XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Авторская теорема о постоянной длине огибающей линии трёх треугольников Рёло
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация
Треугольник Рёло – это фигура постоянной ширины. Свойства треугольника Рёло хорошо изучены, применяются при создании технических устройств, например, в роторном двигателе или для сверления квадратных отверстий. Но с развитием техники появляются новые задачи. При создании очередного устройства потребовалось изготовить ремённую передачу с тремя шкивами в форме треугольников Рёло. Сразу появилась математическая трудность: можно ли в принципе это сделать? Задача свелась к исследованию и определению длины огибающей линии трёх треугольников Рёло. Оказалось, что при выполнении ряда условий длина огибающей линии сохраняется при любых поворотах трёх треугольников. Значит, есть возможность создать соответствующую ремённую передачу, не на круглых шкивах, а на треугольниках Рёло. С технической точки зрения это нужно для исключения проскальзывания ремня, цепи или гусеницы в новых механизмах. Доказанная новая математическая теорема дополнена демонстрационным действующим макетом новой ремённой передачи с реальным ремнём от двигателя внутреннего сгорания.
Введение
Исключительно математическая задача появилась из практики. Это планиметрическая задача из области геометрии. В технике известна ремённая передача. Будем говорить о ремённой передаче только с двумя одинаковыми круглыми шкивами, чтобы обобщить известный результат на новую схему. Создание такого устройства стало возможным из-за постоянства длины ремня огибающего два шкива. Круг является фигурой постоянной ширины. Закономерен вопрос о возможности создания ремённой передачи с другими шкивами в виде фигур постоянной ширины, прежде всего, с треугольником Рёло [1]. В принципе можно говорить о произвольной фигуре постоянной ширины. В математике известны многоугольники Рёло с нечётным числом сторон: треугольник Рёло, пятиугольник Рёло и т.д. Наиболее часто упоминают треугольник Рёло. Это связано с тем, что при увеличении количества сторон в таких криволинейных многоугольниках фигура стремится к окружности, её свойства становятся менее выражены по сравнению, например, с треугольником Рёло.
Конкретная практическая задача потребовала перейти в область математики. Такая ситуация уже была ранее связана с авторскими разработками новых транспортных средств [2]. На принципиально новую подвеску шасси получен авторский патент на изобретение [3]. При исследованиях новых машин была высказана гипотеза о возможности создания нового механизма «Рёлогусеница». Оказалось, что такая работа полностью соответствует Техническому заданию на перспективный гусеничный механизм. Нужно было изготовить привод гусеницы машины [4]. Схема такого привода в самой простой форме показана на рис.1. Такой привод называют гусеничной лентой. В простейшем случае на ведущую звёздочку надевается гусеница. Проходимость машины увеличивается за счёт снижения давления на грунт.
Рис. 1. Гусеничная лента в простейшей форме
Однако в более сложной форме гусеничная лента на ведущей звёздочке имеет форму треугольника. Это показано на рис.2. Ведущая звёздочка обязательно зубчатая, потому что передаёт вращение от двигателя к гусенице. Ведомое колесо может быть гладким, служит для придания гусенице заданной формы. При любой конфигурации не должно быть проскальзывания между колёсами и гусеницей.
Рис. 2. Треугольная часть гусеничной ленты
Гусеничная лента во многом напоминает ремённую передачу. Обычная конструкция имеет два круглых шкива, на которые надет ремень. В работе изучается передача без изменения скорости вращения, поэтому шкивы предполагаются одинаковыми. Чтобы ремень не проскальзывал, применяют различные дополнительные устройства: зубчатый ремень, клиновидный ремень, натяжитель ремня. Но всё равно возможно такое нежелательное явление. Закономерен вопрос о создании гусеницы или ремённой передачи в которой в принципе не может быть проскальзывания ремня.
Решение такой задачи началось с формулировки гипотезы, которая сразу перевела техническую задачу в область математики.
Формулировка гипотезы
В ремённой передаче с двумя одинаковыми возможно проскальзывание ремня, потому что круг сохраняет свою ориентированную форму при повороте на любой угол вокруг центра. Иными словами, если колесо велосипеда повернуть вокруг оси на любой угол, то его вид сбоку не изменится. Значит ремень, натянутый на два круглых шкива не изменит своей длины при проскальзывании шкивов. Это означает, что в ремённой передаче ремень можно затормозить, но ведущий шкив при этом будет вращаться. В частности, такая ситуация часто наблюдается в школьном техническом кружке при работе на сверлильном станке: сверло заедает в материале, но электродвигатель продолжает вращаться.
Была высказана гипотеза, что именно сохранение формы круга при любом повороте является причиной проскальзывания ремня. Значит, надо отказаться от традиционных круглых шкивов. Но тогда закономерным является вопрос о новой форме шкива. Например, квадратный шкив в ремённой передаче в принципе не может быть применён, потому что ремень будет либо провисать при вращении, либо порвётся. Должно соблюдаться условие нерастяжимости ремня. Если круг является геометрической фигурой постоянной ширины, то есть смысл искать подходящую форму шкива тоже среди фигур постоянной ширины. При этом внимание сразу было обращено на три шкива, потому что требовалось создать крайний узел гусеничной ленты, напоминающий форму треугольника. Нельзя ли заменить три круглых катка тремя треугольниками Рёло?
Содержательная формулировка задачи
Содержательная формулировка задачи сводится к определению длины огибающей линии двух треугольников Рёло, закреплённых в геометрических центрах на таком удалении, чтобы при любых поворотах фигуры не пересекались. Первый авторский результат оказался отрицательным. Но, скорее всего, он связан с технологическими ошибками при проведении эксперимента.
Техническая задача требовала найти способ соединения ремнём трёх треугольников Рёло для передачи вращения [2,3]. Внимание было обращено на три фигуры. Сначала была изготовлена лабораторная установка, которая повторяет четыре схемы, показанные на рисунке. Когда лабораторная установка заработала так как надо, с сохранением длины ремня, которую надо доказать, работа перешла в область геометрии. Появилась математическая гипотеза о постоянстве длины огибающей линии трёх одинаково ориентированных треугольников Рёло, расположенных в вершинах правильного треугольника.
Два основных определения
Определение 1. Будем называть два треугольника Рёло одинаково ориентированными в плоскости, если один получается из другого параллельным переносом.
Для одинаково ориентированных треугольников Рёло имеют параллельные прямые, проведённые через вершины и середины противолежащих этим вершинам соответственных дуг окружностей.
На рис.3 показаны два треугольника Рёло с одинаковой ориентацией., потому что один получается из другого параллельным переносом. Прямая L1 в первом треугольнике Рёло (слева на рисунке) проведена через вершину А1 и середину К1 дуги, которая противолежит указанной вершине А1. Прямая L2 во втором треугольнике Рёло (справа на рисунке) проведена через вершину А2 и середину К2 дуги, которая противолежит указанной вершине А2. Прямые L1 и L2 параллельны, то есть L1||L2. Следовательно, по определению 1 указанные два треугольника Рёло имеют одинаковую ориентацию, или, что то же самое, одинаково ориентированы.
Второе определение получается применением логической операции инверсия (отрицание) к первому определению
Определение 2. Будем называть два треугольника Рёло не одинаково ориентированными в плоскости, если один получается из другого параллельным переносом и поворотом на угол, не кратный 1200.
Рис. 3. Одинаковая ориентация двух треугольников Рёло
Для не одинаково ориентированных треугольников Рёло не параллельны прямые, проведённые через вершины и середины противолежащих этим вершинам соответственных дуг окружностей..
На рис.4 показаны два треугольника Рёло с не одинаковой ориентацией, потому что прямые L1 и L2 не параллельны.
Рис. 4. Не одинаковая ориентация двух треугольников Рёло
Прямые L1 и L2 не параллельны, поэтому два треугольника Рёло не одинаково ориентированы.
Определение 3. Будем называть два треугольника Рёло противоположно ориентированными в плоскости, если один получается из другого параллельным переносом и поворотом на угол 600.
На рис.5 показан случай противоположной ориентации двух треугольников Рёло.
Для треугольников Рёло с прямой и противоположной ориентацией сохраняется параллельность прямых, указанных в определении 1.
Из трёх определений следует, что важно знать угол поворота одной фигуры относительно другой. Это приводит к следующим свойствам.
Свойство 1. При повороте на угол 1200, или кратный 1200, треугольник Рёло переходит в себя, то есть не изменяет ориентацию.
Свойство 2. При повороте на угол 600 треугольник Рёло изменяет ориентацию на противоположную.
Рис. 5. Противоположная ориентация двух треугольников Рёло
Знание взаимной ориентации двух треугольников Рёло имеет важное значение для дальнейших рассуждений.
Леммы о длине огибающей линии в частных случаях
Индукционная часть задачи связана с определением длины огибающей линии трёх треугольников Рёло одинаковой ориентации, расположенных в вершинах правильного треугольника.
Лемма 1. Длина огибающей линии трёх треугольников Рёло с прямой ориентацией равна сумме периметров одного треугольника Рёло и треугольника из центров трёх фигур.
Доказательство.
Рис. 6. Первый вариант с огибающей линией (прямая ориентация)
На рис.6 длина огибающей линии A1B1A2B2A3B3 равна утроенной длине суммы дуги A1B1 и отрезка B1A2. Но длина дуги – это длина одной стороны треугольника Рёло, которую обозначим a=A1B1. Длина отрезка B1A2=O1O2 – это расстояние между центрами двух треугольников Рёло, которое обозначим b=B1A2. Значит, общая длина огибающей линии равна L=3(a+b).
Доказана первая лемма, справедливая пока только для указанной ориентации трёх треугольников, которую условно назовём прямой ориентацией с дуговым касанием огибающей.
Лемма 2. Длина огибающей линии трёх треугольников Рёло с прямой и обратной ориентацией одинаковая.
Доказательство.
Рис. 7. Второй вариант с огибающей линией (обратная ориентация)
Закономерен вопрос, что будет при изменении ориентации треугольников Рёло на противоположную, которую условно назовём обратной ориентацией треугольников Рёло? На рис.7 показана обратная ориентация фигур по сравнению с предыдущим случаем. Появились точки касания, которые обозначены буквами Mi и Ni с индексами i, соответствующими номеру треугольника Рёло. На этой схеме длины шести дуг равны, то есть A1M1=A1N1=A2M2=A2N2=A3M3=A3N3=a/2, причём каждая дуга равна половине стороны треугольника Рёло. Длины соединительных отрезков равны расстоянию между центрами треугольников Рёло, то есть M1N2=M2N3=M3N1=b. Значит, общая длина огибающей линии при обратной ориентации фигур прежняя, равна L=3(a+b).
Доказаны две леммы для прямой и обратной ориентации трёх треугольников Рёло с огибающей линией.
Следующий вопрос об ориентации треугольников, которую условно назовём промежуточной. Треугольник Рёло переходит в себя при повороте на 1200,, а при повороте на 600 изменяет ориентацию на противоположную, поэтому рассмотрим поворот от прямой ориентации на 300 против часовой стрелки – это схема на рис.8. Расчётная схема ничем не отличается от варианта 1, поэтому справедлива лемма 3.
Рис. 8. Третий вариант с огибающей линией (промежуточная ориентация)
Лемма 3. Длина огибающей линии трёх треугольников Рёло с прямой, обратной и промежуточной ориентацией одинаковая.
Общая теорема о длине огибающей линии трёх треугольников Рёло
Наконец, случай 4 на рис.9 показывает произвольную одинаковую ориентацию трёх треугольников Рёло. Если перейти на технические термины, то они иллюстрируют доказанную общую математическую теорему.
Рис. 9. Общий случай произвольного поворота системы
Ремень сошёл с первого шкива на дугу B1M1, но на такую величину A1N1 он намотался на этот шкив, сохранив общее соединение M1A1N1=A1B1=a. Касательные отрезки тоже сохранили свою длину M1N2=M2N3=M3N1=b.
Для дальнейшего доказательства надо применять понятие конгруэнтности. Оно применяется только для геометрических фигур. По учебнику Андрея Николаевича Колмогорова, две фигуры конгруэнтны, если они взаимно накладываются одна на другую, первая на вторую, вторая на первую. Сейчас это понятие в школе заменено равенством, хотя равны могут быть только числа. На рис.10 схематично показано общее понятие эквивалентности и место в ней частных определений равенства, тождества и конгруэнтности.
Рис. 10. Конгруэнтность как частный случай эквивалентности
В рассматриваемом четвёртом случае произвольной ориентации трёх треугольников Рёло относительно огибающей линии появляются следующие конгруэнтные фигуры, которые доказывают постоянство длины огибающей линии.
1) Конгруэнтные криволинейные треугольники С1М1А1, С2М2А2, С3М3А3.
2) Конгруэнтные криволинейные треугольники С1М1В1, С2М2В2, С3М3В3.
3) Отрезки С1М1, С2М2, С3М3 являются перпендикулярами соответственно к отрезкам М1N2, М2N3, М3N1. Это следует из определения треугольника Рёло, то есть точки С1, С2, С3 являются соответственно центрами дуг-сторон А1В1, А2В2, А3В3треугольника Рёло. Точки касания М1, М2 , М3 являются концами радиусов, построенных из центров этих круговых дуг к точкам касания с прямыми линиями М1N2, М2N3, М3N1. По теореме о касательной радиус перпендикулярен касательной прямой, построенной в точке касания.
4) Получились три параллелограмма: O1M1N2O2, O2M2N3O3, O3M3N1O1. По свойству параллелограмма противоположные стороны конгруэнтны, поэтому имеют одинаковую длину: М1N2=М2N3=М3N1=О1О2=О2О3=О3О1=b.
5) Из когруэнтности перечисленных фигур следует, что ремень сошёл с первого шкива на дугу B1M1, но на такую величину A1N1 он намотался на этот шкив. Это означает, что сохранилась длина дуги M1A1N1=A1B1=a. Касательные отрезки тоже сохранили свою длину M1N2=M2N3=M3N1=b. Для одного треугольника Рёло и касательного отрезка получилась длина огибающей линии, равная a+b.
6) Для трёх трёугольников Рёло длина огибающей линии будет в три раза больше, то есть L=3(a+b), такой же, как в предыдущих трёх случаях.
Основная теорема доказана.
Произвольный случай одинаковой ориентации треугольников Рёло доказал основную теорему - вывод. Этот случай соответствует дедуктивным рассуждениям, то есть от общего к частному, наиболее часто применяемым в математике.
Основная теорема. Огибающая линия трёх одинаково ориентированных треугольников Рёло, расположенных в вершинах правильного треугольника, имеет постоянную длину, не зависящую от одинаковой ориентации треугольников Рёло, эта длина равна сумме периметра одного треугольника Рёло и периметра треугольника из трёх центров треугольников Рёло.
Обобщение результата для технического применения
На рис.11 в каждом из четырёх вариантов ориентация трёх фигур одинаковая. Но при этом каждый вариант отличается от другого поворотом, то есть ориентацией треугольников Рёло: прямая, обратная, промежуточная, произвольная.
Рис. 11. Иллюстрация постоянства длины огибающей линии
Доказанная математическая теорема стала основой для создания новой ремённой передачи и соответствующих механизмов. На рис.12 показаны первые два макета, иллюстрирующие доказанную математическую теорему.
Рис. 12. Действующие макеты новой ремённой передачи
Первый макет изготовлен с изоляционной лентой в качестве ремня. На втором макете применён реальный ремень от двигателя внутреннего сгорания. Изготовленные макеты доказывают правильность математических выводов.
Выводы
1. Основная теорема.
Огибающая линия трёх одинаково ориентированных треугольников Рёло, расположенных в вершинах правильного треугольника, имеет постоянную длину, не зависящую от одинаковой ориентации треугольников Рёло, эта длина равна сумме периметра одного треугольника Рёло и периметра треугольника из трёх центров треугольников Рёло.
2. Подтверждена гипотеза о постоянстве длины огибающей линии для создания ремённой передачи для узла гусеничной ленты.
3. Получен авторский патент на изобретение для механизма с двумя противоположно ориентированными треугольниками Рёло [3].
4. Подготовлена заявка на патент на изобретение для ремённой передачи с тремя шкивами в форме треугольников Рёло, сохраняющих при вращении прямую ориентацию.
5. Сформулирована ещё одна гипотеза об экстремальном свойстве огибающей линии трёх треугольников Рёло – это минимум длины. Если эта гипотеза подтвердится и будет доказана математически, то появляется возможность создания ремённой передачи без проскальзывания ремня – такое нежелательное явление в принципе не будет иметь места. Это ближайшая перспектива работы, требующая изучить бесконечно малый поворот одного треугольника Рёло относительно другого в паре одинаковой ориентации.
Список литературы
1. Андреев Н.Н. и др. Круглый треугольник Рёло / Математические этюды. URL: https://etudes.ru/etudes/reuleaux-triangle/ (дата обр. 25.10.2025).
2. Кирнева К.Д. Рёлоход. 29 июня 2023 г. / Электронный ресурс: https://youtu.be/zy05I59UxXs?si=R4EwC57RrKhlhuGk
3. Кирнева К.Д. Многоосное шасси транспортного средства с колёсами в форме треугольников Рёло / Патент на изобретение RU 2832156, рег. 19.12.2024, публ. 19.12.2024, Бюлл. №35. - Заявка RU 2024112945 от 14.05.2024. Публ. заявки 01.07.2024, Бюлл. №19.
4.Tank Treads for Military Vehicles – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: TankTreadsforMilitaryVehicles / ru.pinterest.com
5. Описание танка Т-80БВ - [Электронный ресурс]. – Режим доступа: Описание танка Т-80БВ odetievbrony.ru (дата обращения 23.10.2025).