XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Чудеса математики

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Калинин М.К. 1

---

1МАОУ "СОШ №40"

Сорокина О.В. 1

---

1МАОУ "СОШ №40"

Работа в формате PDF

505.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Однажды летним днем я немного скучал, тогда мама сказала - «Хочешь я удивлю тебя, но тогда тебе придется немного потрудиться». Я согласился, и она показала мне фокус. Он оказался удивительным и необычным. Она попросила загадать число, и при помощи несложных математических действий мама смогла отгадать задуманное мной число. Мне стало очень интересно, и я решил разобраться в этом и раскрыть секреты математических фокусов. Это и стало темой моей исследовательской работы.

Актуальность. Математические фокусы помогают развивать логику, устный счет, внимание и сообразительность. Они вызывают любопытство и заставляют задуматься о том, какие законы и правила лежат в их основе.

Итак, цель работы: изучив математические фокусы, доказать, что это решение математических задач и уравнений, а также показать возможность применения на уроках математики.

Исходя из цели, поставлены следующие задачи:

1.Собрать и проанализировать информацию о математических фокусах.

2. Выбрать наиболее интересные фокусы, чтобы изучить их «секреты».

3. Разработать свои математические фокусы.

4. Выбрать темы к урокам математики, к которым их можно применить.

5. Проанализировать, насколько математические фокусы интересны учащимся.

6. Обобщить результаты и сделать выводы.

Объект исследования: математические фокусы.

Предмет исследования: приемы и закономерности.

Методы исследования:

1.Поиск информации в литературе, в интернете.

2.Анализ полученных данных.

3.Практическое применение на уроках математики.

Для достижения цели мы выдвинули гипотезу: математические фокусы не настолько сложны и мы сможем придумать свои фокусы и применить их на уроках математики, тем самым повысить интерес к предмету.

1. Основная часть

   1. История возникновения фокусов.

Из литературы мы узнали, что математический фокус — это занимательная задача, которая создаёт эффект неожиданного результата. На первый взгляд такие фокусы могут показаться магией, однако в их основе всегда лежат строгие математические законы. Чтобы понять суть фокуса – значит нужно разобраться в небольшой математической закономерности.

Изучив интернет-источники [7], я узнал, что в глубокой древности фокусы использовали колдуны и знахари. Они тщательно охраняли свои секреты, чтобы посторонние никогда не могли их узнать. Первые упоминания о фокусах встречаются в папирусах около 2900 года до н.э. в Древнем Египте. Они демонстрировали сами с собой открывающиеся двери, раскаты молний, создавалось это при помощи знаний физики, математики и химии. В средние века фокусы считались колдовством и привилегией узкого круга лиц. В Россию это искусство пришло из Византии. Скоморохи исполняли былины и песни, акробатические номера, демонстрировали фокусы, которые в древних русских документах назывались «шутками».

С развитием математики фокусы стали восприниматься не как колдовство, а как интеллектуальная забава. Первое упоминание о математических фокусах было в 1703 году русским математиком Леонтием Филипповичем Магницким [7]. Одна глава книги содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для «утехи и особенно для изощрения ума учащихся» [6].

Не каждому известно, что великий русский поэт М.Ю. Лермонтов был большим любителем математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них придумывал сам.

Находясь на стыке двух дисциплин, математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Однако, математические фокусы имеют свою особую прелесть. Они занимательны и приносят наслаждение тому, кто одновременно знаком с фокусом и математикой.

1. 2. Математические фокусы и их виды.

Фокусы часто подразделяют по виду предметов, которые в них используют, например, фокусы с монетами; фокусы с игральными картами; фокусы с веревками; фокусы с шариками; фокусы с платком; фокусы со спичками, фокусы с числами и другие.

Математические фокусы бывают:

• Числовые.

• Фокусы с картами (с математическим расчетом).

• Фокусы с мелкими предметами.

• Исчезновение фигур.

• Фокусы с отвлеченными числами

• Математические таблицы

• Фокусы на нахождение задуманного числа

В нашей исследовательской работе мы разберем числовые, фокусы на нахождение задуманного числа, фокусы с исчезновением фигур, с вертикальными линиями и мелкими предметами.

1. 3. Фокусы на нахождение задуманного числа

Принцип данных фокусов заключается в использовании особых свойств чисел, закономерностей, которые позволяют угадать число, несмотря на то что отгадывающий не знает этих свойств.

Фокус №1. Отгадай число

Задумайте число, прибавьте к нему 2, умножьте полученный результат на 3, отнимите 5, затем снова отнимите задуманное число и умножьте полученный результат на 2, затем снова отнимите 1.

Секрет фокуса состоит в составлении уравнения ((х+2)*3-5-х)*2)-1

Решение:(3х+6-5-х)*2-1

4х+2-1=4х+1

Ответ: 4х+1 таким образом, мы выяснили, что ответ будет в рамках полученной закономерности.

Фокус № 2. Отгадай число

Задумайте число, прибавьте к нему 2, получившийся результат умножьте на 2, затем прибавьте 3, затем отнимите задуманное число, после чего прибавьте 5 и снова отнимите задуманное число.

Составим уравнение и определим закономерность (х+2) *2+3-х+5-х

Решение: 2х+4+8-2х

Ответ:12, в данном фокусе ответ всегда будет одним.

Фокус №3. Цифра

Загадайте любую цифру, кроме единицы и умножьте ее на 9. В результате получится двузначное число. Но фокуснику назовите только первую из двух цифр получившегося числа. Секрет фокуса: любая цифра, помноженная на 9, в сумме всегда дает двузначное число, обе цифры которого, если их сложить между собой, дают в сумме 9. Допустим: 9x3=27. Вам, скажем, назвали из этого числа цифру 2. Тогда вы от 9 отнимаете 2, получается 7, и тут же называете все число — 27.

Ответ. Но порешав некоторое количество раз мы поняли, что однозначного ответа в данном фокусе нет. Ответа будет всегда два, поскольку зная таблицу умножения на 9, в ответе зеркальные числа 27 и 72, 36 и 63. Или можно попросить зрителя назвать первое число. Тогда ответ будет один.

Фокус №4. «Сложение чисел Фибоначчи»

Другой, несколько менее известный вычислительный фокус состоит в почти мгновенном сложении любых десяти последовательных чисел Фибоначчи.

Запишите друг под другом два любых числа. Затем сложите эти числа. Найденное таким образом третье число складывается со вторым (стоящим над ним), и получается четвертое число. Этот процесс повторяют до тех пор, пока в вертикальном столбце не окажется десять чисел:

8

5

13

18

31

49

80

129

209

338

Когда все числа будут записаны, фокусник открывает глаза и проводит под колонкой цифр черту и, не задумываясь, подписывает сумму этих чисел.

Решение. Обозначим первое число- Х, второе- Y
Тогда 3-е число: Х+Y
4-ое: Y+Х+Y=2Y+X
…
7-ое: 5Х+8Y
…
10-ое: 21Х+34Y
Сумма всех 10-и чисел равна: 55Х+88Y=11*(5X+8Y), то есть
нужно просто взять седьмое число в столбце и умножить его на 11 — операция, которую нетрудно проделать в уме. В нашем случае седьмым числом будет 80, поэтому в ответе получится число 80, взятое 11 раз, т. е. 880.

1. 4. Фокусы с «Исчезновение фигур».

Фокус с исчезновением фигуры — это геометрический парадокс. Все они начинаются с разрезания фигуры на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть первоначальной фигуры (это может быть часть площади фигуры или один из нескольких изображенных на ней рисунков) бесследно исчезла. Когда же куски возвращаются на свои первоначальные места, исчезнувшая часть таинственным образом возникают вновь.

Фокус №5. С вертикальными линиями

Начертим на прямоугольном листе бумаги десять вертикальных линий одинаковой длины и проведем пунктиром диагональ, см на рис.1 Приложение 1. Разрежем прямоугольник по пунктирной линии и сдвинем нижнюю часть влево вниз, см. на рис.2 Приложение 1.

Сосчитав число вертикальных линий, вы обнаружите, что теперь их стало девять. Какая линия исчезла и куда? Если передвинуть левую часть в прежнее положение, то линия появится снова.

Секрет фокуса. Рассмотрим рисунок до разрезания, отрезки этих линий над диагональю и под ней. Заметим, что длина первых уменьшается, а вторых увеличивается.

Фокус №6 с квадратом.

Возьмем квадрат 8*8=64 клеток. Разрезаем на части (см. Приложение1 рис. 3) и перераспределяем в прямоугольник, в котором получаем 5*13=65 клеток (см. Приложение 1 рис.4).

Секрет фокуса. При разрезании высота верхнего прямоугольник больше, а нижний шире. В глаза бросается не аккуратное смыкание, а не неточности.

1.5. Фокусы с мелкими предметами

Каждый мелкий предмет так или иначе связан с числами или счетом и используется в фокусах. Здесь мы проиллюстрируем различные принципы, которые используются в фокусах с мелкими предметами.

Фокус №6. Отгадай час

Задумайте какой-нибудь час (от 1 до 12). Задуманный вами час запомните. Теперь я буду указкой постукивать по часам. Каждый раз, когда постучу, прибавляйте к задуманному вами числу по одному. Когда вы досчитаете до двадцати, остановите меня.

Секрет фокуса. Вначале нужно ударять указкой по циферблату по любым делениям до семи ударов. Восьмым ударом показывается число 12, а потом с каждым ударом перемещаемся влево (11, 10, 9 и т.д.) Когда вы скажете: "Довольно", — указка будет стоять на том часе, который вы задумали. Расчет очень простой. Всего будет ударов (20-х). Когда будет сделано восемь ударов, указка покажет число 12. С этого момента мы делаем еще столько ударов, сколько не достает вам до двадцати, так как, двигаясь влево, будут показываться числа, последовательно уменьшенные на единицу.

2. Практическая часть

   1. Выявление интереса учащихся к математическим фокусам

На уроках математики я показал математические фокусы, рассказал о секретах и научил нескольким приемам. Затем, чтобы определить заинтересованность к математическим фокусам провел анкетирование. В анкетировании приняли участие ученики 5-х классов. Им были заданы следующие вопросы:

- Понравились ли вам математические фокусы?

-На сколько понятны показанные вам фокусы, оцените по шкале от 1 до 10

- Считаете ли вы, что они развивают логику, мышление и устный счет?

- Хотели ли бы вы, чтобы фокусы применялись на уроках математики?

- Будет ли легче даваться изучение новой темы с помощью математических фокусов?

- Как вы считаете, будет ли легче даваться изучение новой темы с помощью математических фокусов?

- Готовы ли вы попробовать создать свой математический фокус?

С результатами обработки анкет можно ознакомится в приложении 2. Сравнивая, анализируя и сопоставляя полученные результаты, мы пришли к выводу, что все продемонстрированные фокусы понятны и интересны большинству ребят, хорошо усваиваются, вызывают интерес, оживляют и украшают «скучный» процесс вычислений.

Анкетирование подтвердило гипотезу о том, что математические фокусы повышают интерес к изучению математики и делают уроки более увлекательными.

1. 2. Авторские фокусы

Изучив и выявив секреты наиболее заинтересовавших нас математических фокусов, мы решили придумать свои, чтобы в будущем их использовать на уроках математики.

Фокус №7. Отгадай число

• Задумайте число

• Прибавьте к нему 100

• Умножьте полученный результат на 2

• Вычтите 50

• К полученному результату прибавьте 100

Для выявления закономерности составим уравнение (х+100)*2-50+100

Решение: х+125, таким образом чтобы отгадать задуманное число нужно из полученного результата вычесть 125.

Подобных фокусов можно придумать большое количество. Разберем еще один выдуманный мной фокус.

Фокус №8. Отгадай число

• Задумайте число

• Прибавьте к нему 10

• Полученный результат умножьте на 5

• Вычтите 45

• Полученный результат поделите на 5

• вычтите задуманное число

• И прибавьте 1

Решение: составим уравнение ((х+10)*5-45)/5-х+1= (5х+50-45)/5-х+1=(5х+5)/5+х+1=2

Решав уравнение мы видим, что ответ всегда будет 2.

Фокус №9. НОД и НОК

Условие: Выберите два числа от 1 до 100. Попросите зрителей загадать два числа и запомнить их. Затем вы сможете угадать произведение НОД и НОК, используя несколько простых шагов.

Шаг 1: Начните с объяснения, что наибольший общий делитель — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка. Например, для чисел 12 и 18 НОД будет 6, а НОК будет 36.

Шаг 2: Выбор чисел: попросите зрителей выбрать два числа. И найти их НОК и НОД.

Шаг 3: затем пусть они назовут вам загаданные два числа, а вы без раздумывания назовете произведение НОД и НОД. Либо пусть зритель назовет НОД и НОК загаданных чисел, а вы с лёгкостью сможете отгадать загаданные зрителем числа.

Секрет фокуса: НОД(a,b)*НОК(a,b)=a*b. Зная это свойство с легкостью можно найти все ответы.

Фокус №10. Ваш выигрыш в лотерею

Возьмите Ваш год рождения и прибавьте 74, затем прибавьте количество лет, которое вам исполняется в 2026 году. Отнимите от получившегося числа 100. Припишите к полученному числу три нуля справа. Получится 2 000 000.

Решение: взял год своего рождения

2014+74=2088

Прибавили к полученному числу количество лет, которое мне исполнится в 2026 году,

2088+12=2100

2100-100=2000

Приписываем к 2 000 три нуля справа и получаем 2 000 000

Секрет фокуса: если сложить количество лет, которое вам исполниться в 2026 году с годом вашего рождения, получиться число 2026. А если, а если прибавить к нему 74 получится 2100, достаточно вычесть из него 100, получим 2000 и если приписать еще 000, то получаем 2 000 000. Таким образом можно загадать любое число и подвести к нему решение.

2.3 Фокусы на уроках математики

Проведя анкетирование, мы выяснили, что ребятам очень понравилось и они заинтересовались математическими фокусами, даже готовы в них разобраться, чтобы попробовать придумать самим. Я на личном опыте поэкспериментировал. Попробовал придумать фокусы на определенные темы по математике. Теперь мы с уверенностью можем сказать, что математические фокусы играют важную роль в обучении. Они повышают интерес к предмету, помогают лучше усваивать материал и развивают мышление. Их можно использовать на различных уроках, в задачах повышенной трудности, а также в закреплении материала (см. табл. Приложение 2)

Использование фокусов на уроках математики позволяет сделать занятия более разнообразными и увлекательными. Ученики начинают воспринимать математику не только как набор формул, но и как науку, полную закономерностей и удивительных открытий.

Заключение.

В ходе выполнения исследовательской работы были изучены математические фокусы и задачи, раскрыты их особенности и секреты. Рассмотрены различные категории математических фокусов, приведены примеры задач и разработаны собственные фокусы по темам школьной программы. Проведённое анкетирование показало, что математические фокусы вызывают интерес у учащихся и способствуют повышению мотивации к изучению математики.

Таким образом наша гипотеза подтвердилась. Исследовательская работа достигла цели, мы смогли составить свои математические фокусы, которые можно использовать на уроках математики и повысить заинтересованность к данному предмету.

Библиографический список.

1. М. Гарднер. Математические чудеса и тайны; Пер с англ.; под ред. Г.Е. Шилова. -Мн.: «Современное слово», 1997г.

2. Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь»,2007г

3. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» с.382, 2007г

4. 365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ – пресс,с. 350, 2005г

5. Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение, с.160, 1996г.

6. Магницкий, Л. Ф. Арифметика (Арифметика Магницкого)/ Л.Ф. Магницкий. — Санкт-Петербург, 1703.

7. https://ru.wikipedia.org/

Приложение 1

Рис. 1 Линии до разрезания Рис. 2 Линии после разрезания

Рис.3 8*8=64 кл Рис.4 5*13=65 кл

Приложение 2