XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Практическое применение правильных многоугольников и многогранников

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Макарова А.А. 1

---

1МАОУ "СОШ г.Суздаля"

Плотникова Т.В. 1

---

1МАОУ "СОШ г.Суздаля"

Работа в формате PDF

4.6 MB

Введение

„В мире нет места для

некрасивой математики”.

На уроках геометрии мы изучаем различные фигуры, их свойства и признаки. В 9- м классе мы изучали тему «Правильные многоугольники» и меня стало интересно, а где же правильные многоугольники применяются в окружающем нам мире? Изучая дополнительную литературу, я узнала, что правильные многоугольники и правильные многогранники находят широкое применение в технике, природе, строительстве, быту. Мне стало интересно: каким же причинам эти фигуры имеют такое преимущество?

Цель работы: выявить основные причины применения правильных многоугольников и правильных многогранников.

Задачи:

1. Изучить информационные источники о правильных многоугольниках и правильных многогранниках.

2. Изучить области применения правильных многоугольниках и правильных многогранниках.

3. Выявить основные причины использования правильных многоугольников и правильных многогранников в технике, природе, строительстве, быту.

4. Изучить способы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

5. Провести практическую работу: изготовление образцов паркетов.

Объект исследования: правильные многоугольники и правильные многогранники.

Предмет исследования: основные причины использования правильных многоугольников и правильных многогранников в технике, природе, строительстве, быту.

Данная работа предназначена для учащихся, интересующихся математикой. Может быть использована учителями математики во внеурочной деятельности.

Основная работа

§1. История изучения правильных многоугольников

Изучив историю изучения правильных многоугольников, я узнала, что:

• история правильных многоугольников уходит в глубокую древность. Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые;

• начиная с 7 века до н.э. в Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах имели размышления, с помощью которых можно было получать новые геометрические свойства;

• одной из самых первых была Пифагорейская, названная в честь её основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма – правильный пятиугольник. Считалось, что пентаграмма защищает от злых духов;

• Евклид внёс вклад в развитие геометрии и изучения правильных многоугольников в третьем томе своей работы «О началах»; 

• Архимед занимался изучением правильных многогранников, ему принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников;

• Герон Александрийский (I в.) вычислил длины сторон правильных многоугольников, не допускающих точного построения;

• учёные эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер и Леонардо да Винчи предложили методы построения правильных многоугольников, чтобы облегчить построение правильных фигур художникам и архитекторам;

• Иоганн Кеплер - немецкий астроном в XVII веке - занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников, описал два звёздчатых многогранника: большой звёздчатый додекаэдр и малый звёздчатый додекаэдр. 

• Большое внимание изучению правильных многогранников уделял Платон, в честь которого они и названы «Платоновы тела». Он каждой из четырёх стихий Земле, Воздуху, Воде и Огню сопоставил определённый правильный многогранник. Куб или гексаэдр предназначался Земле, октаэдр - воздуху, икосаэдр - воде, а тетраэдр - огню. По поводу додекаэдра, Платон писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

§2. Понятия правильного многоугольника, правильного многогранника. Свойства правильных многоугольников.

п.2.1 Основные понятия:

Многоугольник – это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки между ними сторонами.

Многоугольников существует бесконечное множество, и они отличаются друг от друга по свойствам. Вид многоугольника зависит от количества его углов, так если в фигуре 3 угла это треугольник, 4- четырёхугольник и т.д., фигуру с n количеством углов принято называть n-угольником.

Рис1.Разные многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Самые распространенные правильные многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и шестиугольник.

Табл.1. Правильные многоугольники.

п.2.2.Основы геометрии правильных многоугольников:

• Свойства правильного треугольника:

1.Высота, проведенная из вершины правильного треугольника, также является

медианной и биссектрисой.

2.В правильном треугольнике высоты медианы и биссектрисы

пересекаются в точке, которая называется центром правильного треугольника,

и которая является центром вписанной и описанной окружностей.

3.Центр правильного треугольника делит высоты в отношении 2 к 1, считая от вершины.

4. Некоторые формулы для правильного (равностороннего) треугольника:

Площадь: S = (√3 × a²) / 4, где a — длина стороны треугольника.

Высота: h = (√3 × a) / 2, где a — длина стороны треугольника.

Периметр: P = 3a, где a — длина стороны треугольника.

Радиус вписанной окружности: r = a / (2√3) или r = h / 3.

Радиус описанной окружности: R = a / √3 или R = h / √3.

• Свойства квадрата:

1. Диагонали квадрата равны.

2. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам.

3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

5. Некоторые формулы для вычисления элементов правильного четырёхугольника(квадрата):

Площадь квадрата S = a².

Периметр квадрата P = 4a.

Диагональ квадрата d = a·√2

Радиус описанной окружности R= a·√2/2

Радиус вписанной окружности r=а/2

• Свойства пятиугольника(пентагона):

1. Углы равны по 108 градусов.

2. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

3. Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.

4.Количество диагоналей соответствует 5.

5.Биссектрисы, проведенные через центр, равны.

6.Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.

7.Некоторые формулы для вычисления элементов правильного пятиугольника:

Сторонаa = 2r · tg(180°/5), a = 2R · sin(180°/5).

ПлощадьS = (5/4) a² · ctg(π/5), S = (5/2) r² · tg(π/5), S = (5/2) R² · sin(2π/5).

Радиус описанной окружности (R) правильного пятиугольника со стороной a: R = a / (2 · sin(180°/5)).
Радиус вписанной окружности (r) правильного пятиугольника со стороной a: r = a / (2 · tg(180°/5)).

• Свойства правильного шестиугольника:

1. Все стороны равны между собой.

2. Сторона равна радиусу описанной вокруг шестиугольника окружности. 

3. Большая диагональ — диаметр описанной окружности и равна двум сторонам. 

4. Меньшая диагональ в корень из 3 раз больше стороны. 

5. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.

6. Сумма внутренних углов шестиугольника равна 720.

7. Каждый внешний угол правильного шестиугольника равен 60° .

8. Окружность, описанная около шестиугольника, проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам многоугольника.

9. Окружность, вписанная в шестиугольник, касается всех его сторон в их серединах. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника. 

10. Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника, — биссектриса, то есть делит угол правильного шестиугольника, равный 120°, пополам. 

11. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить с помощью формулы: S = (3√3 × a²) / 2, где a — длина одной из сторон.

п.2.3 Виды правильных многогранников:

Правильных многогранников пять: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Табл.2. Правильные многогранники.

§ 3. Применение правильных многоугольников, правильных многогранников в окружающем нас мире.

п.3.1 Применение правильных многоугольников и многогранников в природе:

В природе часто встречаются разнообразные правильные многоугольники. Природа создала бесконечное множество сложных, удивительно красивых, легких, прочных и экономичных конструкций, компонуя правильные многоугольники.

1. П челиные соты представляют собой правильную призму, в основании которой находится правильный шестиугольник. Пчёлы геометрию не изучали, но природа наделила их талантом строить себе дома в форме геометрических фигур. На этих шестиугольниках пчёлы выращивают из воска ячейки. В них пчёлы и откладывают мёд, а за тем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска.

2. С нежинка — одно из самых прекрасных созданий природы. Природная шестиугольная симметрия проистекает из-за свойств молекулы воды, которая имеет гексагональную кристаллическую решетку, удерживаемую водородными связями, и это позволяет ей иметь в условиях холодной атмосферы структурную форму с минимальной потенциальной энергией. Красота и разнообразие геометрических форм снежинок по сей день считается уникальным природным явлением.

3. Кристаллы поваренной соли и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба и октаэдра соответственно. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

4. С келет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок.

5. Многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра.

6. М орские звезды имеют форму правильных пятиугольников.

п.3.2 Применение правильных многоугольников и многогранников в деятельности человека:

Но не только природа, но и человек использует правильные многоугольники в своей деятельности. Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники.

1. Правильные многоугольники используются в работах художников, например:

• Леонардо да Винчи — увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

• Сальвадор Дали — на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

• Альбрехт Дюрер — в гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр.

2. Правильные многоугольники используются в создании схем и чертежей, важны для точных измерений и расчётов. Например:

• Древнеегипетские пирамиды. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам в форме тетраэдра. Египетские пирамиды имеют большое прочное основание, которое позволило людям в то время построить настолько высокие сооружение, которые и в наше время с читаются чудом света и архитектурным шедевром античности.

3. Здание министерства обороны США — построено в форме правильного многоугольника — пентагона. Пятиугольную форму здания подсказал план местности: в том месте проходили несколько дорог, которые пересекались под углом 108 градусов, а это и есть угол построения пятиугольника. Занимает 14-ю строчку в списке крупнейших зданий и сооружений мира (по площади помещений).

• Стеклянный тетраэдр в Лувре. Простая форма контрастирует со зданием музея, который выполнен в строгом стиле французского классицизма.

• Национальная библиотека, расположенная в восточной части столицы Беларуси, города Минска. Белорусская библиотека построена в стиле модерн с использованием сложных геометрических фигур

• Центральная библиотека в Ницце, Франция. Французы расположили свою библиотеку внутри гигантского куба.

4. Правильные геометрические фигуры используются при оформлении парков и дизайне бытовых интерьерных решений.

5. Архитектор Р.Б. Фуллер придумал как заполнить пространство тетраэдрами и октаэдрами. Система решеток Фуллера нашла широкое применение в строительных конструкциях из алюминиевых трубок, образующих ребра сот, имеющих форму правильных тетраэдров и октаэдров. В конструкциях Фуллера максимальная жесткость достигается при минимальных массе и стоимости

6. Правильные многоугольники нашли широкое применение в быту и народных промыслах. Формы правильных многогранников также используются в бытовых предметах и упаковке товаров: чайные и молочные пакеты, коробочки, различные сувениры и многое другое.

7. Используются правильные геометрические фигуры и в играх, занимательных, развивающих задачах. Примерами служат магические квадраты, танграмм, Кубик-Рубика, шахматная доска, набор кубиков - одна из самых популярных детских игр, которая состоит в том, чтобы построить из многогранников объект. Использование правильных многоугольников в стратегических играх может привести к более эффективным решениям и оптимизации ресурсов.

§4. Основные причины использования правильных многоугольников, правильных многогранников в окружающем нас мире.
Проанализировав различные области применения правильных многоугольников и правильных многогранников в окружающем нас мире, я пришла к выводу, что основные причины их использования, следующие:

1. Простота. Правильные многоугольники и правильные многогранники довольно просты в построении. Нет необходимости выдумать какие-то сложные конструкции.

2. Эстетичность. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, красоту. Правильные многоугольники и многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать пытливые умы симметрий, мудростью и совершенством форм.

3. Устойчивость. Тетраэдр и куб обладают устойчивостью, поэтому они находят широкое применение в архитектуре и строительстве.

4. Оптимальность. Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Например:

• самые искусные геометры - пчёлы. Они строят соты из шестиугольников. В правильный шестиугольник поместится больше мёда, а зазоры между ячейками будут наименьшими, кроме того шестиугольники имеют наименьшее значение отношения площади к периметру, что позволяет пчелам экономить воск и время на постройку сот;

• знаменитые сетчатые перекрытия Фуллера – это решетчатые конструкции, в которых максимальная жесткость достигается при минимальных массе и стоимости.

§5. Построение правильных многоугольников.

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. В стародавней Греции умение строить только с помощью циркуля и линейки считалось верхом совершенства.

Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

И зучив историю решения задачи на построение правильных многоугольников, я узнала:

• е ще в глубокой древности была поставлена практическая задача построения правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Решение этой задачи можно найти в трудах древнегреческих ученых Архимеда, Евклида, Пифагора, математиков XYII - XIX веков.

• В 4 книге своих „ Начал” Эвклид с помощью циркуля и линейки решает задачу построение правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника и пятнадцатиугольника. 

• На протяжении многих лет усилия математиков были направлены на нахождение способов правильных семиугольников, девятиугольников, одиннадцатиугольников и т. д. Но они были безрезультатными. 

• В эпоху возрождения развитие готического стиля и широкое применение витражей в строительстве соборов также заставило вернуться к задачам построения правильных многоугольников.

• А льбрехт Дюрер осуществил новое построение правильного пятиугольника, передав потомкам средневековый способ построения постоянным раствором циркуля.

• Альбрехт Дюрер решил задачу построения правильного восьмиугольника;

• в конце ХVIII столетия Карл Гаусс доказал возможность построения правильного 17-угольника;

Построение правильных многоугольников, то есть деление окружности на равные части, позволяло решать практические задачи. Вот некоторые из них:

• создание колеса со спицами;

• деление циферблата часов;

• строительство античных театров;

• создание астрономических сооружений.

Способы построения правильных многоугольников – разные: точные и приближенные, простые и сложные. Рассмотрим самые простые из них:

Задача1: построить правильный треугольник АВС, сторона которого равна а.

  1. На произвольной прямой выбираем точку А и при помощи линейки откладываем на этой прямой отрезок АС = а.

2. Строим две окружности одинакового радиуса а – с центром в точке А и с центром в точке С (на рис. фрагменты окружностей показаны пунктиром). Для этого ножки циркуля с помощью линейки разводим на нужное расстояние.

3. Находим точку В - точку пересечения этих окружностей и соединяем ее с точками А и С.

4. Получили искомый правильный треугольник АВС.

Задача 2: построить правильный шестиугольник со стороной а.

  1.Длина его стороны равна радиусу описанной окружности:  .

2. Построим окружность с центром в произвольной точке О и радиусом  .

Угол между ножками циркуля не меняем.

3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точку А₁ на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку А₂ и соединим ее с точкой А₁. Получим первую сторону шестиугольника.

4. Повторив те же действия еще 4 раза, получим остальные вершины искомой фигуры.

5. В результате получим A1 … А6 – правильный шестиугольник с центром в точке О.

Знания по их построению правильных многоугольников открывают людям широкий спектр для создания красивых узоров (в следующей главе поговорим об этом подробнее).

На одном из уроков геометрии мы с одноклассниками учились строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки. Вот что у нас получилось:

§6. Мой дизайн паркета из правильных многоугольников

Паркет– это покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют или общую сторону, или общую вершину, или вообще не имеют общих точек.

Условия для построения паркетов следующие:

1. В каждой точке сумма углов многоугольников должна быть – 360 градусов.

2. Все многоугольники должны иметь стороны одинаковой длинны.

3. Многоугольники должны заполнять всю плоскость и не пересекаться

 Мои авторские рисунки паркетов:

Заключение

Работая над проектом, я убедилась в том, что с правильными многоугольниками и многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни. Они находят широкое применение в быту, искусстве, архитектуре, строительстве, в живой и неживой природе, играх и народных промыслах. Причём сама жизнь и природа подсказывают нам самые правильные варианты их применения. Основными причинами их использования являются: простота использования,эстетичность, устойчивость, оптимальность.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия 7-9.- М.: Просвещение, 2014.-383 с.

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многоугольник

3. http://www.treugolniki.ru/chto-takoe-kvadrat/

4. https://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/85022-pravilnyi-piatiygolnik-postroenie-svoistva-i-formyly.html#i-4

5. https://www.windoworld.ru/collection/buildings

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Пентагон

7. https://lc.rt.ru/classbook/matematika-9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga-profilnyi-uroven/5854