либо отрезок и вырезать в его середине третью часть. Далее вставляем в эту середину два отрезка как вырезанный. Получается треугольник, одна сторона которого не изображена. Таким образом, полученная кривая будет состоять из 4 равных частей. Далее построение повторяем. В результате каждая часть ломаной подобна всей кривой с коэффициентом подобия равным 1/3. Ломаная состоит из 4ⁿ отрезков длины 1/3ⁿ и её периметр равен (4/3)ⁿ. Построение показано на рисунке 3[4].
Рис. 3 Кривая Коха
2.Канторово множество
Вырезают 1/3 в середине отрезка. Далее повторяют это построение. То есть остаётся 2 отрезка по 1/3 от исходного. Построение показано на рисунке 4.
Рис. 4. Канторово множество
3.Канторова пыль на квадрате
Построение: из исходного единичного квадрата путём удаления «креста» получают 4 новых квадрата со сторонами r, где 0<r<1/2. Рисунок 5.
Рис. 5. Канторова пыль на квадрате
4. Ковёр Серпинского (Двумерный аналог множества Кантора.)
Квадрат делят на 9 частей как 3х3 (рис.6). Средний квадрат вырезают. Остаётся фигура из 8 квадратов, длина сторон которых 1/3 от длины сторон исходного квадрата. Далее построение повторяют.
Рис. 6 . Ковёр Серпинского
5. Салфетка (треугольник) Серпинского
Двумерный аналог множества Кантора (рис.7). Равносторонний треугольник делят на 4 равных треугольника. Средний треугольник вырезают. Остаётся фигура из 3 треугольников, длина сторон которых равна 1/2 от длины сторон исходного квадрата. Далее построение повторяют [3].
Рис. 7. Салфетка Серпинского
6. Дерево Пифагора
За основу берётся известный чертёж «пифагоровы штаны во все стороны равны». Используем равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 8). У «дерева» есть свойство: если площадь первого квадрата 1, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже 1[5].
Рис.8. Дерево Пифагора
Имеется огромное количество фракталов. Интересные примеры представлены на рис.9 «Галерея фракталов».
Рис.9. Галерея фракталов
Природные объекты, не являются фракталами в точном смысле слова. Однако для расчётов можно подобрать соответствующий фрактал.
3.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии – это числовые последовательности определённого вида. Сравним эти прогрессии [6].
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность вида
а1, а1+d, а1+2d, а1+3d, …, а1+ (n-1)d,…
Это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего, если к нему прибавить постоянное для данной прогрессии число d, называемое шаг или разность прогрессии. То есть,
аn = аn-1+d.
Наглядно смысл формулы представлен на таком примере (рис. 10 а):
Рис.10 а. Наглядный образ для 5-го члена арифметической прогрессии
Любой член арифметической прогрессии можно получить по формуле
аn = а1+(n-1)d.
Наглядный образ, для пятого члена арифметической прогрессии (рис.10 б):
Рис.10 б. Наглядный образ для 5-го члена арифметической прогрессии
Прогрессия может быть возрастающей (d >0) и убывающей (d <0).
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел b1, b2, b3, … (называемые членами прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на какую-либо постоянную q, которая не равна нулю. Этот множитель называется знаменатель прогрессии.
Таким образом, должно быть так, чтобы b1≠0 и q≠0, а
b n+1= bn• q иb n= b1• qn-1.
Наглядный образ в данном случае на рисунке 11, где b1=1, а q=3.
Рис. 11. Количество яблок увеличивается в геометрической прогрессии
4. Авторские исследования
Изучая изображения фракталов и принципы их построения, неизбежно приходишь к выводу, что здесь присутствует геометрическая прогрессия. А именно, на примере достаточно простых фракталов видно, что число элементов фрактала для каждой итерации нарастает в геометрической прогрессии.
Рассмотрим примеры, если известно, что
bn= b1 • qn-1.
1.Кривая Коха. b1=1, а q=4.
Например, для итерации 2, шаг 3 (начало –«шаг 1»). Число элементов фрактала (3-й член геометрической прогрессии):
b3= b1 • q3-1=1• 42=16,
что видно по рис. 3. На том же рисунке для итерации 3, шаг 4.
b4= b1 • q4-1=1• 43=64.
Сумма элементов за 3 шага (сумма n первых членов геометрической прогрессии, 3-х):
=63:3=21.
2. Канторово множество. b1=1, а q=2.
b4= b1 • q4-1=1• 23=8, что видно по рисунку 4.
S4 = 1• (24-1) :(2-1)=15.
3. Канторова пыль на квадрате. b1=4, а q=4.
b3= b1 • q3-1=4• 42=64, что видно по рисунку 5.
S3 = 4•(43-1) : (4 -1)=84.
4. Ковёр Серпинского. b1=1, а q=8.
b3= b1 • q3-1=1• 82=64, что видно по рисунку 6.
S2 = 1•(82-1) : (8 -1)=9.
5. Салфетка Серпинского. b1=3, а q=3.
b2= b1 • q2-1=3• 31=9, что видно по рисунку 7.
S2 = 3•(32-1) : (3 -1)=12.
6. Дерево Пифагора. b1=1, а q=2.
b3= b1 • q3-1=1• 22=4, что видно по рисунку 8.
S3 = 1•(23-1) : (2 -1)=7.
5. Заключение
Язык математики открывает безграничные возможности для решения многих вопросов. А изучение фракталов представляет большой интерес для исследователя и автору преставилась возможность попытаться выполнить собственную разработку.
Практическая значимость работы: она может использоваться для элективных и факультативных занятий со школьниками, показывая им наглядно красоту математики.Материал данного проекта предполагается использовать на уроках при изучении темы «Геометрическая прогрессия».
6. Список использованных источников и литературы
1. Википедия Мандельброт – URL: http://www ru. MobiPower.ru/modules.php (дата обращения: 08.07.2024).
2. Википедия фракталы– URL: http://www ru. MobiPower.ru/modules.php (дата обращения: 05.09.2024).
3. Жиков В. В. Фракталы. //СОЖ. 1996. №12.
4. Википедия Кривая Коха – URL: http://www ru. MobiPower.ru/modules.php (дата обращения: .19.09.2024).
5. Википедия дерево Пифагора – URL: http://www ru. MobiPower.ru/modules.php (дата обращения: 12.09.2025).
6. Макарычев, Ю. Н. Алгебра – 9 / Ю.Н. Макарычев, К. И. Нешков, Н. Г. Миндюк – М: Просвещение, 2024. – 256 с.