XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Умножение чисел: история, виды, способы

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Аксёнов Т.А. 1

---

1МАОУ СОШ № 96 имени Героя Российской Федерации Владислава Посадского город Краснодар

Шуляк С.В. 1

---

1МАОУ СОШ № 96 имени Героя Российской Федерации Владислава Посадского город Краснодар

Работа в формате PDF

1.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.

Во втором классе общеобразовательной школы учащиеся изучают умножение чисел. Скоро это коснётся нас, первоклассников.

Актуальность темы исследования состоит в том, что знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Цель работы:

Исследовать и изучить необычные способы умножения.

Задачи исследования:

• Найти как можно больше необычных способов вычислений.

• Научиться их применять.

• Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

• Обучить своих одноклассников различным методам умножения, организовать соревнование – математический бой на занятиях внеурочной деятельности.

Методы исследования:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при решении примеров.

В данной работе я исследовал вопрос, что такое умножение чисел, когда это понятие зародилось, кто стоял у истоков, как производилось умножение в древности и как обстоит дело в нашей современности, какие существуют способы умножения и наконец какой способ наиболее эффективен.

Ответ на первый вопрос прост, и он однозначен для всех времён и народов: умножение – способ сложения одинаковых чисел n раз. Например, вместо сложения числа 3 семь раз мы можем просто 3 умножить на 7 и получить тот же результат, но гораздо проще и быстрее: 3+3+3+3+3+3+3=3*7=21. Конечно и первоначальным способом, это не так сложно, но если идёт речь о более больших числах, даже двузначных, то названное сложение становится более трудоёмким процессом, поэтому замена многократного сложения умножением является эффективным решением.

Умножение — арифметическое действие, результат которого называется произведением. (Приложение 1)

I. Из истории вычислительной практики.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

Я начал изучать и исследовать некоторые из указанных способов и выбрал наиболее интересные.

II. Возникновение операции умножения чисел.

История умножения насчитывает около 4000-5000 лет, начиная с вавилонских глиняных табличек и древнекитайских бамбуковых дощечек. Долгое время использовались различные методы, такие как египетское удвоение, пока не закрепилась таблица Пифагора и современный метод столбиком, усовершенствованный Адамом Ризе. Знак умножения (крестик) ввел Уильям Отред в 1631 году. 

Перечислим ключевые этапы развития умножения чисел.

Древний Вавилон (около 4000-5000 лет назад). Самые ранние таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе счисления. (Приложение 2)

Древний Китай (около 305 г. до н. э.). Найдены десятичные таблицы на бамбуковых дощечках. (Приложение 3)

Древняя Греция (Пифагор, VI в. до н. э.). Традиционно приписывается создание «Таблицы Пифагора», хотя старейшие записи датируются позже (I в. н. э.). (Приложение 4)

Египетский метод. Умножение выполнялось путем последовательного удвоения одного числа и сложения соответствующих результатов.

Средневековье и Ренессанс. В 493 году Викторий Аквитанский составил таблицу до 50. В XVI веке немецкий педагог Адам Ризе закрепил современный метод умножения «столбиком».

Символика. Знак умножения (косой крестик) ввел английский математик Уильям Отред в 1631 году, а точку предложил Лейбниц в конце XVII века. 

В России таблица умножения стала широко известна благодаря «Арифметике» Леонтия Магницкого (1703 г.). 

Разные страны используют уникальные методы умножения, от древних визуальных техник до современных алгоритмов. Основные способы включают японский/китайский метод линий, древнеегипетское умножение (удвоение) и метод сетки. Эти подходы, такие как подсчёт точек пересечений линий, помогают визуализировать процесс, часто заменяя запоминание таблицы умножения. Рассмотрим более подробно способы умножения, дошедшие до наших времён.

III. Различные способы умножения.

1. Китайский (японский) способ умножения

Этот способ называют методом линий. Суть метода: числа представляются в виде групп линий (горизонтальных и вертикальных).

Пример: 12˟3

Рисуется 1 линия, затем 2 линии (12), пересекаемые тремя линиями (3). Точки пересечения подсчитываются по группам (единицы, десятки), что дает результат 36.

Особенностью данного метода является наглядность, позволяет умножать двузначные и трёхзначные числа без использования таблицы умножения.

В японских школах умножение чисел производят аналогичным способом. Алгоритм решения представим на примере выражения 3×4.

1. Нарисовать 3 диагональные линии.

2. Перпендикулярно к ним 4 линии, которые будут пересекать нарисованные.

3. На пересечении линий поставить точку. Количество точек – результат умножения. Итак, 3˟4=12. (Приложение 5)

Таким же способом можно умножать и двузначные числа.

Алгоритм решения примера 21×13.

1. Разбить 21 на 2 и 1 и сначала нарисовать две линии (десятки), а затем одну (единицы), чуть правее.

2. Разбить аналогично 13 на 1 и 3 и изобразить их перпендикулярно.

3. Линии пересекаются в трёх областях (на рисунке обведены красным овалом).

4. В каждой из этих областей подсчитать количество точек, результат: (2), (7), (3). То есть 273. (Приложение 6)

2. Индийский способ умножения

Умножение с помощью индийского способа помогает посчитать произведение трёхзначных чисел. Он также визуальный, но использует таблицу 3 на 3 с диагональными линиями. Рассмотрим алгоритм индийского способа умножения на примере выражения 125×235.

1. Нарисовать таблицу 3 на 3 с диагональными линиями внутри квадратиков.

2. Выбрать наибольший множитель – 235. Записать число сверху над таблицей так, чтобы каждая цифра соответствовала своему столбцу.

3. Меньшее число записать слева от таблицы снизу вверх (стрелка на иллюстрации). (Приложение 7)

4. Перемножить цифры слева с числами вверху. Результат записать в общей для обеих цифр ячейке.

5. На иллюстрации: 5×2 = 10. Цифра 1 – в нижней части, 0 — в верхней.

6. Продолжить выполнение действий для каждой ячейки до полного заполнения таблицы. (Приложение 8)

7. При заполнении всех ячеек производится суммирование чисел по диагональным линиям (дорожкам). На иллюстрации они обозначены разными цветами. На зелёной дорожке находится только одно число «5». На жёлтой дорожке - 5+2+0 = 7.

8. На красной дорожке сумма – 13. Записывается «3», а «+1» добавляется к следующей дорожке — голубой. На голубой дорожке сумма чисел – 8, при сложении с предыдущей 1 получаем 9. (Приложение 9)

9. В результате получается 5 цифр, которые записываются с конца к началу. Таким образом, правильный ответ - 29 375. (Приложение 10)

3. Древнеславянский способ умножения

Этот метод буквально метод умножения на пальцах. Пальцы обеих рук мысленно перенумеровываются, начиная от мизинца с числа 6 и заканчивая большим пальцем – 10.

Рассмотрим пример 8˟7=? Соединяются средний палец левой руки (8) с безымянным правой руки (7). Как показано на иллюстрации. Далее подсчитываются соединенные пальцы и те, которые оказались ниже. Это количество десятков в полученном произведении – число 5. Число пальцев левой (2) и правой руки (3) перемножаются между собой. Это количество единиц 2˟3=6 в искомом произведении. Итак, 8˟7=56. (Приложение 11)

4. Умножение столбиком

В школах России и стран СНГ используют умножение чисел столбиком. Это стандартный алгоритм, основанный на последовательном умножении разрядов и сложении с переносом десятков, сотен и т.д.

Введём основные понятия. В математике общепринята в основном десятеричная система исчисления и позиционная запись числа. Каждая цифра, а их десять: 0, 1, 2, …, 9, записывается на определённой позиции и в соответствии с этим считывается. Т.е. любое число можно записать с помощью цифр. При записи многозначных чисел важно, чтобы каждая цифра была на своём месте. Место, которое занимает цифра в записи числа, называют разрядом. Они отсчитываются с конца, справа налево: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен, разряд тысяч и т.д. 

Например, в числе 746 семь сотен, четыре десятка и 6 единиц. (Приложение 12)

Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то на его месте ставится ноль. Так, если в числе 6 сотен и 5 единиц, оно записывается так - 605.

С помощью таблицы умножения, которую надо обязательно знать наизусть, можно легко и быстро производить любые вычисления в столбик. (Приложение 13)

В математике существует понятие рационального способа решения, т.е. решение, выполненное с наименьшими затратами ресурсов. Знание свойств умножения помогает облегчить задачу. Перечислим их.

1. Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей произведение не изменяется. 

Например, 3 × 145 = 145 × 3

2. Свойство умножения на ноль. При умножении любого числа на 0 получается 0. 

Например, 66 × 0 = 0 или 0 × 132 = 0

3. Сочетательное свойство умножения. При вычислении произведения трёх и более множителей результат не изменится, если два множителя заменить их произведением. 

Например, 16 × 4 × 7 = (16 × 4) × 7 = 16 × (4 × 7) 

Перейдём к рассмотрению алгоритма умножения в столбик.

1️. Записать пример в столбик, соблюдая правило: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д. Применяя переместительного свойства умножения, записывать пример так, чтобы наименьшее число по количеству цифр в его записи было внизу. 

2️. Выполнить вычисления справа налево: 

• умножить первый множитель на единицы второго множителя

• умножить первый множитель на десятки второго множителя

• умножаем первый множитель на сотни второго множителя.

При этом результат записывать под чертой, сдвигаясь влево на одну позицию при переходе к каждому следующему разряду. 

Сложить то, что найдено и получить ответ.

Пример. 273 × 43=?

1. Запишем пример в столбик: 

2. Выполним вычисления справа налево.

Умножаем первый множитель на единицы второго множителя: 

3 × 3 = 9 — пишем под единицами.

7 × 3 = 21 — один пишем под десятками, два запоминаем. 

2 × 3 = 6 плюс 2, равно 8 — пишем под сотнями.

➜ Умножаем первый множитель на десятки второго множителя: 

При умножении на десятки результат записываем со смещением на 1 клеточку влево. 

3. Сложим получившиеся результаты и найдём ответ. 

Можно сформулировать некие правила умножения чисел.

1. При умножении на однозначное число второй множитель пишут под единицами первого. Сначала умножают единицы, потом десятки, сотни и так далее. Если первый множитель оканчивается нулями, то второй множитель пишут под первой цифрой первого множителя, отличной от нуля.

2. При умножении на двузначное число множители записывают так, чтобы единицы были под единицами, десятки — под десятками. Сначала умножают на единицы второго множителя, потом — на десятки. Если множители оканчиваются нулями, то их записывают так, чтобы первые цифры справа, отличные от нуля, были друг под другом.

3. При умножении на трёхзначное число множители записывают так, чтобы единицы были под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями. Сначала умножают на единицы второго множителя, потом — на десятки и сотни. Если множители оканчиваются нулями, то их записывают так, чтобы первые цифры справа, отличные от нуля, были друг под другом.

Заключение

Надо отметить, что существуют и другие способы умножения чисел.

Древнеегипетский метод (удвоение) – одно из чисел разбивается на сумму степеней двойки, а второе число последовательно удваивается.

Метод сетки – числа разбиваются на разряды (десятки и единицы), записываются в таблицу, умножаются отдельно, а затем складываются. (Аналог индийского метода умножения)

Алгоритм Фюрера (Швейцария. Современный метод) – для очень больших чисел, основан на быстром преобразовании Фурье, эффективнее традиционных методов для вычислений.

Эти методы пока для нашего возраста в силу не достаточных знаний не доступны, но умножение в столбик вполне приемлемо и выполняет поставленную задачу.

Таким образом, можно заключить, что существует большое многообразие способов умножения чисел. Эти методы показывают, что математическое умножение может быть не только абстрактным, но и графическим, визуализированным или алгоритмическим. Нельзя однозначно сказать лучше тот или иной метод по сравнению с другим, всё относительно и находится в зависимости от культурных традиций обучения.

Список использованных источников и литературы

1. Глейзер Г. И. «История математики в школе», 4—6 классы : пособие для учителей / [изд. подгот. А. А. Свечниковым]. — М. : Просвещение, 1981. — 240 с.

2. Депман И.Я. «Из истории математики». — Москва: Либроком, 2021.

3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. «За страницами учебника математики». – Москва: Просвещение, 1996.

4. Перельман Я. И. «Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел». — Москва: Руссико, 1994.

5. Свечников А. А. «Путешествие в историю математики». — Москва: Педагогика-Пресс, 1995.

6. Энциклопедия «Аванта+» (Том «Математика»). Энциклопедия для детей. МАТЕМАТИКА. Том 11 – Аванта+ , 2004

7. Интернет-ресурс: «Математические этюды» (etudes.ru).

8. Обучающие видеоролики по теме «Китайское умножение» (платформа YouTube). 

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Приложение 13