Практическая значимость теоремы Менелая для решения геометрических задач

XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Практическая значимость теоремы Менелая для решения геометрических задач

Чернова В.А. 1
1МБОУ "Лицей №6 г. Горно-Алтайска"
Зиборова О.Н. 1
1МБОУ "Лицей №6 г. Горно-Алтайска"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Геометрия треугольника является источником множества удивительных и красивых геометрических конструкций, возникающих в процессе решения задач. Пути, ведущие к их решению, не похожи друг на друга. Проблема заключается в том, чтобы среди них найти наиболее рациональный способ, позволяющий получить ответ на поставленный вопрос как можно проще и красивее.

Наша работа посвящена замечательной теореме Менелая, которая не включена в основной курс геометрии. Однако, она незаменима при решении целого класса геометрических задач, связанных с треугольником, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), и позволяет легко и изящно оформить решение, в то время, когда традиционные способы более громоздки. Задачи на применение теоремы Менелая встречаются в заданиях государственной итоговой аттестации и на олимпиадах различного уровня. Вышесказанное объясняет актуальность данной работы.

Объект исследования – методы решения геометрических задач, связанных с нахождением отношений длин отрезков, площадей, объёмов.

Предмет исследования – применение теоремы Менелая в процессе решения геометрических задач и её практическая значимость.

Гипотеза исследования – если владеть разнообразными методами решения геометрических задач, то повысится уровень математической культуры и это позволит выбирать наиболее рациональные способы.

Цель исследования: показать на основе изучения теоремы Менелая её практическую значимость при решении геометрических задач.

В соответствии с поставленной целью в работе определены следующие основные задачи:

  1. Проанализировать научно-популярную литературу по проблеме исследования.

  2. Изучить теорему Менелая и способы её доказательства.

  3. Овладеть приемами применения теоремы Менелая при решении геометрических задач и собрать соответствующий банк ключевых задач.

  4. Выявить возможности применения теоремы Менелая, и подготовить буклет по теме исследования.

Методы исследования: теоретические (анализ информационных источников по теме исследования, изучение и обобщение сведений); практические (исследование способов решения задач).

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1 Теорема Менелая и её геометрическое обоснование

Теорема Менелая впервые была сформулирована в работе «Сферика» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского в I веке нашей эры. Изначально теорема рассматривалась для треугольника на плоскости, а затем с помощью проектирования была обобщена на сферический треугольник [7].

Теорема Менелая. Если на сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки С1 и A1, а на продолжении стороны АС – точка В1 (рис. 1), то эти три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство

. (*)

Рисунок 1

Условие равенства единице произведения трёх отношений называют условием Менелая [3].

Докажем прямую теорему Менелая с помощью подобия треугольников.

1) Необходимость. Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой (рис. 2). Проведём прямую СК параллельно прямой АВ. Тогда  .

Рисунок 2

Следовательно, Из подобия треугольников СКА1 и ВС1А1 следует пропорциональность сторон:

Приравнивая полученные выражения для СК, будем иметь:

Прямая теорема доказана.

2) Достаточность. Пусть выполнена формула (*). Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямая В1А1 пересекает прямую АВ в точке С2. Тогда, поскольку три точки А1, В1 и С2 лежат на одной прямой, то по доказанному: Сравнивая последнюю формулу с формулой (*), получаем: Откуда следует, что точки С1 и С2 в одинаковом отношении делят отрезок АВ. Следовательно, точки С1 и С2совпадают, а поэтому точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. Обратная теорема доказана [9].

Теорему Менелая можно обобщить и на случай, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. Тогда можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках (рис.3).

Рисунок 3

Обобщённая теорема Менелая. Если на продолжениях сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, A1 и B1 (рис. 3), то эти три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеет место равенство . [3]

Таким образом, изученная нами теорема Менелая, даёт общий подход к решению задач на отношение отрезков, на которые треугольник разбивается прямой (секущей). Обратная теорема Менелая является критерием принадлежности трёх точек одной прямой.

1.2 Теорема Менелая в стереометрических задачах на построение сечений

При построении сечений в различных многогранниках мы проводим множество прямых, соединяющих точки, лежащие на рёбрах этого многогранника. Причём изначально от сечения, обычно известны, только три его точки, а остальные точки мы уже достраиваем сами.

Во многих задачах одного лишь построения таких точек может оказаться недостаточно. Нужно получить о них какую-то существенную информацию. Чаще всего требуется определить их точное положение на ребрах. Сделать это можно, вычислив отношения, в котором данная точка сечения делит ребро многогранника.

Как мы знаем, отношения тесно связаны с подобными треугольниками. Если в многограннике есть параллельные ребра (например, в кубе или параллелепипеде), то при построении сечений подобные треугольники возникают в большом количестве, что дает возможность «перебрасывать» отношения длин с одних ребер на другие. Если же в грани нет параллельных прямых (обычно это происходит в треугольных пирамидах и призмах), для вычисления отношений полезно использовать теорему Менелая.

Для решения задач на построение сечений требуется рассматривать геометрические конструкции не в одной, а в нескольких плоскостях. Чтобы проводить рассуждения в разных плоскостях, полезно выносить конфигурации из этих плоскостей в отельный чертёж, на котором соответствующая конфигурация будет нарисована без искажений, как в планиметрии (рис.4). Такие чертежи называются выносными и очень полезны при решении стереометрических задач.

Рисунок 4

Выделим общие принципы в решении стереометрических задач на построение сечений:

1. Чтобы посчитать, в каком отношении точка пересечения плоскости и отрезка делит этот отрезок, нужно сначала эту точку нарисовать. Для этого, как правило, необходимо методом следов построить сечение (или его часть).

2. Чтобы вычислять отношения длин отрезков обычно пользуются двумя методами: находят треугольники, образующие стандартное положение подобия («пирамида» и «песочные часы»), где есть параллельные прямые, или пользуются теоремой Менелая – в случаях, когда след сечения идёт по треугольной грани.

3. Чтобы находить подобные треугольники и проводить вычисления, используется принцип – вычисления проводятся в таком же порядке, в котором строится сечение [2].

Таким образом, теорема Менелая находит практическое применение в задачах на построение сечений для расчета отношений в треугольных гранях призм и пирамид.

1.3 Теорема Менелая для тетраэдра

Ещё в древности было замечено, что если две фигуры в чём-то сходны, аналогичны, то у них имеются какие-то сходные свойства. Среди фигур в пространстве тетраэдр наиболее близок к треугольнику на плоскости.

Тетраэдр является пространственным аналогом треугольника по ряду причин: во-первых, обе эти фигуры представляют собой ограниченные выпуклые множества точек; во-вторых, треугольник образован минимальным числом прямых на плоскости, а тетраэдр – минимальным числом плоскостей в пространстве [6].

Используя аналогию, можно получить стереометрическую теорему Менелая для произвольного тетраэдра:

Пусть в произвольном тетраэдре SABC точки М, Р, K и N принадлежат рёбрам SA, SB, BC и АС ответственно. Для того чтобы точки M, N, K и Р принадлежали плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

(**)

Рисунок 5

Способ доказательства теоремы в пространстве сходен с доказательством для плоского случая. Используя аналогию, составим мнемоническое правило применительно к тетраэдру: движемся по замкнутому контуру тетраэдра от вершины пирамиды до точки пересечения сечения с ребром, от этой точки пересечения до следующей вершины и так до тех пор, пока не замкнём контур (рис. 5), затем произведение отношений образовавшихся отрезков приравниваем к единице.

Заметим, что общее в двух теоремах то, что они обе являются критериями расположения трёх точек на одной прямой на плоскости и четырёх точек в одной плоскости в пространстве. Но теорема не является полным аналогом формулировки для плоского случая: на плоскости точкам разрешено лежать на продолжении стороны, а в пространстве – нет.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Применение теоремы Менелая при решении задач планиметрии

С помощью теоремы Менелая удобно решаются, прежде всего, задачи на отношение отрезков. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 1. В ΔABCточки D и K лежат соответственно на сторонах AB и AC. Отрезки BK и CD пересекаются в точке O, при этом BO:OK=3:2 и CO:OD=2:1.В каком отношении точка Kделит сторону AC? [4]

Решение: (1 способ) Применим теорему Менелая для треугольника KOCи прямой AB (рис. 6):

Рисунок 6

 

Таким образом, CA=9c, AK=5c, KC=4c.

Ответ: 5:4

(2 способ) Проведём KMCD (рис. 7).

Рисунок 7

 по двум углам.

 по двум углам.

Ответ: 5:4

Теорему Менелая удобно использовать также при решении задач, в которых надо найти отношение площадей. Такие задачи встречаются довольно часто. Иногда это самостоятельная задача, иногда умение проделывать это является хорошей «дебютной идеей» при решении более сложной задачи. Расчет каких-то площадей выгоднее вести не непосредственно, а выясняя, какая доля площади исходной фигуры приходится на ту или иную ее часть.

Задача 2. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2:1 и 1:2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС [8].

Решение:

Применим теорему Менелая для треугольника BCB1и прямой АА1 (рис. 12):

Рисунок 8

Ответ: 4:7.

2.2 Применение теоремы Менелая при решении задач стереометрии

За последние три года в стереометрической задаче ЕГЭ в пункте а) чаще всего встречались задания именно на построение сечения, а потом в пункте б) выполнение какого-то задания, связанного с этим сечением (найти отношение отрезков, площадь сечения и др.). Попробуем применить теорему Менелая для решения стереометрических задач.

Задача 3. Точка M лежит на ребре AB треугольной пирамиды ABCD, причем AM:MB=1:2. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и середины ребер BC и AD. б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро CD (рис.9) [5]?

Рисунок 9

Решение:

Построим сечение. Для этого (по методу следов) проведем луч MR и луч CA и найдем точку их пересечения – S. Через данную точку и точку Q проведем луч SQ - он принадлежит плоскости ADC. Этот луч пересечет отрезок DC – назовем эту точку T. Образовался четырехугольник сечения – MQTR (рис. 10). Определим отношение, в котором точка A делит отрезок SC. Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

Откуда т. е. A – середина SC.

Теперь найдем отношение, в котором точка T делит отрезок DC. Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости ADC:

Рисунок 10

Ответ:1:2.

Задача 4. Точка M – середина ребра AD треугольной пирамиды ABCD. Точки K и L лежат на прямых AB и AC соответственно, причем B – середина отрезка AK, а C– середина отрезка AL.

a) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, K и L.

б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BD (рис.11) [5]?

Рисунок 11

Соединим точки M и L, M и K– и обозначим точки пересечения этих лучей с ребрами DC и DB – G и F. Получено сечение MGF (рис.12).

Для треугольника ADB и секущей MK составим теорему Менелая:

Рисунок 12

Ответ:2:1.

3. Результаты исследования

Решение и подбор банка ключевых задач (Приложение 2) позволяет оценить эффективность применения теоремы Менелая.

В результате проведённого исследования установлена истинность сформулированной гипотезы:

  • умение применять различные методы решения задач способствует выбору наиболее рационального способа;

  • наличие опыта решения геометрических задач с использованием теоремы Менелая повышает уровень математической культуры и логического мышления.

Заключение

В ходе исследования была изучена научно-популярная литература по теме «Практическая значимость теоремы Менелая для решения геометрических задач». Исходя из цели и поставленных задач, можно сделать несколько важных выводов:

1. Теорема Менелая, сформулированная в античные времена, продолжает оставаться актуальной, что подчеркивает её значимость для дальнейшего изучения и применения.

2. Изучение теоремы Менелая и различных способов её доказательства открывает перед исследователем широкий спектр подходов к решению задач, связанных с этой теоремой. Каждое доказательство иллюстрирует красоту и глубину геометрической науки, а также может служить базой для изучения других теорем.

3. Овладение приёмами применения теоремы Менелая в решении геометрических задач и создание банка ключевых задач обеспечивает практическую сторону изучения теоремы. Это позволяет не только решать типовые задачи, но и развивать критическое мышление и геометрическую интуицию.

4. Выявление возможностей применения теоремы Менелая подчеркивает её многофункциональность. Она помогает решить задачи более рационально, чем другие способы, быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности. Созданный нами буклет, поможет ознакомить школьников с теоремой и укажет им пути её применения.

В итоге, выполняя задачи исследования, мы не только углубили свои знания о теореме Менелая, но и увидели целесообразность и эффективность её применения, что делает теорему важным инструментом в арсенале каждого, кто занимается математикой и смежными науками.

Список использованных источников

  1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.] – М .: Просвещение, 2022. – С. 205 – 211.

  2. Волчкевич, М.А. Геометрия 10 класс. Подобие и теорема Менелая (повторение). Отношения в стереометрии / Математическая вертикаль. – МЦНМО. – 2024 г. – 25 с.

  3. Гусев, В.А. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 кл.: учеб. для организаций, осуществляющих образовательную деятельность. Базовый и углублённый уровни / В.А. Гусев, А.Г. Рубин. – М. :Баласс, 2016. – 384 с.

  4. Деев, М.Е. Применение замечательных теорем геометрии при подготовке школьников к экзаменам // М. Е. Деев. – Горно-Алтайск : Изд-во РИО ГАГУ, 2017. – 75 с.

  5. Денисова, А.В. Теорема Менелая при решении задачи 14 [Электронный ресурс] // сайт «Простая физика». Просто о физике, математике, электротехнике. Режим доступа: https://easy-physic.ru/category/math/ege/c2/teorema-menelaya-pri-reshenii-zadachi-14 (дата обращения 10.02.26).

  6. Епифанова, Т.Н. О теореме Менелая для тетраэдра // Потенциал. – 2011. – № 8. – С. 20 – 26.

  7. Кольман, Э. Я. История математики в древности / М. :Физматгиз, 1961. – С. 187–189.

  8. Черненко, С. Теорема Менелая и ее значение в математике [Электронный ресурс] / Режим доступа: https://fb.ru/article/488033/2024-2024-teorema-menelaya-i-ee-znachenie-v-matematike (дата обращения 10.02.26).

  9. Шевкин, А.В. Вокруг теорем Чевы и Менелая // Математика. – № 10. – 2011. – С. 23-30.

Просмотров работы: 11