Введение

На первый взгляд, связь между материалом, изучаемым на уроках математики в школе, и нашей повседневной жизнью малозаметна.Но математика присутствует во всех аспектах нашей жизни.

Наиболее очевидно её влияние в такой сфере, как экономика. Производство, распределение, логистика, потребление, торговля - все эти экономические процессы ассоциируется у людей со сложными расчетами. Однако в основу всех этих расчетов положены математические концепции, часть которых становится нам известна уже в школе или на первых курсах высших учебных заведений.

Примером этого является такой математический объект как матрица. Основанный на нем матричный метод является одним из основных методов, применяемых для решения различных экономических задач.

Матрицы, действия над ними и применение матричного метода для решения систем линейных алгебраических уравнений не входят в школьную программу, однако мне стало интересно, какую роль играет матричный метод в экономике, так как я планирую учиться на экономиста. Именно такое видение проблемы нашло отражение в выборе темы, а также обозначило её актуальность.

Цель работы: Рассмотреть матричные методы на примерах решения задач экономического содержания.

Задачи:

1. Изучить понятие матрицы и ее виды.

2. Изучить, в чем заключается матричный метод.

3. Научиться решать экономические задачи с помощью матричного метода.

4. Сделать вывод о роли матричного метода в экономике.

Объект исследования: математические понятия, экономические модели.

Продуктом исследования будет создание презентации по теме и брошюры «Матрицы в экономике».

Предмет исследования: матричные методы.

Методы исследования: поиск информации по данной теме, изучение теоретического материала, составление и решение экономических задач.

Основная часть

Понятие матрицы

Матрица - это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Элементами матрицы могут быть различные объекты: числа, функции, выражения, переменные, другие матрицы и т. д. Матрицы используются в математике для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Первое упоминание матриц возникло в Древнем Китае. Они назывались “волшебными квадратами. Чуть позже подобные квадраты стали известны и арабским математикам.

В 1693 году Лейбниц рассматривал вопрос о разрешимости линейных систем, и в процессе дал фактическое определение определителя матрицы. В конце 17 века швейцарский ученый Габриэль Крамер начинает разрабатывать свою теорию, а в 1750 году публикует свою самую известную работу: “Введение в анализ алгебраических кривых”. В ней он решает систему линейных уравнений с помощью алгоритма, позже названного методом Крамера.

В 1810 году немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс опубликовал свои дополнения к достаточно известному методу решения систем линейных уравнений, основанному на последовательном исключении неизвестных. Вследствие этого данный метод получил название “метод Гаусса”, хотя его первое описание встречается еще в древнекитайском сочинении “Математика в девяти книгах” .

В 1850 году Джеймс Сильвестр ввел сам термин и современное понятие матрицы. Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй.

Виды матриц

Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами. Их элементы записывают в круглых или квадратных скобках, а сами элементы обозначают строчными латинскими буквами, совпадающими с теми, которые используются для обозначения матрицы.

Элементы в матрице обозначают с парой индексов. Первый обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй - номер столбца.

Общее обозначение матрицы выглядит как: = ( ), где i = 1, 2, 3…, m - это номер строки, а j = 1, 2, 3…, n - это номер столбца.

Матрицы, в которых есть только одна строка, т.е. m = 1, называются вектор-строкой. Соответственно матрицы, в которых есть только один столбец, т.е. n= 1, называются вектор-столбцом.

Матрицы, в которых количество строк и столбцов совпадает, т.е. m = n, называют квадратными матрицами. Совокупность элементов матрицы, для которой i=j называется главной диагональю. Квадратные матрицы, в которых все элементы по одну из сторон от главной диагонали равны нулю, называют треугольной матрицей .

Действия над матрицами

1. Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы с одинаковым размером.

Сложение происходит поэлементно. Например, при сложении матрицы А (1 2 3 4) с матрицей В (-2 0 1 2) мы получим матрицу С (-1 2 4 6). Вычитание матриц аналогично.

2. Умножение матрицы на число. Для умножения матрицы А на число λ,

каждый элемент матрицы А умножается на это число. Например, при умножении матрицы А (1 2 3 4) на число 2 мы получим матрицу В (2 4 6 8).

3. Умножение матриц. Умножать можно только матрицы А и В с такой

размерностью, что количество столбцов в матрице А совпадает с количеством строк в матрице В. В результате умножения получаем матрицу С, с количеством столбцов как в матрице А и количеством строк как в матрице В: ⋅ =

Каждый элемент матрицы С вычисляется сложением поэлементных произведений элементов из матриц А и В. Например, если умножить матрицу А ( ) на матрицу В ( ), то мы получим следующую матрицу C: ( ) ∙( ) = ( )

= + = 3∙1 + 1∙2 = 3+2 = 5

= + = 2∙1 + 0∙2=2+0 =2

4. Транспонирование матриц. Матрица является транспонированной, если в данной

матрицы А каждую ее строку заменить соответствующим столбцом. Например, если А = ( ), то = ( )

Определитель матрицы

Определитель - это число, характеризующее некоторую матрицу. Найти определитель можно только у квадратных матриц. На записи его обозначают следующими способами: = = det A.

Для матрицы размером 1 на 1 определитель равен ее единственному элементу. Для матрицы 2 на 2 определитель равен разнице между произведениями элементов на главной и побочной диагоналях соответственно.

Для матрицы размером 3 на 3 применяют правило Саррюса:

detA = ( ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ ) - ( ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ )

Чтобы посчитать определитель для матриц с большим размером, определитель приводят к треугольному виду, т.е. все элементы ниже главной диагонали приводят к нулю, с помощью последовательного прибавления к одной строке соответствующих элементов другой строки, умноженных на какое-либо число. Например:

det A = ~(1) ~(2) ~(3)

1. (2-ая) – (1-ая); (3-ья) – (1-ая); (4-ая) – (1-ая). 2)(3-ья) – 5 ∙ (2-ая); (4-ая) – 4 ∙ (2-ая).

3)(4-ая) – ∙ (3-ья). det A = 1∙1∙(-12)∙( ) = 20

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Для подсчета обратной матрицы пользуются методом Жордана Гаусса. Если определитель матрицы не равен нулю, то рядом с матрицей записывают единичную матрицу соответствующего размера. Единичная матрица – это матрица, в которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю. Она обозначается как Е.

Затем изначальную матрицу преобразуют в единичную, применяя те же действия к приписанной стороне. В итоге справа от получившейся единичной матрицы вместо изначальной единичной матрицы получится обратная матрица.

Например: А = ( )

( | ) ~(1) ( | ) ~(2) ( | ) ~(3) ( | )

1. (2-ая) - 3 ⋅(1-ая); 2) (1-ая) + (2-ая); 3) (1-ая) ⋅(-0,5).

Следовательно, для А = ( ) обратная матрица = ( ), что совпадает с нашими предыдущими вычислениями.

Матричный метод

С помощью матричного метода можно решить систему линейных алгебраических уравнений с множеством переменных. Общий вид данной системы выглядит так:

и - это заданные числа, а - это неизвестные, которые нужно найти. Запишем , и как элементы соответствующих матриц:

A = X = B =

Тогда изначальную систему уравнений можно записать как: А ⋅ Х = В

Это называют матричным представлением системы линейных алгебраических уравнений.

Если det A ≠ 0 (определитель матрицы не равен нулю), то на данное уравнение можно умножить на , обратную матрицу. Х можно выразить, как: X = В .

Это и является решением данной системы уравнений.

Однако все необходимые для этого вычисления требуют много времени. Есть два метода, которые ускоряют этот процесс. Первый из них - метод Крамера. Он применим только для квадратных матриц. Если det A ≠ 0, то , где - это det A, если в матрице А заменить i-й столбец вектор-столбцом В.

Второй метод - метод Гаусса. Его можно применять и для неквадратных матриц. Данный метод заключается в том, что из матриц А и В составляют расширенную матрицу (А|В), и приводят ее к треугольному виду.

Решение экономических задач

Экономический смысл матрицы – это упорядоченная система информации, представленная в виде матрицы.

Задача 1. Данные о производстве молока, сметаны и сыра (в условных единицах) в двух фермерских хозяйствах за 2020 и 2021 гг. представлены в виде матриц:

Найти: а) объёмы произведённой продукции за два года (2020 и 2021);

б) прирост объёмов продукции в 2021г. по сравнению с 2020 годом;

в) матрицу среднегодового производства.

Решение:

а) Объёмы продукции за два года определяются суммой матриц:

С экономической точки зрения это означает, что объёмы продукции в первом хозяйстве составили 3145 у.е. молока, 865 у.е. – сметаны и 522 у.е. сыра. Объёмы продукции во втором хозяйстве – 2916 у.е. молока, 848 у.е. сметаны и 560 у.е.

б) Прирост объёмов будет определяться разностью матриц:

Отрицательные элементы в матрице показывают, что объёмы продукции сократились, положительные – увеличились, нулевые – не изменились.

в) Матрица среднегодового производства находится как среднее арифметическое матриц:

=

Рассмотрим пример экономической задачи, которую можно решить с помощью матричного метода.

Задача 2. Кривая спроса на автомобили для некоторого периода времени может быть описана уравнением: = 15000 - 0,2 , где – цена автомобиля, а – их количество. Уравнение кривой предложения имеет вид: = 600 + 0,1 . Найти при каком количестве автомобилей и при какой цене будет достигнута равновесная цена.

Решение. Равновесная цена - это цена на конкурентном рынке, при которой величина спроса и величина предложения равны. Запишем данные уравнения в систему и решим ее с помощью матричного метода:

→

A = X = B =

А ⋅ Х = В. detA = -0,1 - 0,2 = - 0,3 ≠ 0

=

= -0,1; = -0,2; = -1; = 1. = =

X = ∙ B; X =

Значит равновесная цена будет достигнута при = 5400 и = 48000, т.е. При цене 5400 денежные единицы за автомобиль и при производстве 48000 автомобилей.

Задача 3. Предприятие в течение трех месяцев производило 3 вида товаров. Известны объемы производства продукции за три месяца для каждого товара и общие денежные затраты на производство за данный период времени. Данные представлены в таблице (Приложение 1).

Решение. Найдем себестоимость единицы продукции каждого вида. Пусть товар 1 будет обозначен x, товар 2 - y, а товар 3 - z. Составим по таблице систему уравнений:

Решим данную систему матричным способом, используя метод Крамера.

A = X = B =

det A = 1 + 12 + 6 - 3 - 6 - 4 = 6. det   = 8 + 48 + 30 - 12 - 48 - 20 = 6

det = 10 + 48 + 24 - 30 - 24 - 16 = 12. det = 12 + 60 + 48 - 24 - 30 - 48 = 18

x = = 1; y = = 2; z = = 3

Значит, товар 1 стоит 1 тысячу денежных единиц, товар 2 - 2 тысячи, а товар 3 - 3 тысячи.

Задача 4. В течение четырех месяцев компания закупала различное количество трех видов сырья. В таблице представлено количество закупленного сырья по типам и итоговые затраты по всем видам сырья вместе:

Месяц	Количество сырья (кг)			Денежные затраты в месяц (тыс.)
	Сырье 1	Сырье 2	Сырье 3
1	1	2	3	6
2	0	7	5	12
3	9	8	0	17
4	2	9	7	18

Определим, сколько стоил каждый вид сырья.

Решение. Пусть сырье 1 будет обозначено х, сырье 2 - как у, а сырье 3 - z. Составим по таблице систему уравнений:

Решим данную систему, используя метод Гаусса, так как количество уравнений не совпадает с количеством неизвестных. A = X = B =

(A|B) = ~(1) ~(2) ~(3)

1. (3-ья) – 9 ∙ (1-ая); (4-ая) – 2 ∙ (1-ая). 2) (2-ая) ∙ .

3)(1-ая) – 2 ∙ (2-ая); (3-ья) + 10 ∙ (2-ая); (4-ая) – 5 ∙ (2-ая).

Из получившейся матрицы видим, что:

Значит, z = 1. Подставим z во второе уравнение:
y + = ; y = - = = 1. Подставим z в первое уравнение: x + = ; x = - = = 1.

Получаем, что x = y = z = 1. Тогда каждый вид сырья стоил одинаково, а именно 1 тыс. денежных единиц за 1 кг.

Задача 5. (На модель межотраслевого баланса) (Приложение 2).

Пусть существуют 5 отраслей, которые взаимосвязаны. Зная данные о производстве в данных отраслях за предыдущий год, нам необходимо узнать, на сколько процентов должна увеличиться производительность каждой из отраслей, чтобы выполнился следующий план на второй год:

Итоговый продукт в 1-й и 4-й отраслях должен возрасти на 15%, во 2-й отрасли – на 7%, в 3-й отрасли – на 30% и в 5-й отрасли – на 18%.

Известные данные об этих отраслях представлены в таблице. (Приложение 3).

Решение.

Найдем итоговый продукт за 1-й год для каждой отрасли. Для этого вычтем из валового продукта потребление отраслей.

1) 600 – (5+10+55+0+15)=515; 2)800 – (7+12+64+42+10)=665

3)550 – (0+45+20+43+26)=416; 4)700 – (11+16+21+5+12)=635

5)650 – (50+23+0+27+9)=540.

Найдем итоговый продукт, который мы должны получить по плану за 2-й год.

1) 515 ∙ (1 + ) = 592,25; 2) 665 ∙ (1 + ) = 711,55

3) 416 ∙ (1 + ) = 540,8; 4) 635 ∙ (1 + ) = 730,25

5) 540 ∙ (1 + ) = 637,2.

Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, посчитаем валовый продукт за 2-й год. Запишем известные данные в матрицы G, C, F и ( - матрица итоговых продуктов за 2-й год).

G = C = F = =

Найдем матрицу коэффициентов прямых затрат.

A =

Воспользуемся уравнением межотраслевого баланса: G = ∙ F

Найдем .

= - ≈

=

*В данных матрицах представлены примерные значения элементов, однако для вычислений использовались точные значения.

Данная часть уравнения не изменится с первого по второй год. Подставим вместо F и найдем матрицу , в которой будет содержаться информация о валовом продукте за 2-й год. = ∙

= ∙ =

Значит, во втором году 1-ая отрасль произведет 696,119 условных единиц валового продукта, 2-ая - 873,845 у.е., 3-я - 695,3318 у.е., 4-ая - 806,891 у.е., и 5-ая - 763,1756 у.е.

Найдем, на сколько процентов должна увеличиться производительность каждой из отраслей.

1) = ≈ 16%; 2) = ≈ 9,23%

3) ≈ ≈ 26,42%; 4) = ≈ 15,27%

5) = ≈ 17,4%.

Итак, производительность 1-й отрасли нужно повысить на 16%, 2-й – на 9,23%, 3-й – на 26,42%, 4-й – на 15,27%, 5-й – на 17,4%.

Заключение

Итак, при выполнении данной работы я познакомился с таким видом математического объекта, как матрица. Матрицы нашли широкое применение в математике для компактной записи систем уравнений. Сложные на первый взгляд матрицы часто применяются в обычной жизни. Они позволяют строить различные алгоритмы и математические модели. С их помощью можно достаточно наглядно демонстрировать различные процессы, что неоценимо важно для такой науки, как экономика.

Я познакомился с различными видами матриц, а также научился применять матричный метод при решении экономических задач. Мною было изучено несколько способов применения матричного метода, что позволяет мне решать более разнообразные задачи.

Экономисты решают гораздо более сложные задачи, с огромным количеством факторов и условий, которые им необходимо учитывать. Однако на примере упрощенных экономических задач, которые можно решить с помощью матричного метода, я увидел, насколько важную роль он играет в экономике.

Благодаря матрицам можно хранить и обрабатывать огромные объемы информации, что позволяет довольно просто, удобно и компактно анализировать экономические процессы и создавать их модели. Матричный метод предоставляет возможность записывать в простом и понятном виде экономические закономерности, решать сложные задачи за достаточно короткий промежуток времени.

Считаю, что мое время не было потрачено зря. В своей работе я доказал важность матричного метода при решении разнообразных задач, в том числе и экономических.

Библиографический список

1. Кремер Н.Ш.; Путко Б.А.; Тришин И.М., «Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики», Москва, 2007.

2. Матричный метод линеаризации уравнений движения управляемого объекта. /Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Виселов Г.И. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона.2013.

3.Матрицы (математика) Википедия: официальный сайт https://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_(математика)

4.Математика в девяти книгах Википедия: официальный сайт https://ru.wikipedia.org/wiki/Математика_в_девяти_книгах

6.Матричный метод Википедия: официальный сайт https://ru.wikipedia.org/wiki/Матричный_метод

Приложение 1. Таблица для экономической задачи №2.

Месяц	Объемы производства (тыс.)			Денежные затраты в месяц (тыс.)
	Товар 1	Товар 2	Товар 3
1	1	2	1	8
2	2	1	2	10
3	3	3	1	12

Приложение 2. Ключевые понятия и термины для решения задач на модель межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс — экономико-математическая модель, характеризующая связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска.

Валовой продукт – это общее количество произведенного отраслью продукта в данный период. Итоговый продукт – это количество произведенного ею продукта с учетом потребляющих отраслей.

Уравнение межотраслевого баланса выглядит следующим образом:

G = C + F

G – матрица валового продукта, C – матрица производственных затрат, F – матрица итогового продукта. Причем G и F – это вектор-столбцы.

А – матрица коэффициентов прямых затрат. Ее элементы находятся по формуле: = . Соответственно, = ∙

C = A∙G

G = A∙G + F

G – A∙G = F

E∙G – A∙G = F

G ∙ (E-A) = F

G = ∙ F

Приложение 3. Таблица для экономической задачи №4

Номер отрасли	Потребляющие отрасли					Валовой продукт за 1-й год	Итоговый продукт за 1-й год	Валовой продукт за 2-й год	Итоговый продукт за 2-й год
	1	2	3	4	5
1	5	10	55	0	15	600	?	?	?
2	7	12	64	42	10	800	?	?	?
3	0	45	20	43	26	550	?	?	?
4	11	16	21	5	12	700	?	?	?
5	50	23	0	28	9	650	?	?	?

Приложение 4. Брошюра «Матрицы в экономике»