XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИЗНЕС-РЕШЕНИЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ооржак А.А. 1

---

1МБОУ «Восяховская СОШ «Образовательный центр»

Оооржак Буянмаа Бопуевна 1

---

1МБОУ "Восяховская СОШ"ОЦ""

Работа в формате PDF

298.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Современная экономика характеризуется высокой степенью сложности и неопределённости, что делает процесс принятия управленческих решений особенно ответственным. В этих условиях математические модели становятся важным инструментом анализа и прогнозирования экономических процессов¹.

Формализация экономических зависимостей позволяет исследовать влияние различных факторов, находить оптимальные решения и оценивать последствия принимаемых решений. Особенно актуально применение математических методов в условиях цифровизации бизнеса и широкого использования информационных технологий.

Аннотация

В данной работе исследуется применение математических методов для анализа и оптимизации экономических процессов. Рассматриваются основные разделы математики, используемые в экономике и информационных технологиях: математический анализ, линейная алгебра, теория графов и дискретная математика.

В рамках исследования разработана математическая модель прибыли предприятия, позволяющая определить оптимальный объём производства при заданных ограничениях. Также реализован сценарный анализ, позволяющий исследовать различные экономические ситуации. Все математические модели реализованы в виде программного продукта с графическим интерфейсом и визуализацией результатов.

Работа носит прикладной характер и демонстрирует, что математическое моделирование является эффективным инструментом принятия обоснованных экономических и бизнес-решений.

Целью исследования является разработка и исследование математической модели экономических процессов, позволяющей определить оптимальные бизнес-решения при заданных ресурсных ограничениях, а также программная реализация данной модели для подтверждения её практической применимости.

Задачи исследования:

1. Проанализировать возможность формализации экономических процессов с использованием математического аппарата.

2. Построить математическую модель прибыли предприятия.

3. Исследовать модель методами математического анализа.

4. Рассмотреть задачу оптимизации при наличии ограничений.

5. Реализовать разработанную модель в виде программного продукта.

6. Провести вычислительный эксперимент и проанализировать полученные результаты.

Гипотеза исследования заключается в предположении, что экономические процессы, связанные с формированием прибыли предприятия, могут быть адекватно описаны с помощью математической модели, основанной на методах математического анализа и оптимизации, а применение данной модели позволяет определить оптимальные бизнес-решения и повысить эффективность управления экономическими ресурсами.

Объектом исследования являются экономические процессы, возникающие при планировании объёма производства и формировании прибыли предприятия в условиях ограниченности ресурсов.

Предметом исследования являются математические модели экономических процессов и методы их оптимизации, включающие использование производных, аналитическое исследование функций и алгоритмическую реализацию полученных решений.

Методы исследования

В ходе выполнения работы использовались следующие методы исследования:

• анализ научной и учебной литературы по математике и экономике;

• математическое моделирование экономических процессов;

• методы математического анализа (исследование функций, нахождение экстремумов);

• алгебраические методы и элементы линейной алгебры;

• методы оптимизации при наличии ограничений;

• алгоритмические методы и программная реализация математических моделей;

• вычислительный эксперимент;

• анализ и интерпретация полученных результатов;

• графическая визуализация данных.

Глава I. Теоретические основы исследования

1.1. Математический анализ в экономике

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и издержками:

P(x)=R(x)−C(x),P(x) = R(x) - C(x),P(x)=R(x)−C(x),

где xxx — объём производства, R(x)R(x)R(x) — функция выручки, C(x)C(x)C(x) — функция издержек.

Для нахождения оптимального значения используется производная функции прибыли. Если выполняются условия

P′(x0)=0,P′′(x0)<0,P'(x_0) = 0,\quad P''(x_0) < 0,P′(x0​)=0,P′′(x0​)<0,

то точка x0x_0x0​ соответствует максимуму прибыли [2].

1.2. Алгебраические модели в экономике

Линейные и квадратичные функции широко применяются для описания экономических зависимостей, таких как рост затрат, изменение спроса и динамика прибыли. Квадратичные модели позволяют учитывать эффект убывающей отдачи и получать аналитическое решение задачи оптимизации.

1.3. Оптимизация и дискретная математика

Задачи оптимального выбора при наличии ограничений относятся к теории оптимизации и дискретной математике. В практических задачах такие модели реализуются алгоритмически с использованием компьютерных программ.

Глава II. Математическая модель прибыли

2.1. Построение модели

В работе используется квадратичная модель прибыли предприятия:

P(x)=ax2+bx+c,P(x) = ax^2 + bx + c,P(x)=ax2+bx+c,

где коэффициенты aaa, bbb, ccc задаются пользователем и отражают конкретную экономическую ситуацию.

Первая производная функции равна:

P′(x)=2ax+b.P'(x) = 2ax + b.P′(x)=2ax+b.

Приравнивая её к нулю, получаем оптимальный объём производства:

x=−b2a.x = -\frac{b}{2a}.x=−2ab​.

Вторая производная:

P′′(x)=2a.P''(x) = 2a.P′′(x)=2a.

Если a<0a < 0a<0, то P′′(x)<0P''(x) < 0P′′(x)<0, следовательно, найденная точка соответствует максимуму прибыли.

2.2. Учёт ограничений

В реальных условиях объём производства ограничен ресурсами:

x≤xmax.x \leq x_{\text{max}}.x≤xmax​.

Если аналитически найденное оптимальное значение превышает допустимое, в качестве оптимального решения выбирается граничное значение xmaxx_{\text{max}}xmax​. Таким образом, рассматривается частный случай оптимизационной задачи.

Глава III. Программная реализация и экспериментальные результаты.

3.1 Практическая значимость и использование результатов.

Для проверки работоспособности модели разработан программный продукт на языке Python с использованием графического интерфейса Tkinter. Программа позволяет вводить параметры модели, задавать ограничения, автоматически находить оптимальное решение и строить график функции прибыли(см. Приложение 2).

В ходе вычислительных экспериментов установлено, что при отрицательном коэффициенте aaa функция прибыли имеет единственный максимум. Программная реализация подтверждает аналитические выводы, полученные при исследовании модели. (см. Приложение 3).

3.2 Использование результатов

Результаты работы могут быть использованы:

• в учебной деятельности при изучении прикладной математики и экономики;

• для первичного анализа бизнес-идей;

• при разработке простых систем бизнес-аналитики;

• как основа для дальнейшего расширения модели с учётом дополнительных факторов.

Заключение

В работе была разработана и исследована математическая модель экономических процессов, основанная на методах математического анализа и оптимизации. Реализация модели в виде программного продукта подтвердила её корректность и практическую применимость. Полученные результаты демонстрируют эффективность математического моделирования как инструмента принятия экономических решений.

Автор самостоятельно выполнил построение математической модели, провёл аналитическое исследование, реализовал программное приложение и проанализировал результаты вычислительных экспериментов.

Список литературы

1. Колмогоров, А. Н. Математика и экономика / А. Н. Колмогоров. — М. : Наука, 1982. — 256 с.

2. Самуэльсон, П. А. Экономика : учебник для вузов / П. А. Самуэльсон, В. Д. Нордхаус. — М. : Прогресс, 1997. — 512 с.

3. Кормен, Т. Х. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Х. Кормен, Ч. И. Лейзерсон, Р. Л. Ривест, К. Штайн. — М. : Вильямс, 2016. — 1328 с.

4. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учебник для общеобразовательных организаций / А. Г. Мордкович. — М. : Мнемозина, 2021. — 384 с.

5. Вентцель, Е. С. Исследование операций : задачи, принципы, методология / Е. С. Вентцель. — М. : Наука, 1972. — 552 с.

6. Канторович, Л. В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов / Л. В. Канторович. — М. : Изд-во АН СССР, 1960. — 347 с.

7. Ковалёв, В. В. Методы математического моделирования экономических процессов / В. В. Ковалёв // Экономика и математические методы. — 2015. — Т. 51, № 3. — С. 45–59.

8. Иванов, С. А. Применение оптимизационных моделей в анализе прибыли предприятия / С. А. Иванов // Вестник экономических исследований. — 2019. — № 2. — С. 78–84.

Приложения

Приложение 1. Полный код программы

import tkinter as tk

from tkinter import messagebox

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.backends.backend_tkagg import FigureCanvasTkAgg

def profit(x, a, b, c):

return a * x**2 + b * x + c

def optimize_profit():

try:

a = float(entry_a.get())

b = float(entry_b.get())

c = float(entry_c.get())

limit = float(entry_limit.get())

if a >= 0:

messagebox.showerror("Ошибка", "Коэффициент a должен быть отрицательным")

return

x_opt = -b / (2 * a)

if x_opt > limit:

x_opt = limit

p_max = profit(x_opt, a, b, c)

messagebox.showinfo(

"Результатоптимизации",

f"Оптимальныйобъём x = {round(x_opt,2)}\n"

f"Максимальная прибыль = {round(p_max,2)}"

)

draw_graph(a, b, c, limit)

except ValueError:

messagebox.showerror("Ошибка", "Введите корректные числовые данные")

def draw_graph(a, b, c, limit):

for widget in graph_frame.winfo_children():

widget.destroy()

xs = [i * 0.1 for i in range(int(limit * 10) + 1)]

ys = [profit(x, a, b, c) for x in xs]

fig = plt.Figure(figsize=(5, 4))

ax = fig.add_subplot(111)

ax.plot(xs, ys)

ax.set_title("Графикфункцииприбыли")

ax.set_xlabel("x")

ax.set_ylabel("P(x)")

ax.grid(True)

canvas = FigureCanvasTkAgg(fig, master=graph_frame)

canvas.draw()

canvas.get_tk_widget().pack()

root = tk.Tk()

root.title("Математическое моделирование экономики")

root.geometry("500x600")

tk.Label(root, text="Коэффициенты функции прибыли", font=("Arial", 12, "bold")).pack(pady=5)

tk.Label(root, text="a").pack()

entry_a = tk.Entry(root)

entry_a.pack()

tk.Label(root, text="b").pack()

entry_b = tk.Entry(root)

entry_b.pack()

tk.Label(root, text="c").pack()

entry_c = tk.Entry(root)

entry_c.pack()

tk.Label(root, text="Ограничение x ≤").pack()

entry_limit = tk.Entry(root)

entry_limit.pack()

tk.Button(root, text="Оптимизироватьприбыль", command=optimize_profit).pack(pady=10)

graph_frame = tk.Frame(root)

graph_frame.pack(pady=10)

root.mainloop()

Приложение 2. Главное меню программы

Приложение 3. Работа программы