XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Моделирование структуры и динамики онлайн-сообществ с использованием геометрии Лобачевского

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Забодаева В.С. 1

---

1МБОУ гимназия "САН" г.Пензы

Ласькова О.А. 1

---

1МБОУ гимназия " САН" г.Пензы

Работа в формате PDF

570.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия Лобачевского, созданная в 1826 году русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским, представляет собой одну из неевклидовых геометрий, в которой пересматривается классический пятый постулат Евклида о параллельных прямых. В то время как в евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна параллельная прямая, в геометрии Лобачевского таких прямых можно провести бесконечно много. Это фундаментальное отличие создает иную систему пространственных отношений, которая находит применение не только в математике и физике, но и в современных цифровых технологиях, включая социальные сети.

Социальные сети стали неотъемлемой частью современного общества, формируя новые типы коммуникации и социальных связей. Интересно исследовать, как принципы геометрии Лобачевского могут быть применены для анализа и визуализации сложных сетевых структур, характерных для социальных медиа.

Основной целью предоставленной работы было: изучить возможности применения геометрических принципов Лобачевского в контексте социальных сетей для создания инновационных моделей представления и анализа сетевых взаимодействий.

В работе поставлены и решены следующие задачи:

· Изучить основные принципы геометрии Лобачевского

· Проанализировать особенности социальных сетей как сложных систем

· Продемонстрировать ,что социальные сети не хаотичные скопления пользователей, высокоорганизованные гиперболические пространства.

· Создать практический продукт - концепцию визуализации социальных связей

Гипотеза исследования: принципы геометрии Лобачевского могут быть эффективно применены для моделирования и визуализации сложных сетевых структур социальных сетей, обеспечивая новые подходы к анализу социальных взаимодействий.

Практическое применение

Данная работа и ее результаты могут быть использованы для обеспечения новых подходов к анализу социальных взаимодействий в социальных сетях.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

1.1. Исторический контекст создания неевклидовой геометрии

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) - русский математик, создатель неевклидовой геометрии, деятельность которого была тесно связана с Казанским университетом. Его открытие, сделанное в 1826 году и опубликованное в 1829-1830 годах, первоначально не получило признания современников, но совершило переворот в представлении о природе пространства.

Пятый постулат Евклида, вызывавший сомнения на протяжении двух тысячелетий, был предметом исследования многих математиков: Птолемея, Прокла, Ибн аль-Хайсама, Омара Хайяма, Насир ад-Дина ат-Туси, Саккери, Ламберта и других. Лобачевский подошел к проблеме принципиально новым способом - вместо доказательства постулата он заменил его противоположным утверждением и развил последовательную геометрическую систему.

Интересно, что к аналогичным выводам независимо пришли Карл Фридрих Гаусс и Янош Бойяи, однако Лобачевский был первым, кто открыто опубликовал свои результаты и развил их в целостную систему. За это его называют "Коперником геометрии".

1.2. Основные принципы и свойства геометрии Лобачевского

Ключевое отличие геометрии Лобачевского от евклидовой заключается в аксиоме о параллельных: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её".

Из этой фундаментальной аксиомы вытекают необычные свойства пространства Лобачевского:

· Сумма углов треугольника всегда меньше 180°

· Подобные треугольники равны - в геометрии Лобачевского не существует подобных, но не равных фигур

· Отсутствие абсолютного подобия - фигуры не могут менять размер, сохраняя форму.

1.3. Модели геометрии Лобачевского

Для наглядного представления геометрии Лобачевского были разработаны различные модели:модель Пуанкаре в круге и полуплоскости, модель Бельтрами – Клейна.

Модель Пуанкаре в круге

Анри Пуанкаре в 1882 году предложил свою модель плоскости

Лобачевского, связав ее с задачами теории функций комплексного

переменного. Он выделил две модели: в круге и на полуплоскости для

планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве – для

стереометрии Лобачевского.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b′), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.( рис.1)

Метрикой ds плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

,

где x и y — оси абсцисс и ординат, соответственно.

Аналогично, для конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Рисунок 1

Модель Пуанкаре на полуплоскости

В модели полуплоскости Пуанкаре за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.(Рис.2)

Метрика ds плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид:  ,где u и v— прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

Рисунок 2

В геометрии модель Бельтрами — Клейна, также называемая проективной моделью, моделью диска Клейна и моделью Кэли — Клейна, представляет собой модель гиперболической геометрии, в которой точки представлены точками внутри единичного диска (или n-мерного единичного шара), а прямые — хордами, отрезками прямых с идеальными концами на границе сферы.

Это аналогично гномонической проекции сферической геометрии, в которой геодезические линии (большие круги в сферической геометрии) отображаются в виде прямых.Эта модель не является конформной: углы отображаются неточно, а круги становятся эллипсами, которые всё больше сплющиваются по мере приближения к краю. Это отличает её от модели диска Пуанкаре, которая является конформной. Однако линии в модели Пуанкаре представлены не отрезками прямых, а дугами, которые пересекают границу под прямым углом.

Модель Бельтрами — Клейна названа в честь итальянского геометра Эудженио Бельтрами и немецкого Феликса Клейна, а «Кэли» в модели Кэли — Клейна относится к английскому геометру Артуру Кэли.

2. СОЦИАЛЬНЫЕ СЕТИ КАК ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

2.1. Структура и свойства социальных сетей

Социальные сети представляют собой сложные системы взаимосвязанных узлов (пользователей) и связей между ними. Эти системы характеризуются:

· Неоднородностью распределения связей: наличие "хабов" - пользователей с большим количеством связей

· Кластерностью: тенденции к образованию тесно связанных групп

· Малым миром: возможность соединения любых двух пользователей через короткую цепочку знакомств.

Традиционные методы анализа социальных сетей часто используют евклидовы метрики, которые могут неадекватно отражать реальную сложность сетевых структур.

2.2. Проблемы визуализации и анализа социальных сетей

Современные социальные сети насчитывают миллиарды пользователей и сложнейшие паттерны взаимодействий. При их визуализации возникают следующие проблемы:

· Перегруженность связями при отображении в евклидовом пространстве

· Трудности представления иерархических структур

· Ограниченность двумерных и трехмерных моделей для отображения многомерных социальных отношений.

Эти ограничения создают потребность в новых подходах к моделированию и визуализации социальных сетей.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ОНЛАЙН-СООБЩЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ПУАНКАРЕ В КРУГЕ

В 7 классе мы познакомилась с геометрией Лобачевского , она покорила меня своей современностью и необычностью, несколько лет я интересуюсь этой темой и заметила, что модели геометрии Лобачевского не ограничивается одной математикой, существуют и другие области ее применения. Мы попытались проанализировать особенности социальных сетей и разработать концепцию применения модели Пуанкаре для визуализации социальных сетей.

3.1. Методика построения гиперболической карты

В рамках исследования разработан прототип "гиперболической карты социальных интересов".

Гиперболическая карта – это инструмент для визуализации позиции в социальной сети и оптимизации стратегии продвижения на основе геометрии Лобачевского.

На основе принципов геометрии Лобачевского разработана концепция визуализации социальных связей в гиперболическом пространстве. В этой модели:

• Пользователи представляются как точки в гиперболическом диске Пуанкаре

• Социальные связи отображаются как хорды или дуги, соединяющие точки

• Близость интересов или интенсивность взаимодействия выражается через гиперболическое расстояние

• Влияние пользователя Расположение ближе к центру модели

Шаг 1: Сбор данных для анализа

1. Количество подписчиков

2. Активность ( лайки, комментарии)

3. Тематика контента

Шаг 2: Расчёт радиуса популярности

Формула: R=-

p - текущий охват подписчиков

p max - максимальный охват в моей нише

Шкала радиусов

R<0,2 Инфлюенсеры

0,2<R<0,5 Активные пользователи

R > 0.5 Обычные пользователи

Шаг 3 :Определение угла φ ( тематика)

1. Проанализировано 20 последних постов.

2. Определены доли тематик:

Образование 40% (109-144)

Технологии 30%(73-108)

Юмор 20%(37-72)

Новости 10%(0-36)

Были получены следующие результаты. (Приложение 1)

По данным результатам была построена следующая модель ( Приложение 2)

3.2. Применение свойств полученной модели для анализа социальных сетей

Эксперимент 1: « Запуск вирального контента»

Анализ:-Ваша позиция : R = 0,7, φ=108 (Образование)

-Целевой инфлюэнсер :R=0,1,φ=110

Действия:

1.Создать контент на стыке вашей и его тематик.

2.Упоминание в пиковое время активности.

3.Перекрестные взаимодействий.

Эксперимент 2 : « Выход в новые тематики»

Анализ:-Текущий φ=90 (Образование )

-Перспективный смежный сектор – Технологии

Действия :

1.Постепенное добавление образовательного контента.

2.Коллаборации с образовательными блогерами.

3.Адаптация образовательного контента под технологический формат.

Метрики успеха:

• Изменение R за период

• Расширение тематического охвата

• Количество геодезических к целевым инфлюенсерам

• Скорость распространения контента

Построенная модель социальных сетей превращает абстрактную математику в практический инструмент для роста в соцсетях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование демонстрирует перспективность применения принципов геометрии Лобачевского для анализа и визуализации социальных сетей. Созданная концепция гиперболического представления социальных связей позволяет преодолеть ограничения традиционных евклидовых моделей и предлагает новые возможности для работы со сложными сетевыми структурами.

Основные результаты исследования:

1. Систематизированы теоретические основы геометрии Лобачевского и ее отличия от евклидовой геометрии.

2. Проанализированы структурные особенности социальных сетей как сложных систем.

3. Разработана концепция применения модели Пуанкаре для визуализации социальных связей.

4. Определены практические области применения гиперболических моделей в социальных сетях.

Научная и практическая значимость работы заключается в разработке инновационного подхода к моделированию социальных сетей, который может найти применение в социологии, маркетинге, информационных технологиях и других областях.

Перспективы дальнейших исследований включают разработку программной реализации предложенной концепции, проведение эмпирических исследований эффективности гиперболической визуализации и адаптацию модели для решения конкретных прикладных задач анализа социальных сетей.

Открытие Лобачевского, совершенное почти два века назад, продолжает находить неожиданные применения в современных технологиях, подтверждая универсальность математических идей и их способность описывать сложные явления окружающего мира, включая социальные взаимодействия в цифровую эпоху.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акимова И. Я., Ахметова Ф. Х. Заметки о геометрии Лобачевского // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – № 6

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. – Геометрия, 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2010.

3. Бокова К.Д.,Майоров И.Г. ,Козлова Д.В.,Потапова Н.Ю. Геометрия Лобачевского//Юный ученый.-2006-№6.1.

4. Глейзер Г.И.История математики в школе IX-X.Пособие для учителей .-М.: Просвещение,1983

5. Делоне Б. Н. Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — М. : Изд-во АН СССР, 1953.

6. Сосинский А. Б. Об эквивалентности трёх моделей плоскости Лобачевского // Математическое просвещение. — 2020. — Вып. 25. — Стр. 38–47.

7. https://studfile.net/preview/4387647

8. http://vyazea.ru/giperbolicheskoe-vyazanie.html

9. https://naukatehnika.com/konecz-perspektivyi-ili-geometriya lobachevskogo.html

Приложение 1

Приложение 2