XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Нетрадиционные методы умножения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ковалев А.В. 1

---

1МБОУ "Сибирская СОШ №2"

Зензина Е.В. 1

---

1МБОУ "Сибирская СОШ №2"

Работа в формате PDF

2.1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учебе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! И я решил посвятить свою исследовательскую работу этой теме. Графическое умножение – это простой и оригинальный способ представление чисел в виде линий. Подсчет точек пересечения позволяет быстро и просто получить результат перемножения любых двух чисел. В наши дни, это очень хорошая зарядка для ума и замечательный пример того, как простые графические схемы могу помогать решать сложные математические задачи.

Актуальностьзаключается в том, чтобы привлечь внимание учащихся к математике, помочь тем, кто плохо знает таблицу умножения.

Цель: изучить графический способ умножения.

Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:

1. изучить литературу по данной теме;

2. провести анкетирование по теме исследования;

3. научиться применять графический способ умножения;

4. научить одноклассников использовать этот способ при вычислениях;

5. апробировать графический способ умножения.

Объект исследования: различные алгоритмы счета.

Предмет исследования: процесс вычисления.

Гипотеза: Любой человек, умеющий складывать числа, может легко освоить метод графического умножения!

Основные этапы исследования:

І этап. Подготовка к исследовательской работе.

ІІ этап. Планирование исследовательской работы.

ІІІ этап. Исследование.

IV этап. Выводы.

V этап. Оформление работы.

VІ этап. Отчет и защита исследовательской работы.

Практическая значимость: Мы сумели получить интересный математический материал. Своими результатами исследования мы поделились c одноклассниками. Это их заинтересовало. Вообще мы считаем, что наша работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора.

Глава I Теоретическая часть

1.1 История умножения

Как правило, серьезное изучение математики начинается с таблицы умножения. Школьники младших классов очень часто зазубривают эту таблицу. Не секрет, что не все сразу понимают принцип перемножения чисел. Хотя, ничего сложного в таблице умножения нет. Немного сложнее перемножать числа, состоящие из двух или из трех цифр. Если не пользоваться калькулятором, то результат умножения можно получить только «столбиком» – метод, прекрасно знакомый всем ученикам средних классов. Оказывается, есть иные способы умножения, которыми можно пользоваться даже тогда, когда человек не знает или плохо выучил таблицу умножения. Такие способы, к примеру, давным-давно придумали в Японии и Китае.

Относительно недавно при раскопках здания административных служб в городе Нара, древней столице Японии (VIII век), археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения (Приложение 1). Очевидно, что ее использовали не дети, а взрослые, когда выполняли какие-то важные для себя расчеты.

Учёные полагают, что подобные таблицы использовались японскими императорскими чиновниками. Им требовалось осваивать разные науки, в том числе и арифметику. Обнаруженная табличка – самая древняя из всех найденных в Японии ранее. Было установлено, что иероглифы, которыми записаны цифры, очень похожи на те, которые использовались в древнем Китае в VII-X веках. Это позволяет предположить, что таблица, найденная в Японии, была скопирована из китайских книг того времени. Получается, что японская таблица умножения имеет много общего с китайской.

Историки подтверждают, что высокопоставленные жители Японии часто ездили к своим соседям в Китай, где обменивались знаниями и опытом по самым разным вопросам и темам. Не сложно предположить, что они говорили друг с другом о разных науках, в том числе об арифметике.

Известно также, что древняя китайская таблица умножения была не из простых, так как включала в себя умножение двузначных чисел друг на друга. Вряд ли можно было легко и просто выучить такую таблицу наизусть. Поэтому и носили с собой на работу что-то типа шпаргалок. Фрагмент такой шпаргалки и представляет собой найденная археологами в Японии табличка.

Таким образом, японская таблица умножения была заимствована у китайцев. Китайцы же, согласно некоторым гипотезам, были одними из создателей первой арифметической системы умножения. Об этом свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценивают в 2700-3000 лет!

Важно отметить, что у японцев, китайцев и других наций, использующих иероглифы, совершенно другой тип мышления, не такой как у нас. Они «визуалы» по природе – их изображения всегда что-то означают, несут какой-то смысл. Их иероглифы часто обозначают не столько букву, сколько сразу целое слово и фразу. Доказано, что эти иероглифы воспринимаются человеком как образы. В подтверждение к этому, умножают они тоже интересно. Графическое умножение чисел – наглядный тому пример.

1.2 Базовый принцип графического умножения

Базовый принцип графического умножения заключается в том, что каждая цифра, т.е. каждый множитель, представляется графически в виде прямых линий. Количество линий соответствует цифре. Например, 1 – одна линия, 2 – две линии, 3 – три линии и т.д. Первый множитель изображается в виде вертикальных линий, а второй множитель – в виде горизонтальных. Линии, конечно, можно рисовать по-разному – даже под углом, но важно, чтобы линии первого числа четко пересекали линии второго числа. Это позволяет определять точки пересечения линий. Подсчет точек пересечения в определенных зонах и последующее их суммирование позволяет определить результат перемножения двух чисел. Таким образом, процесс умножения сводится к простому сложению.

В Приложении 1 на рис. 2 показан типовой пример графического умножения. Два числа 21 и 13 представляются в виде пересекающихся линий (2 +1) и (1 + 3). Образуется четыре зоны пересечения, в которых можно посчитать точки пересечений. Видно, что в одной зоне 2 точки; в двух других 1 и 6 (в сумме 7), а крайней зоне 3 точки. Если последовательно записать эти цифры в ряд, то получится 273 – это и есть результат перемножения двух чисел 21 и 13.

Графическое умножение имеет свои особенности и правила. Разберем их в последующих разделах на конкретных примерах.

Глава II Методика умножения разными методами

2.1 Умножение двухзначных чисел графическим методом

ПРИМЕР 1: найдем произведение чисел 21 и 32.

Изобразим числа в виде линий: горизонтальных и вертикальных.

Сначала нарисуем первый множитель – 21. В нем 2 десятка и 1 единица. Следовательно, рисуем горизонтально 2 прямые линии сверху и 1 прямую линию снизу. Вертикальными линями, поверх горизонтальных линий, рисуем второй множитель – 32. В нем 3 десятка и 2 единицы. Рисуем вертикально 3 линии слева и 2 линии справа (Приложение 1). Получается «решетка» из линий.

Далее смотрим на «решетку» и считаем, сколько точек пересечения имеют горизонтальные и вертикальные прямые в каждом углу. Видно, что в верхнем левом углу 6 точек, в правом верхнем – 4 точки, в нижнем левом три и в правом нижнем 2 точки (Приложение 1).

Выделяем на «решетке» с обозначенными точками зоны (Приложение 2). Ответ (произведение двух множителей) нужно «собирать» по порядку, последовательно двигаясь от первой зоны ко второй, затем от второй к третей. Необходимо запомнить, что число из первой зоны соответствует единицам, число из второй зоны – десяткам, а число из третей зоны – сотням искомого произведения.

Ответ: произведение чисел 21 и 32 равно 672.

ПРИМЕР 2: найдем произведение чисел 34 и 25.

Следуя принципу предыдущего примера изобразим сначала первый множитель 34, а затем поверх него второй множитель 25 (Приложение 2). Получится «решетка» из 7 горизонтальных и 7 вертикальных линий.

В Приложении 2 на рис. 7 показаны точки, образованные в результате пересечения горизонтальных и вертикальных линий. На рис. 8 (Приложение 2) показаны зоны: нижний правый угол – зона 1; нижний левый и верхний правый углы – зона 2; верхний левый угол – зона 3. Получается, что в этих зонах находится 20, 23 (8 + 15) и 6 точек пересечения. Сразу обращаем внимание на то, что полученные суммы точек 20 и 23 – двузначные числа. В таких случаях число-произведение «собирается» немного иначе. Нужно «превратить» двузначные числа в однозначные. Для этого используется так называемый принцип «оставить-отдать». Так, при подсчете точек в первой зоне получилось число 20 (2 десятка и 0 единиц). Единицы (их сейчас 0) «оставляем», десятки (их в этом случае 2) «отдаем» числу второй зоны. В этом случае во второй зоне получается следующая сумма: 23 + 2 = 25. Здесь поступаем точно так же – используем принцип «оставить-отдать». Единицы (их 5) «оставляем», десятки (их 2) «отдаем» числу из третей зоны. В итоге, в третей зоне получается следующая сумма цифр: 6 + 2 = 8. Далее действуем так, как действовали в первом примере: число из первой зоны соответствует единицам, число из второй зоны – десяткам, а число из третей зоны – сотням искомого произведения.

Ответ: проведение чисел 34 и 25 равно 850.

2.2 Умножение трехзначных чисел графическим методом

ПРИМЕР 3: найдем произведение чисел 132 и 234.

Все ключевые шаги выполняются точно так, как в предыдущих двух примерах. Разница только лишь в том, что «решетка» будет состоять из большего количества «окон», поэтому зон с точками пересечения будет не 3, как мы видели ранее, а 5. Но сам принцип геометрического умножения и подсчета точек пересечения в зонах остается неизменным (Приложение 3).

Ответ: проведение чисел 132 и 234 равно 30 888.

2.3. Итальянский способ умножения

Интересен итальянский способ умножения. Рассмотрим его на примере: 25х63.

Для этого начертим таблицу, запишем над ней число 25, а справа число 63. В каждую клеточку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеточкой и справа от неё, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Затем будем складывать числа в каждой «косой» полосе, выполняя эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то её пишут под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем нужное произведение (Приложение 3). Следовательно, ответ: 1575.

2.4. Нетрадиционные способы умножения

• Умножение для числа 9.

Именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах» (Приложение 4). Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки.

Допустим, хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать 9. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа – количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа – 3 пальца. Таким образом, 9·7=63.

Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа – 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень просто.

• Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

72х11=7(7+2)2=792;

35х11=3(3+5)5=385;

• Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

78х11=7(7+8)8=7(15)8=858;

94х11=9(9+4)4=9(13)4=1034;

• Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)

Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.

Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.

61 х 11111111 = 677777771

Эти вычисления можно легко произвести в уме.

• Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4+1) (2+1) 28 = 5328.

В этом случае к первой цифре нужно прибавить 1 получим 5.

Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.

56 х 11111 = 5 (5+6) (5+6) (5+6) (5+6) 6 = 5 (11) (11) (11) (11) 6 = 622216

67. 1111 = 6 (6+7)…7 = 6 (13)…7 = 74437

• Простой приём умножения трёхзначного числа на однозначное.

Эта задача решается путем разбиения на маленькие легкие задачи.

Пример: 560·8

1. Раскладываем 560 на разрядные слагаемые: 500 и 60.

2. Умножаем 500 на 8 равно 4000 и 60 на 8 равно 480.

Складывая результаты произведений получаем ответ 4480.

Глава III Экспериментальная работа

Для наглядной демонстрации простоты и практической применимости метода графического умножения, был проведен простой эксперимент с учениками 6А класса МБОУ «Сибирская СОШ №2» (Приложение 5).

На примерах им был объяснен базовый принцип графического умножения. Это заняло около 15 минут.

По теме исследования было проведено анкетирование одноклассников. Результаты отражены в диаграммах (Приложение 6).

На вопрос «Необходимо ли современному человеку уметь умножать» 82% опрашиваемых ответили положительно, 18% - отрицательно.

На вопрос «Знаете ли Вы другие способы умножения кроме умножения в столбик?» 68% опрашиваемых ответили положительно, 32% - отрицательно.

На вопрос «Хотели бы Вы узнать другие способы умножения?» 55% опрашиваемых ответили положительно, 45% отрицательно.

Результаты анкетирования показали, что одноклассники знакомы с другими способами умножения, однако данная тема их заинтересовала.

Мы решили повести эксперимент. В эксперименте участвовал я и ещё 2 одноклассника. Мы взяли 6 примеров (45*98, 32*15, 125*324, 384*576,115*213, 815*473) и решали на время с одноклассниками. Я решал примеры графическим и итальянским методами, а одноклассники решали традиционными методами. На решение 6 примеров я затратил 3 минуты 30 секунд, а одноклассникам понадобилось 4 минуты для решения этих примеров. Хотелось бы отметить, что итальянским способом мне понравилось решать больше, чем графическим. Так как когда решаешь более сложные примеры графическим методам (умножение трёхзначных чисел) «решетка» становится более громоздкой и можно запутаться. Из этого можно сделать вывод, что, зная графический и итальянский способы умножения можно легко справляться с примерами школьной программы и при этом затрачивать меньше время на их решение.

Для удобства объяснения методов умножения нами была придумана и сделана книга в стиле «скрапбукинг» (Приложение 7). В этой книге мы собрали все рассмотренные нами способы умножения и добавили листы для расчета примеров. Таким образом, в этой книге сразу изучаешь методику вычисления и считаешь нужные примеры.

Заключение

По результатам выполненной работы видно, что графический и итальянский способы умножение позволяют относительно быстро и без калькулятора перемножать двузначные и трехзначные числа. Именно визуализация, дает нам зрительную помощь и подсказку. В этом преимущество данных методов над традиционным. Всем хорошо известно, что традиционный способ умножения «столбиком» подразумевает знание таблицы умножения и требует большого количества арифметических действий в уме.

Графическим методом можно перемножать более сложные числа – четырехзначные и даже более «серьезные» многозначные. Но в этом случае «решетка» пересекающихся линий будет очень громоздкой и сложной. Придется считать суммарное количество точек в большом количестве зон. Можно легко запутаться и ошибиться. Поэтому для больших и сложных чисел рационально использовать итальянский способ умножения – он в итоге будет более компактным.

Графический и итальянский методы умножения можно использовать как интересное дополнение к существующим методом, помогающим развивать визуальное представление и восприятие различных арифметических действий.

Может моя работа привлечет детей к изучению других способов умножения, что скажется на их успеваемости.

Приложение 1

Рисунок 1 – Деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения (Япония, VIII век)

Рисунок 2 – Типовой пример графического умножения двух чисел

Рисунок 3 – Графическое изображение множителей

Рисунок 4 – Определение точек пересечения построенных линий

Приложение 2

Рисунок 5 – Выделение зон для подсчета точек пересечения

Рисунок 6 – Графическое изображение множителей

Рисунок 7 – Определение точек пересечения построенных линий

Рисунок 8 – Выделение зон для подсчета точек пересечения

Приложение 3

Рисунок 9 – Графическое изображение множителей

Рисунок 10 – Выделение зон для подсчета точек пересечения

Рисунок 11 – Итальянский способ умножения

Приложение 4

Рисунок 12 – Таблица умножения на 9

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Список использованных источников

1) Адилбекова, Н. Графическое умножение / Н. Адилбекова // Думай. Российский научно-популярный журнал для школьников и родителей. – 2023. – №12(52). – С. 10-13.

2) Как пользоваться графическим способом умножения чисел [Электронный ресурс]: Команда wikiHow – режим доступа к журн.: https://ru.wikihow.com/пользоваться-графическим-способом-умножения-чисел

3) Умножение графическим способом [Электронный ресурс]: Блог учителя математики Н.В. Крыловой: https://397krylova.blogspot.com/2011/05/blog-post_1535.html

4) Геометрическое представление чисел [Электронный ресурс]: Невозможный мир: https://im-possible.info/russian/articles/kristina-yusupova/multiply.html