XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Нетрадиционные способы умножения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гусева С.С. 1

---

1МАОУ "СОШ №35" г.Стерлитамак

Вагапова Л.М. 1

---

1МАОУ "СОШ №35" г.Стерлитамак

Работа в формате PDF

79.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Однажды, по телепередаче, я увидела талантливых детей и их супер способности. Мое внимание привлек мальчик, который умел очень быстро вычислять в уме. Он использовал старинный японский способ вычисления в уме[4, 44]. Я заинтересовалась этим способом вычисления и поискала информацию в интернете. К моему удивлению, я обнаружила, что существует большое множество нетрадиционных способов вычисления. Они все интересны по-своему. Мне захотелось изучить эти способы и познакомить с ними моих одноклассников. Я рассмотрела7наиболее интересных способов умножения[6, 157].

Цель исследовательской работы: изучить необычные способы умножения и познакомить с ними учащихся.

Гипотеза: если существует множество рациональных способов умножения, то они могут быть достаточно распространёнными среди учащихся.

Задачи:

1. Узнать, какие способы умножения существуют в математике.

2. Научиться пользоваться этими способами.

3. Сделать красочное наглядное пособие в виде куба «Нетрадиционные способы умножения».

4. Распространить нетрадиционные способы умножения среди 5, 6, 8 классах.

5. Провести исследование «Распространение нетрадиционных способов умножения среди учащихся».

6. Графически представить результаты исследования.

Объект исследования: нетрадиционные способы умножения

Предмет исследования: математика

Методы исследования: анализ литературы, анкетирование, эксперимент, анализ результатов эксперимента.

Образ продукта проекта:куб, размером21*21*21 см³. На каждой грани куба нетрадиционные способы умножения (см. Приложение 2, рис. 1).

Глава I. Нетрадиционные способы умножения

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения [1, 30].

И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом [3, 45].

Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

1. Графический способ умножения.

В России мы привыкли умножать столбиком. Но в азиатских странах (Япония, Китай) принята визуализация даже в умножении. В связи с тем, что китайцы привыкли изображать все графически, их метод умножения тоже носит графический характер [7, 451].

На первый взгляд графический метод может показаться сложным и запутанным, но это не так. На самом деле он нагляден и красив.

Разберем умножение 14 на 23.Для этого изобразим графически эти числа 14 и 23. Чертим диагональные линии (чертим по направлению: с левого нижнего угла в правый верхний угол): 1 линию (зеленого цвета) – количество десятков, 4 линии (красного цвета) – количество единиц в первом числе (см. Приложение 3, рис. 2).

Далее изобразим число 23. Чертим диагональные линии (по направлению с левого верхнего угла в правый нижний угол): 2 линии (синего цвета) – число десятков в разряде, 3 линии (оранжевого цвета) – число единиц (см. Приложение 3, рис. 3).

Для того чтобы выполнить умножение нужно совместить линии двух чисел, то есть необходимо начертить их друг на друге (см. Приложение 3, рис. 4). Число их пересечений покажет сколько единиц в каждом разряде.

Рассмотрим количество пересечений линий (их еще называют «узелками») в областях, указанных на рис. 3 и запишем полученный результат: 322. Эти области показывают сколько количество единиц, десятков, сотен в каждом разряде. Если получится двузначное число в какой-нибудь области, например 12, то 1 переходит в следующий более старший разряд.

Графический способ умножения иногда называют китайским или японским.

Археологами в Японии была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения, которая предположительно была изготовлена в VIII веке. Учёные полагают, что подобные таблицы использовались японскими императорскими чиновниками, которым было необходимо осваивать разные науки, в том числе и арифметику. Обнаруженная табличка - самая древняя из всех найденных в Японии ранее. Интересно, что иероглифы, которыми записаны цифры, по стилю графического начертания очень похожи на те, которые использовались как официальное письмо во времена китайской династии Тан VII-X века. Исходя из этого, ученые предположили, что таблица была скопирована из китайского учебника арифметики того времени, то есть вся японская таблица умножения была заимствована из Китая.

Именно к своим соседям в Китай ездили высокопоставленные японцы каждый год, чтобы перенять у них разные науки, такие как арифметику. Древняя китайская таблица умножения была не из простых, так как включала в себя умножение двузначных чисел друг на друга. Вряд ли все японские чиновники могли выучить такую таблицу наизусть, поэтому и носили с собой на работу что-то типа шпаргалок, фрагмент одной из которых и представляет собой найденная археологами в Японии табличка.

Итак, японская таблица умножения была заимствована у китайцев, которые, согласно некоторым гипотезам, и были одними из создателей первой арифметической системы, о чем свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценили в 2700-3000 лет [6, 182].

2. Умножение на пальцаходнозначных чисел от 6 до 9.

Умножение на пальцах использовался на Руси у купцов (древнерусский способ). Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9.При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством[4, 45].

Чтобы умножать на пальцах нужно:

1. Растопырить пальцы на обеих руках и повернуть руки ладонями к себе.

2. На левой руке вытягиваем столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на правой вытягиваем столько пальцев, на сколько второй множитель превосходит число 5.

3. Остальные пальцы сгибаем.

4. Потом суммарное число вытянутых пальцев умножаем на 10.

5. Перемножаем числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках.

6. Результаты складываем.

Например, умножим 7 на 8.

Растопырили пальцы на обеих руках и повернули руки ладонями к себе. Соединяем пальцы на левой руке, указывающий цифру 7, а на правой руке, палец, указывающий цифру 8. Вверху на левой руке оказалось 3 пальца, а на правой 2. Умножаем 3 на 2, получили 6. Внизу считаем суммарное количество пальцев – их 5 штук. Умножаем на 10, получаем 50. Таким образом получили число 56 (см. Приложение 4, рис.5).

1. Умножение на 9 на пальцах.

Умножение однозначных чисел на 9 легче выветривается из памяти. Но проще выполняется на пальцах.Рассмотрим алгоритм этого метода:

1. Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (см. Приложение 4, рис. 7).

2. Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6 (см. Приложение 4, рис. 8).

3. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц (см. Приложение 5, рис. 9).

4. Слева у нас не загнуто 5 пальцев, а справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54.

4. Умножение чисел методом «Ревность или решетчатое умножение».

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдаллах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми в своей «Книге об индийском счете» описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решетки» или «ревность».

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь»(см. Приложение 6, рис. 10)

Алгоритм решетчатого умножения:

1. Рисуем прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя.

2. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи».

3. Запишем над ней число – первый множитель 254, а справа число – второй множитель 23.

4. В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней.

5. Складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получим число 5842(см. Приложение 6, рис. 11).

5. Индийский способ умножения.

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Умножение выполняется, начиная со старшего разряда, и записываются неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние.

Рассмотрим на примере, умножения 537 на 6:

Умножаем 5 на 6, получаем 30, приписываем 0, получаем 300. Далее умножаем 3 на 6, получаем 18, складываем с 500, получим 518. Далее приписываем в конце 0, получаем 3180. После, 7 умножаем на 6, получаем 42, прибавляем к 3180, получим 3222 (см. Приложение 6, рис. 12).

6. Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».

Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Этот способ напоминает традиционный способ «умножение столбиком».

Способ назвали «маленький замок» из-за формы которая вырисовывается при решении.Алгоритм вычисления способом «маленький замок»:

Числа верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавление нужного числа нулей. Затем результаты складываются. Рассмотрим пример, умножим 1456 на 523:

1. Запишем столбиком по разрядам как в способе в «столбик».

2. Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей.

1 × 523 = 523 и приписываем 000 за разряды – сотни, десятки, единицы

4 × 523 = 2092 и приписываем 00 за разряды – десятки, единицы

5 × 523 = 2615 и приписываем 0 за разряд – единицы

6 × 523 = 3138

3. Затем результаты складываются. Получили 761488 (см. Приложение 4, рис. 6)

7. Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского)[4, 42].

Рассмотрим умножение числа47 и 35:

1. Одно запишем слева, а второе – справа на одной строчке.

2. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик.

3. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.

4. Операцию продолжаем, пока слева не останется 1.

5. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце.Получим 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645 (см. Приложение 7, рис. 13).

Глава II. Исследование «Распространение нетрадиционных способов умножения»

В ходе исследования «Распространение нетрадиционных способов умножения среди учащихся» была проведена демонстрация всех рассматриваемых нетрадиционных методов умножения в форме презентации. Позже учащиеся имели возможность рассмотреть наглядное пособие - тренажер в форме куба, где представлены 7 методов умножения. Школьники внимательно изучили предложенные способы и прошли анкетирование.

Участники исследования:

Ибрагимова Азалия - проводила тренинга

Вагапова Л.М.–была координатором хода исследования

В исследовании приняли участие:

Учащиеся 5 классов из 21 человек

Учащиеся 6 класса из 12 человек

Учащиеся 8 класса из 14 человек

Исследование проводилось: 1 апреля - 30 мая 2015 г

Задачи исследования:

1. С помощью анкетирования узнать о необходимости умения выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку, выявить известные способы умножения у учащихся 5, 6, 8 классов.

2. С помощью исследования №1 выяснить на практикекакие нетрадиционные способы уже известны учащимся.

3. Познакомить с нетрадиционными способами умножения.

4. С помощью исследования № 2 определить популярность использования нетрадиционных способов умножения при вычислениях.

5. Сделать выводы.

1. Анкетирование. Сбор данных

Таблица 1.

Результаты анкетирования

2. Результаты исследования

В ходе анкетирования было установлено следующее:

На вопросы «Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?», «При умножении пользуетесь ли вы знанием таблицы умножения?», «Хотели бы вы узнать другие способы умножения?»абсолютно все учащиеся ответили положительно (100%).

На вопрос «Знаете ли вы другие способы выполнения умножения?» положительные ответы распределились следующим образом: более половины учащихся в 6 классе (58,3%), треть учащихся в 5 классе (23,8%) и менее третьей части в 8 классе (21,4%) учащиеся знают другие способы умножения (см. Приложение 7, рис.14).

Когда стали узнавать конкретно какие способы известны учащимся, оказалось, что только 2 из 7 предложенных способов им знакомы.Это умножение на пальцах от 6 до 9 и умножение на 9 на пальцах. Про остальные способы учащиеся не слышали. В процентном соотношении результаты распределены следующим образом:Умножение на пальцах от 6 до 9 знают чуть лучше в 5 классе – 23,8%, в 6 классе – 58,3%, в 8 классе – 21,4%.

Вывод: Из предложенных способов учащиеся знают только умножение на пальцах(см. Приложение 8, рис.15).

Умножение на 9 в 5 классе 9,5%, в 6 классе 50%, в 8 классе 14,3%(см. Приложение 8, рис.16).

Таблица 2.

Результаты исследования № 1.

В ходе исследования №1 учащимся было предложено решить 3 примера (умножение однозначных, двузначных и трехзначных чисел) известными им способами (см. Приложение 10, рис.20). Из следующего эксперимента выяснили, что все в своих вычислениях используют умножение традиционным способом – в столбик. Но были допущены по 1 ошибке в каждом классе.

Вывод: никто из 5, 6 и 8 классов не умеют решать другими способами. Гипотеза не подтвердилась.

Таблица 3.

Результаты исследования № 2

После демонстрации учащимся нетрадиционных способов умножения, мы снова провели исследование №2 (см. Приложение 10, рис. 21). В которомпредложили учащимся решить 3 несложных примера: умножение однозначных, двузначных и трехзначных чисел новыми способами.

Все учащиеся попробовали решать новыми методами, но не все решали верно, некоторые допускали ошибки. Более популярным методом по мнению учащихся в 5, 6 и 8 классе оказалсяграфический способ (см. Приложение 9, рис. 17-19). Большинство учащихся попробовали решать именно этим методом. Вторым по популярности:в 5 классе – «маленький замок», в 6 классе – «индийский», в 8 классе – «решетка». Здесь, как видно, единого мнения нет.

Вывод: наиболее популярным способом умножения по мнению 5, 6 и 8 классов оказался графический метод.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данный проект посвящен решению проблемы использования нетрадиционных способов умножения. В проекте описаны 7 способов рационального умножения, изобретенные в разные эпохи.Узнав нетрадиционные способы, школьники заинтересовались умножением, особенно им понравился графический способ.С помощью наглядного пособия-тренажера в форме куба «Нетрадиционные способы умножения» учащиеся могутболее подробно и детально изучить каждый способ. Теоретический материал, систематизированный в нашем проекте, расширит познания учащихся в мире точных наук.

В данной исследовательской работе рассмотрена лишь малая часть нетрадиционных способов вычисления. В будущем ядумаю продолжить эту исследовательскую работу, рассмотреть другие интересные способы вычисления. Также охота рассмотреть различные способы быстрого счета. Так как впереди нас ждут экзамены и скорость, качество вычислений играет не маловажную роль.

Считаю, что задачи, которые были поставлены, полностью выполнены. Мои сверстники заинтересовались другими способами умножения и успешно применяют их в повседневной жизни. Часто подходят к тренажеру, интересуются. Если что-то забывают, то куб помогает им быстро вспомнить.

В ходе исследования были сделаны следующие выводы:

• Гипотеза наша не подтвердилась. Так как из предложенных способов учащиеся изначально знали только способ умножения на пальцах.

• При умножении чисел большинство учащихся пользуются знанием таблицы умножения, умножением на пальцах и традиционным способом умножения (в «столбик»).

• Среди нетрадиционных способов умножения наиболее популярным оказался графический способ умножения.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. – М.: Наука, 1983. – 140 с.

2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М.: Наука, 1986.- 152 с.

3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. Мир чисел. - Л.: Детская литература, 1982.–165 с.

4. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.- 289 с.

5. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. - М.: Наука, 1965.-210 с.

6. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.-270 с.

7. Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.