XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Новая топология в задаче о кратчайшем соединении вершин куба отрезками
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В геометрии известна задача о соединении четырёх вершин квадрата самой короткой линией. Это задача Штейнера. В обыденной жизни Штейнер искал вариант самой короткой дороги, которая должна соединить четыре деревни, находящиеся в вершинах квадрата. Результат решения этой задачи не является очевидным. Если начать анализировать варианты соединительной линии, то первой комбинацией являются четыре стороны квадрата. Пусть сторона квадрата равна 1. Тогда первая комбинация соединительной линии будет иметь длину 4. Продолжая анализировать форму линии, сразу становится видно, что одна сторона квадрата в ней лишняя, дорогу между деревнями достаточно проложить по трём сторонам. Вторая комбинация имеет длину 3, то есть короче первой. В качестве третьей комбинации соединительных отрезков предлагаются две диагонали квадрата общей диной . Наконец, четвёртая комбинация из пяти отрезков, предложенная Штейнером, является самой короткой соединительной линией длиной .
В предлагаемой работе решается более общая задача, пространственная.
Содержательная формулировка задачи: соединить восемь вершин куба самой короткой линией.
Методика решения задачи известна, сводится к перебору возможных вариантов соединительных линий, как при решении диофантовых задач в целых или в рациональных числах. Трудность представляет выбор формы в комбинации соединительных отрезков. Например, первый вариант пространственной задачи содержит 12 рёбер куба, поэтому такая соединительная линия будет иметь длину 12. При составлении второго варианта видно, что можно убрать пять рёбер, но так, чтобы из любой вершины куба по оставшимся отрезкам можно было пройти в любую другую вершину куба. Получается длина соединительной линии 7. Закономерен вопрос о существовании более коротких комбинаций соединительных линий.
При поиске новых вариантов соединительных линий есть смысл обратить внимание на форму мыльных плёнок, натянутых на кубический контур. Такое направление в математике получило название «минимальные поверхности», хотя оно не очень точно отражает решаемую задачу. Например, на два кольца мыльная плёнка будет натянута в виде катеноида, хотя поверхностью с минимальной площадью будет цилиндр. Следовательно, требуется проверить на условие минимальности, в этой работе длины, несколько вариантов комбинаций соединительных отрезков.
1. Исследование кратчайшей комбинации из двенадцати отрезков с внутренним квадратом
Такой вариант соединительной линии из двенадцати отрезков предлагается изучить в первую очередь, потому что он хорошо иллюстрируется физическим опытом на демонстрацию математической теории минимальных поверхностей. В частности, А.И.Драцкая проводила опыты с мыльными плёнками, натянутыми на различные контуры. Однако никаких аналитических расчётов автор не выполнила, ограничилась исключительно измерениями с помощью модели, нити и линейки общей длины всех соединительных отрезков [1]. Если контур выполнен в виде куба, то получается фигура из мыльных плёнок, показанная на рис.1. Сплошной утолщённой линией здесь и далее показана комбинация соединительных отрезков, пунктирные линии приведены только для обозначения контуров фигур, в рассматриваемом случае рёбер куба.
Рис. 1. Комбинация из двенадцати отрезков с внутренним квадратом
Обозначим сторону куба 2a, сторону внутреннего квадрата 2b. Комбинация соединительной линии состоит из двенадцати отрезков: 8 одинаковых отрезков AB соединяют вершины куба с вершинами внутреннего квадрата, 4 стороны BC внутреннего квадрата, сторону 2b которого требуется определить так, чтобы общая длина соединительной линии была минимальной.
Последовательно определяем:
; ; .
Общая длина двенадцати отрезков соединительной линии равна
.
Ребро куба 2a фиксировано, поэтому переменная a является постоянной величиной. Сторона 2b внутреннего квадрата является переменной, значение b надо определить с целью минимизации общей длины соединительной линии.
Находим производную функции:
Применяем необходимое условие экстремума: ;
.
Решаем иррациональное уравнение: ;
Решаем первое уравнение системы относительно неизвестной b:
;
; существуют два вещественных корня;
;
Второй корень уравнения исключаем, так как он не удовлетворяет второму условию системы.
Получаем .
Полученный результат хорошо согласуется с опытными данными А.И.Драцкой в экспериментах с мыльными плёнками, натянутыми на контур куба, где было отмечено, что маленький квадрат в середине имеет линейные размеры приблизительно 1/3 от размеров грани куба [1].
Проверяем достаточное условие экстремума. При переходе через найденное значение корня b слева направо, от меньших значений переменной b к большим, производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, найденное значение b является точкой локального минимума функции , то есть найденная комбинация двенадцати соединительных линий для вершин куба является самой короткой.
Граничные точки допустимого отрезка изменения переменной величины b в этом и следующих вариантах можно не изучать, потому что в них изменяется форма изучаемой конфигурации отрезков. Таким образом, задача поиска наименьшего значения функции сводится к определению точки локального минимума и значения функции в этой точке методами дифференциального исчисления. Определяем суммарную длину этих двенадцати соединительных отрезков. Для этого надо подставить найденное значение переменной величины b в целевую функцию минимизации . Общую длину соединительной линии удобно выражать как через полудлину а ребра куба, так и через длину его ребра 2a. Точные аналитические значения удобно дополнять приближёнными вычислениями найденных величин.
Таким образом, для случая соединительной линии из двенадцати отрезков с внутренним квадратом получена сторона внутреннего квадрата, соответствующая минимальной длине соединительной линии:
2. Сравнительный вариант – четыре диагонали куба
Для справки отметим, что топология из четырёх соединительных диагоналей имеет общую длину больше найденной ранее:
Этот вариант соединения четырёх вершин куба показан на рис.2.
Рис. 2. Диагональное соединение вершин куба
Закономерен вопрос о существовании других топологий соединительных линий для вершин куба, ещё более коротких. В частности А.И.Драцкая высказала гипотезу и экспериментально нитью измеряла общую длину тринадцати соединительных линий [1]. Значит, надо исследовать такую топологию строго аналитически.
3. Минимизация соединительной линии с тремя сторонами квадрата
Поиск вида кратчайшей соединительной линии, в том числе для восьми вершин куба, часто выполняется интуитивно. Например, в первом случае были определены размеры внутреннего центрального квадрата, с которыми прямолинейными отрезками соединяются вершины куба, чтобы длина соединительной линии была минимальной. Но в найденном варианте длину соединительной линии можно интуитивно уменьшить. Для этого, например, достаточно исключить одну из сторон внутреннего центрального квадрата. Как обосновывал Штейнер, соединительная «дорога» между «деревнями» сохранится. На рис.3 показан вариант такой соединительной линии. Но исключение одной стороны квадрата влияет на общую схему минимизации соединительной линии, поэтому задачу надо решить заново по уже предложенной методической схеме.
Рис. 3. Исключение одной стороны из внутреннего квадрата
Отличие от первого варианта заключается в учёте не четырёх, а только трёх сторон длиной 2a каждая внутреннего центрального квадрата
; ; ;
.
Получаем .
Определяем суммарную длину этих двенадцати соединительных линий:
Таким образом, для схемы с тремя сторонами внутреннего центрального квадрата получены другие размеры системы и другая общая длина всех соединительных отрезков, меньшая по сравнению с первым вариантом:
;
4. Обобщение варианта с тремя сторонами квадрата
В рассмотренном случае не обязательно требовать, чтобы во внутреннем маленьком квадрате были три стороны. Одну сторону, перпендикулярную двум другим, можно параллельно сдвигать в любое место, лишь бы она пересекалась с этими двумя сторонами. Такой вариант показан на рис.4.
Рис. 4. Сдвиг одного отрезка из трёх сторон квадрата
В рассмотренном случае, то есть при трёх сторонах внутреннего квадрата, суммарная длина соединительных линий получилась короче, чем при полном внутреннем квадрате. Однако в этом случае может быть потеряна одна или две симметрии фигуры.
5. Исследование кратчайшей топологии из тринадцати отрезков
Новая задача формулируется следующим образом.
Определить размер внутреннего центрального квадрата, не строя его, но построив в нём линию Штейнера, вершины которого соединены прямолинейными отрезками с парами вершинам куба, чтобы общая длина соединительной линии была минимальной.
Новизна задачи заключается в том, что внутренний центральный квадрат не строится, вместо этого сразу решается оптимизационная задача. Однако первая часть такого исследования посвящена формальной замене внутреннего центрального квадрата на его линию Штейнера, чтобы во второй части убедиться в правильности полученного аналитического результата.
5.1. Ячейка Штейнера вместо квадрата в середине
Справочный материал связан с задачей Штейнера о соединении четырёх вершин квадрата самой короткой линией [2]. В оригинальной формулировке Штейнер решал задачу о строительстве дорог минимальной общей длины между четырьмя деревнями, расположенными в вершинах квадрата. На рис.5 показан результат решения этой задачи, состоящий из пяти прямолинейных отрезков.
Рис. 5. Ячейка Штейнера из пяти отрезков в квадрате
Длина самой короткой линии, соединяющей четыре вершины квадрата, определяется из задачи Штейнера – это ячейка Штейнера, длину линий которой определяем с учётом принятых обозначений для внутреннего маленького квадрата:
5.2. Замена квадрата ячейкой Штейнера без минимизации длины
Если ячейка Штейнера короче, по суммарной длине всех отрезков, периметра квадрата, то сразу напрашивается вариант замены на неё квадрата в середине. Первый вариант новой более короткой соединительной линии заключается в формальной замене серединного квадрата ячейкой Штейнера без применения алгоритма минимизации функции – просто вместо внутреннего центрального квадрата размещается ячейка Штейнера.
Половина стороны внутреннего квадрата определена, она равна
.
Тогда длина всех пяти отрезков в линии Штейнера равна
Как предполагалось, при формальной замене внутреннего квадрата на ячейку Штейнера, общая длина тринадцати соединительных отрезков оказалась меньше общей длины двенадцати отрезков:
Однако надо помнить, что внутренний квадрат, хотя и оптимальный, был формально заменён на ячейку Штейнера того же размера. При такой формальной замене не выполнялась минимизация общей комбинации тринадцати соединительных отрезков.
5.3. Замена трёх сторон квадрата ячейкой Штейнера без минимизации длины
В качестве иллюстрации ещё одного варианта более короткой соединительной линии между восемью вершинами куба есть смысл изучить формальную замену трёх сторон квадрата на ячейку Штейнера. Такую задачу полезно решить с целью проверки правильности полученных результатов.
Закономерен вопрос о других возможных формальных заменах внутренней комбинации отрезков. Если замена внутреннего квадрата на ячейку Штейнера привела к уменьшению общей длины соединительной линии, то точно так же можно оценить этот эффект при замене трёх сторон квадрата, но уже другого оптимального размера, тоже на ячейку Штейнера того же размера.
Для варианта внутренних трёх сторон квадрата была выполнена минимизация общей длины всех соединительных отрезков. Оптимальная длина стороны внутреннего квадрата была определена ранее:
Общая длина пяти отрезков того же оптимального размера равна
Вычисляем общую длину тринадцати отрезков в соединительной линии во втором формальном варианте. В случае формальной замены трёх сторон внутреннего квадрата ячейкой Штейнера общая длина соединительной линии уменьшилась:
;
;
.
Но в этом варианте, как и в предыдущем совместная минимизация общей длины всех отрезков соединительной линии не выполнялась, то есть была проведена формальная замена трёх сторон квадрата на ячейку Штейнера. Следовательно, настало время перейти к решению общей задачи минимизации.
5.4. Минимизация длины варианта с ячейкой Штейнера
Заменяем маленький квадрат внутри куба на ячейку Штейнера. Получаем целевую функцию для общей длины соединительной линии из тринадцати отрезков:
.
.
Необходимое условие экстремума:
;
; .
Решаем иррациональное уравнение:
;
Решаем первое уравнение системы относительно неизвестной b:
; делим обе части уравнения на 2;
; ;
существуют два вещественных корня;
Второй корень уравнения исключаем, так как он не удовлетворяет второму условию системы. Получаем .
Найденное значение b является точкой локального минимума функции , то есть найденная комбинация двенадцати соединительных линий для вершин куба является самой короткой.
Получили общую длину заданной топологии из тринадцати отрезков:
В рассмотренном случае строго аналитически решена задача о соединении восьми вершин куба самой короткой линией. Оказалось, что такой линией является комбинация из тринадцати отрезков: пять отрезков – это ячейка Штейнера в центральном внутреннем квадрате, восемь отрезков соединяют концы ячейки Штейнера с парами вершин куба.
6. Практическое применение полученного результата в технике
1. Задача о самой короткой соединительной линии непосредственно связана с проектированием самых лёгких силовых рам летательных аппаратов. Например, в случае беспилотных летательных аппаратов типа квадракоптеров (с четырьмя несущими винтами) обычно применяется диагональная рама, но наряду с ней часто наблюдается рама в виде ячейки Штейнера с пятью отрезками. Это показано на рис. 6 копией компьютерного экрана.
Рис. 6. Два вида силовых рам квадракоптеров
2. В случае гексакоптеров (шесть несущих винтов) вид силовой рамы изменяется, но такая топология не является предметом изучения в этой работе.
3. Для увеличения грузоподъёмности начинают говорить об октакоптерах (8 несущих винтов). Сейчас такие конструкции ещё только проектируются, но одним из вариантов расположения двигателей может быть пространственная конфигурация в виде куба. Для такой конфигурации самой лёгкой силовой рамой является предлагаемая конструкция в виде исследованной топологии.
4. В строительстве армирование бетона стальными прутьями уже перестало быть исключительно линейным. Если применить предлагаемую конструкцию арматуры, то она охватит куб самой лёгкой арматурой, то есть минимумом стальных прутьев.
5. При развёртывании космических платформ в виде куба предлагаемая конфигурация силовой рамы тоже является перспективной, потому что она самая лёгкая.
Вывод
Построена и точно рассчитана топология из тринадцати отрезков в задаче Штейнера о соединении восьми вершин куба самой короткой линией. В результате исследования восьми видов топологий выбран вариант самого короткого соединения восьми вершин куба отрезками, соответствующий общей длине отрезков приблизительно 6,235 от стороны куба при стороне внутреннего квадрата, в который вписана плоская ячейка Штейнера 61% от стороны куба.
Более коротких топологий для этой задачи пока найти не удалось. Полученная топология требует дальнейшего изучения. Например, Штейнер доказал. Что в таких задачах углы между отрезками обычно 120 градусов. Но в полученной топологии это пока не изучалось.
Список литературы
1. Драцкая А.И., Скворцова А.А. Лёгкие композиционные структуры / 28-я Инновационно-ориентированная конференция молодых учёных и студентов МИКМУС-2016. Материалы конференции (программа, аннотации докладов). – М.: Институт Машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (ИМаш РАН), 7-9.12.2016. – С.96. http://www.mikmus.ru/opendocs/MIKMUS-2016/Pr_16_sait.pdf
2. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. – Библиотека «Математическое просвещение» М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2005. – 56 с. – Электронный ресурс:https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf