XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Многоугольники с постоянной суммой расстояний до сторон
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ
Некоторые многоугольники обладают красивым свойством – для любой их точки сумма расстояний до сторон многоугольника постоянна. Интересен вопрос – как описать множество многоугольников, которые обладают постоянной суммой расстояний до сторон?
ОСОБЕННОСТЬ ЗАДАЧИ
Это исследовательская задача, в которой есть «дано», но нет «доказать», т.е. заранее неизвестно, в какой форме будет получен результат, который нужно потом обосновать. Похожим образом стояла исследовательская задача перед И. Кеплером: «По каким орбитам могут двигаться планеты?».
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
Цель этой работы состоит в описании множества многоугольников, которые обладают постоянной суммой расстояний до сторон. Описание этого множества имеет не только теоретическое, но и практическое значение.
Например, теорема Вивиани, утверждающая, что правильные треугольники обладают этим свойством [1], используется как основа для создания трёхкомпонентных диаграмм, которые наглядно показывают состав систем из трёх элементов. Эти диаграммы применяются в генетике, почвоведении, металлургии, машиностроении и других областях.
Еще хотелось показать путь к решению задачи, т.е. естественный ход мысли, который постепенно привел к результату исследования.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Назовем свойство многоугольника – «постоянство суммы расстояний до его сторон для любой точки внутри него» – красивым. Многоугольники, обладающие этим свойством, назовем красивыми, а множество таких многоугольников – красивым множеством.
ПОДХОД К РЕШЕНИЮ
Лемма 1
Все правильные многоугольники красивые.
Доказательство
Выберем произвольную точку О внутри правильного многоугольника (рис. 1),
– сторона многоугольника, – высота треугольника, опущенная из точки О на i-юсторону многоугольника, S – площадь многоугольника, S можно выразить как сумму площадей треугольников с вершинами в точке О:
откуда получим, что
т.е. сумма расстояний до сторон – константа для данного многоугольника.
Анализ доказательства леммы 1
Мы нигде не использовали равенство углов, а использовали только равенство сторон, следовательно, доказательство верно для многоугольников с равными сторонами.
Лемма 2
Все выпуклые равносторонние многоугольники красивые.
Доказательство
Доказательство следует из анализа леммы 1.
Однако углы играют какую-то роль, и об этом говорит лемма 3.
Лемма 3
Все равноугольные многоугольники красивые.
Доказательство
Углы равноугольного многоугольника такие же, как у правильного многоугольника, поэтому стороны равноугольного многоугольника параллельны сторонам некоторого правильного многоугольника (рис. 2).
Рассмотрим равноугольный k-угольник A1A2…Ak. Углы при вершинах этого k-угольника равны углам при вершинах правильного k-угольника. Построим правильный k-угольник так, чтобы его стороны были параллельны сторонам данного k-угольника. Для этого проведём прямую b || A1Ak и на этой прямой отложим отрезок B1Bk произвольной длины. По ту же сторону от прямой b, в которой расположен данный k-угольник, отметим точку O так, что OB1 =OBk и . Проведём окружность с центром в точке O и с радиусом OB1 =OBk. В эту окружность впишем правильный k-угольник B1B2…Bk.
Аналогично
Стороны построенного правильного k-угольника параллельны сторонам данного k-угольника. Можно считать, что данный k-угольник расположен внутри правильного. Если это не так, то можно к правильному k-угольнику применить гомотетию с центром O и достаточно большим коэффициентом.
Внутри данного k-угольника возьмём произвольную точку A. Обозначим di — расстояния от точки A до сторон k-угольника, hi — расстояния между параллельными прямыми, содержащими соответствующие стороны k-угольников, тогда
где
∑di — сумма расстояний от точки A до сторон данного k-угольника,
∑(di + hi) — сумма расстояний от точки A до сторон правильного k-угольника,
∑hi— сумма расстояний между параллельными прямыми.
Суммы в правой части равенства не зависят от выбора точки A. Значит, сумма в левой части также не зависит от выбора точки A. Следовательно, равноугольный многоугольник красивый, что и требовалось доказать.
Следствие
Многоугольники, все стороны которых параллельны сторонам красивого многоугольника, тоже красивые.
Анализ решения
Идея параллельного переноса сторон, сохраняющего постоянство суммы расстояний, позволяет найти критерий наличия красоты у многоугольника. Будем так параллельно переносить стороны многоугольника, чтобы у нового многоугольника стороны последовательно становились равными. Если последняя параллельная сторона окажется равной предыдущим, то мы получим равносторонник, стороны которого параллельны сторонам исходного многоугольника, а тогда исходный многоугольник – красивый. А, если последняя сторона не будет равна остальным, то исходный многоугольник не может быть красивым. Получаем теорему:
Теорема
Многоугольник красивый тогда и только тогда, когда все его стороны параллельны сторонам некоторого выпуклого равносторонника.
Доказательство
Достаточность
Если существует равносторонник со сторонами, параллельными сторонам данного многоугольника, то данный многоугольник красивый (рис. 3).
Пусть B1B2…Bk равносторонник, стороны которого параллельны сторонам исходного многоугольника A1A2…Ak, тогда доказательство аналогично доказательству леммы 3.
Необходимость
П
усть A1A2…Ak – красивый многоугольник, – векторы единичных внешних нормалей к сторонам этого многоугольника, точки A, B – произвольные точки внутри многоугольника. Выразим расстояния от точек A и B до сторон многоугольника.
Рис. 4.
Пусть расстояние от точки до стороны многоугольника, где тогда это расстояние можно выразить с помощью скалярного произведения [2]:
, следовательно,
и ,
так как точки и выбраны произвольно внутри многоугольника.
Если повернуть векторы на 90° против часовой стрелки, то получим единичные векторы, направления которых совпадают с направлениями векторов . Обозначим эти векторы , тогда
При этом . Значит, векторы образуют замкнутую ломаную, звенья которой имеют единичную длину и параллельны сторонам данного многоугольника. Таким образом, существует равносторонник со сторонами, параллельными сторонам данного красивого многоугольника, что и требовалось доказать.
В частности, треугольник красивый тогда и только тогда, когда он правильный. Четырёхугольник красивый тогда и только тогда, когда он параллелограмм.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сгибнев А.И. Исследовательские задачи для начинающих. – Москва: Издательство МЦНМО, 2015. – 136 с.
2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. –Москва: Издательство МЦНМО, 2007. – 640 с.