XXVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Практическая направленность решения математических задач на конструкции методом «оценка плюс пример»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Тюкина П.В. 1

---

1МБОУ «Лицей №6 г. Горно-Алтайска»

Зиборова О.Н. 1

---

1МБОУ «Лицей №6 г. Горно-Алтайска»

Работа в формате PDF

193.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Актуальность исследования. Математика – это не только идеал точности и строгости логических рассуждений, но и также интуитивная догадка и начала конструктивного творчества. Именно интуиция и конструкции являются движущей силой математики и приводят к новым её открытиям. Метод «оценка плюс пример» относится к методам решения математических олимпиадных задач на конструкции и совмещает в себе и логику, и интуицию.

Задание 19 единого государственного экзамена по математике профильного уровня (нумерация 2026 г.) в большинстве случаев предполагает использование метода «оценка плюс пример». За решение задачи подобного рода предлагается наибольшее количество первичных баллов – четыре, т.е. экзаменаторы считают её одной из самых сложных. Вместе с тем некоторые вопросы задачи достаточно просты и понятны, их могут освоить даже шестиклассники.

Актуальность исследования подтверждается и проведённым нами анкетированием выпускников 11-х классов двух профильных мобильных групп по математике МБОУ «Лицей № 6 г. Горно-Алтайска» в количестве 32 человек. Метод «оценка плюс пример» большинству ребят неизвестен, а простые предложенные задачи многие решили интуитивно, без обоснований.

Проблема заключается в необходимости приобретения знаний и исследований в этой области в связи с её актуальностью, а в школьном курсе математики ей уделяется недостаточно внимания и времени. Некоторые учащиеся осваивают метод «оценка плюс пример» при подготовке к олимпиадам, но даже они испытывают затруднения в его применении.

Объект исследования: задачи на конструкции.

Предмет исследования: практическая направленность решения математических задач на конструкции методом «оценка плюс пример».

Гипотеза исследования: решение задач на конструкции методом «оценка плюс пример» будет более эффективным, если будут освоены приёмы решения таких задач и осознана их практическая направленность.

Цель исследования: изучить метод «оценка плюс пример» и его практическое применение при решении задач на конструкции.

Задачи исследования:

1. Проанализировать научно-популярную литературу по проблеме исследования, включая исторический аспект.

2. Определить понятия «задача на конструкции», «пример», «оценка», «метод оценка плюс пример».

3. Изучить приёмы решения конструктивных задач на построение примера и получение оценки.

4. Освоить метод «оценка плюс пример» при решении соответствующих задач на конструкции.

5. Провести анкетирование по проблеме исследования среди обучающихся 11‑х классов профильных мобильных групп по математике, сделать выводы.

Методы исследования: теоретические – анализ информационных источников по теме исследования, изучение и обобщение сведений; практические – анкетирование, статистический анализ результатов.

Глава 1. Теоретические основы решения математических задач на конструкции методом «оценка плюс пример»

1.1. Исторические аспекты возникновения метода «оценка плюс пример»

Задачи на конструкции на метод «оценка плюс пример» связаны с поиском наибольших и наименьших значений какой-либо величины и часто встречаются в математике, технике, экономике и др.

Самые древние исследования таятся в недрах геометрии. В них приняли участие величайшие математики прошлого – Евклид, Архимед и др. Задача финикийской царевны Дидоны о покупке-продаже земли считается первой из них (V век до н.э.). Запросила Дидона немного – столько, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Математическая постановка задачи: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь [7].

Более поздние исследования неразрывно связаны с историей математического анализа и такими именами, как Ферма, Дирихле, Бернулли, Лейбниц, Ньютон. Им удалось разработать общие методы решения подобных задач с использованием понятия «функция» и теории экстремумов.

Задачи на метод «оценка плюс пример» обязаны своим появлением олимпиадному движению по математике. Первая олимпиада по математике состоялась в 1894 году в Венгрии, а в России чуть позднее – в 1934 году в Ленинграде. В последнее время в задания третьего тура Всероссийской математической олимпиады школьников практически всегда включаются задачи на метод «оценка плюс пример», который позволяет красиво решить ряд задач элементарными способами без использования функций [6].

Таким образом, мы пришли к выводу, что на протяжении всей истории математики задачи на наибольшее и наименьшее значение вызывали интерес научного сообщества. Ряд таких задач можно решить методом «оценка плюс пример». Впервые они появились на олимпиадах по математике в XX веке и остаются актуальными сегодня.

1.2. Сущность понятий «задача на конструкции», «пример», «оценка», «метод оценка плюс пример»

Построение и исследование конструкций составляет существенную часть математики. Подобные задачи весьма разнообразны в постановке формулировок. Одни из них достаточно просты и скрываются за словами «можно ли…», «существует ли…», другие – ситуацией сложнее и имеют типичную формулировку – «какое наименьшее (наибольшее) количество нужно, чтобы…».

Задача на конструкции – это задача, в которой требуется явно построить математический объект, обладающий указанными свойствами (привести пример) или доказать невозможность его построения [2].

В простых задачах на конструкцию «можно ли…» имеется две возможности для ответа: 1) если мы утверждаем, что нечто сделать можно, то достаточно указать конкретный способ сделать это; 2) если же мы утверждаем, что чего-то сделать нельзя, то примерами тут уже не обойтись, надо придумывать доказательство [3, С. 52].

Конструктивная задача с формулировкой «какое наименьшее (наибольшее) количество нужно, чтобы…» – это и есть задача на конструкцию вида «оценка плюс пример». Её решение состоит из двух обязательных частей: конструктивной – построения примера, наилучшего (оптимального) по какому-либо параметру, и оценки – доказательства оптимальности этого примера.

Пример, в контексте темы нашего исследования, – это образец или действие построения какого-либо математического объекта – конструкции или алгоритма [9].

Любая проблема на наибольшее значение всегда приводит к неравенству, выражающему тот факт, что рассматриваемая переменная величина не превышает некоторого максимального значения, что и называют оценкой.

Под оценкой мы будем понимать неравенство, ограничивающее значение величины сверху или снизу (например, периметр прямоугольника с целыми сторонами не меньше 4). Оценку часто доказывают для всех конструкций набора (например, для всех клетчатых фигур, вырезанных из квадрата 8×8, их площадь не превосходит 64). Оценки используют для доказательства невозможности построения конструкции (например, если площадь клетчатой фигуры больше 64, то невозможно вырезать эту фигуру из квадрата 8×8) [8, С. 113].

Метод «оценка плюс пример» – это специальное математическое рассуждение, которое применяется в конструктивных задачах при нахождении наибольших или наименьших значений некоторой величины. Такие задачи естественно вводят в ситуацию, где нужен двусторонний подход, т.е. обоснование ответа состоит из двух частей: примера и оценки, и каждая часть необходима. Пример показывает, почему заявленный ответ достижим. Оценка обосновывает, почему невозможно получить результат лучший (скажем, больший), чем в заявленном примере. Бывает, что оценка строится от примера или пример – от оценки, но часто пример и оценка – две независимые части решения [8, С. 105].

Итак, полное решение задачи вида «оценка плюс пример», как правило, должно содержать два этапа:

1. Оценка. Доказываем, что какое-то число n является наибольшим или наименьшим.

2. Пример. Предъявляем пример, в котором для данного числа n ситуация выполняется. Пример показывает, что это значение достижимо и больше (меньше) числа n другого числа быть не может.

Важным является то, что оценка не должна быть связана с построенным примером и не может заменить его [5].

Таким образом, мы рассмотрели ключевые понятия для нашего исследования. Задача на конструкции – это задача, в которой требуется явно построить математический объект, обладающий указанными свойствами. Под оценкой мы будем понимать неравенство, ограничивающее значение величины сверху или снизу. Метод «оценка плюс пример» – это специальное математическое рассуждение, которое применяется в задачах на конструкции при нахождении наибольших или наименьших значений какой-либо величины. Полное решение должно содержать два этапа: построение примера и получение оценки.

1.3. Приемы решения задач на конструкции на построение примера и получение оценки

Для начала подготовки к решению задач методом «оценка плюс пример» можно и нужно учиться строить примеры и получать оценки по отдельности. Пример нужно придумать и построить, при этом готовое решение (то, что в идеале нужно написать) и путь к решению (пояснение, как такое придумать) обычно имеют мало общего. Среди простейших приёмов построения примера выделим следующие:

1) Главное – умение задать себе правильный вопрос. Спросите себя: Как такое может быть? Какими свойствами должна обладать конструкция? Дополнительное знание может сильно сузить круг поисков).

2) Сделай хоть что-нибудь! Иногда, чтобы построить пример, нужно просто выполнять какие-либо действия, например, выписывать числа.

3) Ищи, где удобнее или легче. Если хватает одного примера, ищи сначала там, где удобнее, легче. Используй здравый смысл, естественные соображения. Это ограничивает число вариантов, зато ускоряет поиск.

4) Высматривай знакомое. Ответом может оказаться хорошо знакомый объект, просто надо посмотреть на него под нужным углом.

5) Повторяемость. Если конструкция должна состоять из большого числа деталей, проще использовать одинаковые детали. Разные детали можно объединять в одинаковые блоки и строить из блоков.

6) Симметрии, сдвиги и повороты. Равные части удобнее получать симметрией, сдвигом или поворотом. При работе с симметричными фигурами и позициями стоит сначала поискать симметричное решение. Даже и вне геометрии может сработать расстановка объектов по кругу так, чтобы поворот переводил конструкцию в себя [10, С. 8-9].

К простейшим приёмам получения оценки (доказательства неравенств) можно отнести следующие:

1) Рассуждение «от противного». Этот приём удобен, поскольку при отрицании неравенство тоже переходит в неравенство противоположного смысла. При этом строгое неравенство переходит в нестрогое и наоборот. Например, если неверно, что x> 6, то верно, что .

2) Перебор. Если числовой ответ x=aугадан и проверено, что он подходит, то единственность можно доказать, сводя к противоречию случаи x>а и x<а. Другой удобный случай, когда x– целое число, а два неравенства ограничивают его с двух сторон. Тогда количество возможных значений xконечно. И если это количество мало, то нетрудно бывает их перебрать и отсеять лишние.

3) Принцип Дирихле часто также помогает в получении оценки [8].

Таким образом, главное при поиске примера задавать себе правильные вопросы и просто начать что-нибудь делать. Можно первые шаги делать наугад, затем нужно применять здравый смысл, естественные соображения. Ответом может оказаться хорошо знакомый объект, просто надо посмотреть на него под нужным углом, также может помочь симметрия, сдвиг и поворот. Простейшие оценки можно получить с помощью рассуждения «от противного», путем перебора или принципа Дирихле.

Глава 2. Практическое решение задач на конструкции методом «оценка плюс пример»

2.1. Примеры решения задач на конструкции методом «оценка плюс пример»

Суть метода «оценка плюс пример» покажем на примерах. Рассмотрим в качестве первого примера задачу Всероссийской олимпиады школьников от 2015 г., которая была предложена на муниципальном этапе для 10 класса.

Задача 1. Каждый день, с понедельника по пятницу, ходил старик к синему морю и закидывал в море невод. При этом каждый день в невод попадалось не больше рыбы, чем в предыдущий. Всего за пять дней старик поймал ровно 100 рыбок. Какое наименьшее суммарное количество рыбок он мог поймать за три дня – понедельник, среду и пятницу [12]? Ответ. 50 рыбок.

Решение. Оценка. Во вторник и в четверг старик поймал рыбок не больше, чем в понедельник и в среду, значит, за указанные три дня он поймал не меньше половины от 100, то есть не меньше 50 рыбок.

Пример. Если в каждый из первых четырёх дней старик ловил по 25 рыбок, а в пятницу не поймал ничего, то условия задачи выполнены, и за указанные три дня поймано ровно 50 рыбок.

Следующий пример задачи является прототипом задачи 19 ЕГЭ по математике профильного уровня. Традиционно такая задача содержит в себе три подзадачи – пункты а), б) и в), при этом пункты а) и б) соответствуют задаче на конструкции вида «может ли…», а в пункте в) применяется метод «оценка плюс пример».

Задача 2. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел –1, 3, 4, –5, 7, –9, –10, 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел –1, 3, 4, –5, 7, –9, –10, 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число в результате может получиться [11]? Ответ. а) нет; а) нет; в) 16.

Решение. а) В заданном наборе чисел нет противоположных, поэтому сумма ни одной из восьми пар чисел не равна нулю, следовательно, произведение восьми сумм не равно нулю.

б) 1 способ рассуждений. Так как все возможные суммы целые, то произведение 1 можно получить лишь в том случае, если все суммы будут иметь модуль 1. Такие суммы составить можно:–5 + 4, 4 + (–5), –10 + 11, 11 + (–10), но не с числами –1 и 3, 7 и –9. Ответ на вопрос: нет.

2 способ рассуждений. В наборе чисел –1, 3, 4, –5, 7, –9, –10, 11 имеется два чётных числа и шесть нечётных. Поэтому среди полученных сумм будет, по крайней мере, четыре суммы двух нечётных чисел. Сумма двух нечётных чисел является чётной. Следовательно, произведение содержит, по крайней мере, четыре чётных множителя, а значит, является чётным числом. Следовательно, оно не может равняться 1.

в) 1 способ. Для каждого из чисел заданного списка подберём число из того же списка чисел, чтобы их сумма имела наименьший модуль. Вычислим суммы чисел на карточках и произведение этих сумм:

2 способ. Из пунктов а) и б) следует, что произведение содержит, по крайней мере, четыре чётных множителя, значит, оно делится на 16. Наименьшим целым отрицательным числом, которое делится на 16, является само число 16. Приведём пример произведения, равного 16.

.

_{Таким образом, мы показали на конкретных примерах суть метода «оценка плюс пример». Его практическая направленность состоит в том, что на современном этапе математические конструктивные задачи на его применение всегда включаются в материал различных всероссийских олимпиад и ЕГЭ по математике профильного уровня.}

2.2. Результаты анкетирования выпускников по теме исследования и их анализ

Цель анкетирования – выяснить реальное положение дел с подготовкой и выполнением выпускниками задач на конструкции, решаемых методом «оценка плюс пример». В нём приняли участие выпускники 11-х классов двух профильных мобильных групп по математике МБОУ «Лицей № 6 г. Горно-Алтайска» в количестве 32 человек. Ниже приведены вопросы анкеты.

Анкета для выпускников

1. Какое из заданий ЕГЭ профильной математики Вы считаете самым трудным?

2. Готовы ли Вы на сегодняшний день решать задачу 19 профильного экзамена по математике? Если да, то какие трудности испытываете при решении этого задания?

3. Известен ли Вам метод решения нестандартных задач «оценка плюс пример»?

4. Попробуйте решить и обосновать задачу: может ли произведение цифр трёхзначногочисла быть равно а) 22; б) 28?

Далее приведём анализ полученных результатов.

На 1 вопрос «Какое из заданий ЕГЭ профильной математики Вы считаете самым трудным?» мнения выпускников разделились. Результаты представлены на диаграмме рисунка 1.

Рисунок 1 – Трудность заданий ЕГЭ профильной математики

Количественный анализ диаграммы показал, что задание 19 отметил только 1 человек, поэтому первоначально мы сделали вывод, что данное задание не вызывает трудности у выпускников.

Однако при ответе на второй вопрос анкеты о своей готовности решать задание 19 заявили 13 человек, гораздо больше не готовы – 19 человек. Количественные результаты представлены на диаграмме рисунка 2.

Рисунок 2 – Готовность выполнения выпускниками задания 19

Качественный анализ результатов позволил нам сделать вывод о том, что многие выпускники уделяют недостаточное внимание данному заданию, поэтому и не готовы его решать. Среди трудностей ребята называют оформление, понимание условия, подбор примера.

На третий вопрос «Известен ли Вам метод решения нестандартных задач «оценка плюс пример»?» отрицательно ответили 22 человека, что составляет 69% от количества опрошенных, что также подтверждает неготовность большинства выпускников данной выборки решать задание 19. Количественные результаты представлены на диаграмме рисунка 3.

Рисунок 3 – Известность выпускникам метода «оценка плюс пример»

В четвертом вопросе мы предложили 2 мини-задачи: «может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно а) 22; б) 28?». Результаты решения представлены на диаграмме рисунка 4.

Рисунок 4 – Результаты решения двух мини-задач с формулировкой «может ли...»

С решением пункта а) стопроцентно справились 8 человек, пункта б) – 23 человека. Решением пункта а) являлся ответ «нет» и он требовал доказательства, но ребята в количестве 13 человек не привели обоснований, а значит, справились частично. Решение пункта б) предполагало ответ «да» и было достаточно примера. С решением пункта а) не справились 11 человек (не ответили совсем), пункта б) – 9 человек.

Таким образом, анкетирование выпускников подтвердило проблему нашего исследования – задачи на конструкции вида «может ли...» вызывают затруднение у многих. Метод «оценка плюс пример» большинству ребят неизвестен, а простые предложенные задачи многие решили интуитивно, и вместе с ответом «нет» не привели обоснований.

Заключение

В ходе исследования была изучена научно-популярная литература по теме «Практическая направленность решения математических задач на конструкции методом «оценка плюс пример». В результате нами сделаны следующие выводы:

1. Задачи на наибольшее и наименьшее значение были поставлены сотни лет назад, и в их исследованиях приняли участие величайшие математики прошлого – Евклид, Архимед, Ферма, Бернулли, Дирихле, Лейбниц, Ньютон. Ряд таких задач можно решить методом «оценка плюс пример». Они появились на олимпиадах по математике в XX веке и остаются актуальными сегодня.

2. Метод «оценка плюс пример» — это специальное математическое рассуждение, которое состоит из двух обязательных частей: построение оптимального примера и оценки (доказательства оптимальности этого примера).

3. Подготовительным этапом к решению задач на применение метода «оценка плюс пример» можно считать решение конструктивных задач на построение примера и получение оценки в отдельности.

4. При выполнении работы были подобраны и решены задачи олимпиад различного уровня и ЕГЭ по профильной математике, что подтверждает их практическую направленность.

5. Практическое исследование подтвердило нашу гипотезу. Мы показали, что с помощью рассмотренных приёмов решение задач происходит эффективнее.

Работа над темой исследования нами не закончена, впереди поиск и решение многих интересных задач. Цель следующего этапа работы – изучение и расширение круга приемов решения задач на конструкции вида «оценка плюс пример».

Надеемся, что данная работа будет полезна выпускникам для самоподготовки к ЕГЭ по математике и, в первую очередь, убедит их в посильности решения задачи 19.

Список использованной литературы

1. Андреев, А.А. Принцип Дирихле. Учебное издание. Серия А: Математика. Вып. 1 / А.А. Андреев, Г.Н. Горелов, А.И. Люлев, А.Н. Савин. – Самара : Пифагор, 1997. – 21 с.

2. Вольфсон, Г. Примеры и конструкции [Электронный ресурс] / Вебинар по математике для школьников с Георгием Вольфсоном от 2.10.2020 г. (Лекториум). – URL: https://www.youtube.com/watch?v=CYIc1sPgqZo (дата обращения: 22.01.2026)

3. Канунников, А. Примеры и контрпримеры // А. Канунников / Квант, 2020. – №4. – С. 23-26

4. Львовский, С.М. Можно и нельзя / С.М. Львовский, А.Л. Тоом // Квант, 1989. – №1. – С. 52-55

5. Миронова, Е. Олимпиадная математика с T-Boom/ Е. Миронова / Онлайн-курс олимпиадной математики для школьников 1-6 классов (образовательная платформа Stepik) /URL: https://stepik.org/course/53348/promo(дата обращения: 22.01.2026)

6. Темербекова, А.А. Особенности решения нестандартных задач по математике методом «оценка плюс пример» [Электронный ресурс] / А.А. Темербекова, М.Е. Деев, Г.А. Байгонакова / URL:http://news.scienceland.ru/особенности-решения-нестандартных-з/ (дата обращения: 22.01.2026)

7. Тихомиров, В.М. Рассказы о максимумах и минимумах / В.М. Тихомиров. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 192 с.

8. Шаповалов, А. Я. Вертикальная математика для всех. Готовимся к задаче 19 ЕГЭ с 6 класса / А. Я. Шаповалов, И.В. Ященко. – 2-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2018. – 128 с.

9. Шаповалов, А. Я. Как построить пример? / А.Я. Шаповалов. – 3-е изд., стереотип. – М. : МЦНМО, 2016. – 80 с. – (Школьные математические кружки; Вып. 9)

10. Шаповалов, А. Я. Математические конструкции: от хижин к дворцам / А.Я. Шаповалов. – М. : МЦНМО, 2016. – 176 с.– (Школьные математические кружки; Вып. 13)

11. Шевкин, А. В. Математика. Трудные задания ЕГЭ. Задачи с целыми числами : учеб, пособие для общеобразоват. организаций : профильный уровень / А. В. Шевкин. – М. : Просвещение, 2021. – 80 с.

12. Яковлев, И.В. Оценка плюс пример [Электронный ресурс] / И.В. Яковлев / URL: https://mathus.ru/math/ (дата обращения: 22.01.2026)